基于線上線下混合式的“工程數學—線性代數”課程建設的探索與實踐

李艷艷，高美平，蔣建新，黃衛華

（文山學院 人工智能學院，云南 文山 663099）

“線性代數”是理、工、農、經管類專業必修的基礎數學課之一，關于該課程的教學改革、課程思政建設以及課程建設，文獻[1-6]進行了多角度的研究。文獻[1]以線性代數的某一個知識點為中心，將此知識點相關的定義、求法、性質、特點、關系等以思維導圖的形式展現。文獻[2]對于線性代數課的網絡授課平臺進行探索，對于不同平臺的優缺點進行了分析，最終對于多個平臺搭配的授課形式，給出了一些較好的建議。文獻[3]通過案例的形式，給出了課程思政元素。文獻[4]對于線上+線下的課程模式進行了構建，線上應該做什么，線下應該完成什么任務，線上和線性如何有效配合，都給出了很好的案例。文獻[5]和[6]探索了課程思政實施的途徑和手段，構建了基于課程思政的評價體系，摸索出了一些課程思政課堂設計案例。

“工程數學—線性代數”自2016 年在文山學院工科專業開設以來，主要面向電氣工程及其自動化、安全工程、冶金工程、人工智能等專業進行教學，學分3，學時48。2018 年12 月該課程作為校級重點課程立項建設，2020 年12 月通過結題驗收。在云南省本科高校大學數學聯考2022 年全面啟動的大背景下，2022 年3 月該課程作為校級本科一流課程立項建設。

“工程數學—線性代數”開設學期是大一上或下，這個階段學生的中學數學慣性思維已經根深蒂固，容易掉入思維的陷阱，而面對抽象的概念、眾多的性質、繁瑣的運算，都讓學生望而卻步。

為了提升人才培養質量，有效應對省級聯考，“工程數學—線性代數”課程教學團隊，著力探索課程建設，并積極實踐、反思，持續改進。

1 基于線上線下混合式的“工程數學—線性代數”課程建設的探索與實踐

基于專業人才培養方案，該課程的目標設定為三維目標。通過該課程的學習，學生能達到以下三個目標：

（1）能表述行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、相似矩陣等的相關概念、性質、定理等，具備基本的數學素養和數學技能。

（2）會計算行列式、矩陣等相關問題，會求線性方程組的解、矩陣的特征值與特征向量，會將矩陣對角化等。逐步培養學生對知識的發現和創新能力，具備一定的分析判斷能力和科學計算能力。

（3）能夠運用線性代數的思想與方法分析問題和解決問題，具有一定綜合運用知識的能力。

課程目標包含了知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面。為了達到以上3 個課程目標，將從教師隊伍能力提升、教學模式優化、課程內容改進、課程資源完善、思政案例點庫建設、多元化評價體系、課程目標達成分析7 個方面進行探索與實踐。

1.1 教師隊伍能力提升

通過送出去、校本研修兩種形式革新教師的教學理念，提升隊伍能力。送出去的主要途徑是依托高等學校大學數學教學研究與發展中心開展的短期培訓、專題研討會、學術會議、高教國培等各類項目，以及線性代數的專題研討活動等提升教師能力。校本研修的形式有：（1）集體備課，每章一個主備主講教師；（2）示范課及教學研討，每學期兩位示范教師，團隊每位成員撰寫教學心得和反思；（3）以賽促教，課程團隊組團參加校級和省級的創新大賽、課程思政比賽，在比賽中探討、在比賽中提高、在比賽后反思；（4）以項目建設促發展，課程團隊成員積極申報校、省兩級教科研項目，在項目建設中提升教師能力。

1.2 教學模式優化

本課程的教學模式是“線上線下混合式”。在已經實施的兩年多時間里，對于線上的理解和認識，一直不斷加深，從最初單一的學習通作業，到現在的教學視頻、課程簡介、滿足各種需求的學習通測試作業、線性代數中的數學思想方法、前沿視角等資源，每章選定一個內容線上學習和翻轉，發布自主學習任務單，讓學生小組匯報學習情況，并進行互評。線下的資源也在不斷豐富和優化，同時還有教學方式的重構、優化和反思等。

1.3 課程內容改進

課程內容優化，主要聚焦在五個章節所占用學時的調整，各章節重難點的確立，以及運用線性代數的思想與方法分析和解決問題能力板塊內容的重構方面。

（1）比如行列式部分，隨著對它作用的理解和認識，該部分的學時已經從最初的16 調減到目前的10，比較繁瑣、技巧性太強的高階行列式計算已退出課程主要內容；（2）矩陣及其運算和線性方程組的解部分，學時一直在不斷增加，占到了整個課程學時的一半以上；（3）概念引進部分，全部用具體的實際應用案例引入，有助于提高學生對線性代數概念本質的認識和理解；（4）分析和解決問題方面，首先錄制了《前沿視角》專題，其次在習題中每章都設計兩道經典和熱點應用類問題；（5）線性代數發展史方面，隨著課程思政教學的深入，對于歷史脈絡的梳理更加清晰，對于學科的起源和發展中做出重要貢獻的數學家的成就和數學家的精神進行學習，并制作了《數學星空 光輝典范——數學家與數學家精神》專題。

1.4 課程資源完善

課程資源完善分為線上資源和線下資源兩部分。線上教學主要依靠的是學習通平臺，搭建的資源有：（1）國家一流課程——山東科技大學的《課程思政—線性代數》視頻資源，課程團隊自建的課程簡介視頻；（2）以檢驗、提升計算能力為目的，填空題為載體的課前3 分鐘測試；以考察基本概念、定義、定理、性質為目的，判斷題為載體的課后2 分鐘測試；以訓練基本知識和技能為目的，選擇題為載體的課后測試；（3）網易公開課《前沿視角》視頻專題、《數學星空 光輝典范——數學家與數學家精神》線性代數課程有關的數學家專題。線下資源采用（1）OBE 理念下“以學生發展為中心”的教學設計的完善；（2）教學課件優化；（3）習題冊的進一步完善，選取題目的典型性和代表性，應用題的經典性和先進性等不斷改進；（4）作業記錄單的優化，尤其是思維導圖部分，除了每章的思維導圖外，還規劃了7 個知識點的思維導圖；（5）矩陣運算易錯問題歸類總結；（6）線性代數中常用數學思想方法的整理和案例收集；（7）章節測試題的優化；（8）期中考試卷和期末模擬卷的題庫建設；（9）各種資源的配套答案的補充完善。

1.5 思政案例點庫建設

線性代數課程思政案例點庫建設的理念是：以文化人，“文”是指數學的歷史與文化；以人育人，“人”是指數學家的故事及科學精神；以哲明人，“哲”是指數學所蘊含哲學思想和人生哲理；以用樹人，“用”是指數學的精彩應用。

知識點與相關思政元素深度融合的可進行思政教育的知識點構成了思政案例點。按照文化自信、人生哲學、科學精神、哲學原理、數學文化、愛國情懷、創新思維七個角度進行挖掘和設計。

下面以矩陣與矩陣的相乘這節課的課程思政點為例進行展示。

（1）創新思維：通過展示重要保密的圖片，引出如何對這些信息進行加密？人臉識別、搜索引擎、數字圖像處理—圖像銳化、圖像增強等中的矩陣運算。通過明文、密文的轉化和解密，介紹矩陣乘法的應用，并為逆矩陣的學習埋下伏筆。

（2）數學文化、科學精神：通過介紹矩陣的創立者英國數學家凱萊的人物生平和成長成才經歷，感受凱萊身上的科學精神。

（3）愛國情懷：由凱萊為了劍橋大學接收女性學生所作出的貢獻為切入點，從而引出張桂梅老師為了麗江華坪的貧困女孩圓上大學夢的奉獻精神和愛國情懷。

（4）人生哲理：矩陣與矩陣的相乘計算過程中，要是有一個數字算錯，整個結果都將會全盤皆輸，這體現了“失之毫厘差之千里”的人生哲學，告誡學生做事要認真、細致。

（5）數學思想方法：類比的數學思想方法，將數的運算與矩陣的運算進行類比，找出可比與不可比的運算類型。

（6）唯物辯證法：特殊與一般的關系，按照一般到特殊再由特殊到一般的認識規律。先用2 行3列的矩陣與3 行2 列的矩陣做乘法，得出乘法的法則，然后將特殊推廣到一般，給出矩陣乘法的定義，再由一般去審視特殊。

1.6 多元化評價體系

課程的評價體系經過兩年多的改革實踐和完善，現在基本成形。主要理念是過程性評價，形成性評價，多元化評價的有機結合。主觀評價與客觀評價融會貫通，客觀評價為主。

平時成績（50%），具體觀測點有線上、線下測試，書面作業、活動等。其中，出勤（5%），學習通測試（20%），翻轉（5%），作業冊（15%），作業記錄單（5%），章節測試（15%），期中測試（15%），課程思政小論文（5%），云南省大學數學線性代數聯考成績（15%）。

期末考試成績（50%），目前是課程團隊出卷，接下來計劃采用教考分離，出卷的單位有省級數學與應用數學虛擬教研室建設共建單位、昆明學院、大理大學等友好合作單位。

1.7 課程目標達成分析

對三個課程目標的達成進行分析，著重對各個目標存在的問題（教師、學生）進行總結，對下次的改進提出針對性措施。

以2021—2022 學年第1 學期的達成度分析中存在問題、原因分析、改進措施為例。

存在問題：本次命題的基本出發點是對綱對標，在學生能力方面加大考核力度，首次出現了應用線性代數的知識解決實際問題的內容。學生答題情況：（1）判斷題得分率較低，反映出教師教學中對概念、定義、定理的教學重視不夠，學生對于基本知識的掌握存在差距；（2）一個向量在一組基下的坐標問題，學生不能前后融匯貫通，知識的系統性不強；（3）矩陣的對角化，80%左右的學生找不到方法，亂做現象比較嚴重，說明這塊內容的教學是無效的，理想化的；（4）應用線性代數的基本思想方法解決問題方面，50%以上的學生，要么找不到線性代數的方法，要么受中學數學慣性思維的影響，用的方法不簡便，反映了學生還不能學以致用，理論與實際銜接卡殼，也說明課程目標3 的達成不理想。

原因分析：（1）教學能力、教學水平有待繼續提升，教學設計的創新性還需加強，授課的水平也需提高，對于新時代的教學改革、課程前沿、課程思政等還需繼續研究；（2）本學期為了應對云南省大學數學的線性代數聯考，授課進度比較快，對于學生在作業中存在的問題，沒有及時解決，為了趕進度，課程后期以教師的講為主，學生的主觀能動性發揮不好；（3）布置的作業有點貪多，有些不能完全消化；（4）對于基本概念、定義、定理等基礎知識和技能的教學和訓練有些弱化。

改進措施：對于學生答題中反映出來的4 個方面的問題，改進措施有：（1）對于基本概念、定義、定理薄弱的現象，計劃在學習通設置判斷題專項；（2）對于系統性不強的問題，每章進行總結，并用思維導圖梳理知識之間的關聯，一部分思維導圖教師制作，一部分學生制作，多放手讓學生做一些事情；（3）矩陣對角化部分的教學，要落到實處，沉得下去，在系統梳理對角化步驟和練習方面再下功夫；（4）應用題方面，加大訓練力度，希望提高用線性代數的思想方法解決問題的能力，從而有望較好達成課程目標3。

對于授課過程中和期末問卷調查反映出來的問題，改進措施有：（1）課前3 分鐘盡量在課前測，發揮真正的作用；（2）作業中反映出來的問題，要隨時解決，及時消化，不能累積；（3）適當優化學習通作業、章節測試題，減輕學生的學習負擔；（4）在黑板上的粉筆板書，繼續加大力度，讓學生思維能持續跟著老師走；（5）課程思政的融入還不夠深刻，融入點單一，應該多角度挖掘課程思政點，多研讀課程思政相關文獻，學習課程思政的理論知識，觀看優秀課程思政比賽的視頻等；（6）線性代數團隊的充電和再提高工作要做到實處，計劃外出參加課程建設研討會，提高團隊的創新性和工作熱情，并將學到的知識融入到課程建設中，增加團隊的造血功能。

2 總結

本文對“工程數學—線性代數”課程的建設舉措進行了梳理，著重從教師隊伍能力提升、教學模式優化、課程內容改進、課程資源完善、思政案例點庫建設、多元化評價體系形成、課程目標達成分析7 個方面，進行課程建設與實踐，經過近兩年的實踐，達到了較好的效果。目前課程建設正站在了新的起點，踏上新的征程，課程團隊將繼續以更為頑強的拼搏精神，開啟新的課程建設之路。