逆向思維在初中數學解題中的應用研究

王磊

【摘要】生活中，多數人習慣沿著事物發展的正方向思考和解決問題，但是在面對一些特殊問題時，逆向思維能夠帶給人意想不到的驚喜.若將逆向思維應用在初中數學解題方面，可以在很多情況下提高學生的解題效率，讓結果更加準確.文章分析逆向思維在初中數學解題中的應用技巧，同時對逆向思維在初中數學解題中的指導策略展開討論，力圖促進逆向思維在初中數學解題中的應用，培養學生數學思維的靈活性，提升初中數學解題教學效果.

【關鍵詞】初中數學；逆向思維；解題技巧

逆向思維，也稱求異思維、反向思維，是在面對具有普遍性的問題時“反其道而行之”的一種思維方式.逆向思維經常被用來解決數學問題，具體步驟為：從問題回到已知條件，圍繞“應該得到的正確結論”反過來推導問題，使問題簡單化.基于以上背景，初中數學教師可以在實際教學過程中，指導學生應用逆向思維解決問題能夠提高學生的解題能力.下面，文章結合蘇科版教材內容，結合具體的問題分析逆向思維在初中數學解題中的應用技巧.

一、逆向思維在初中數學解題中的應用技巧

（一）逆向思維解決方程問題

方程是初中數學的常見題型.從七年級開始，幾乎每一冊蘇科版初中數學教材都含有方程內容.而在方程問題的解決中，逆向思維具有不可小覷的應用價值.比如，一些初中數學方程問題，要求學生進行大量的復雜運算，部分運算能力薄弱的學生會在此過程中出現失誤，得出錯誤的答案.教師可以利用方程的“雙向性”，指導學生應用逆向思維解決方程問題，簡化運算過程.下面以蘇科版七年級上冊“解一元一次方程”教學為例，講解逆向思維解決方程問題的技巧.

例1 已知方程320×40%=（320-x）（1-20%）+20%，解方程求出x的值.

解決此方程問題，可以按照解方程的常規方法，先將方程變形和移項：

解 320×40%=（320-x）80%+20%……①

320×40%=320×80%-80%x+20%……②

80%x=320（80%-40%）+20%……③

80%x=320×40%+20%……④

直到第④步，很多學生都游刃有余.但若在第④步后繼續按照常規方法解方程（在等式兩邊同時除以80%），運算過程相當煩瑣，學生很容易出現失誤.教師可以引導學生應用逆向思維，以“百分號”為切口思考接下來的解方程方法.觀察方程，等式兩邊均有百分號，增加了解方程的難度，因此可先消除百分號，再繼續解方程.教師可以點撥學生將等式兩邊同時除以20%，進行以下運算：

小結 方程“雙向性”是指：在一個方程中，等式兩邊同時加上或減去同一個數或同一個整式，等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，方程的本質不變.基于方程“雙向性”應用逆向思維，先找到等式兩邊的共同點，再借助“共性”簡化方程，可有效拓寬學生解題思路，提高其運算效率，同時使解題結果更加正確.

（二）逆向思維解決不等式問題

蘇科版七年級下冊數學教材第十一章，首次編排了“不等式”教學內容，即一元一次不等式.不等式同樣是初中數學常見題型.而在一些特殊的不等式問題中，很難通過正向思維計算出正確答案.這就要求學生學會轉化思維，應用逆向思維方式.下面以“一元一次不等式組”教學為例，探索逆向思維在不等式問題中的解題技巧.

對于一般的一元一次不等式組，求解步驟為：先求出不等式組中各個不等式的解集，再將它們分別表示在數軸上，然后利用數軸確定不等式組的解集.但是在此問題中，不等式①中含有另一個未知數，使上述步驟并不適用此問題.第一次應用逆向思維，可以計算不等式②的解集，即7-2x≤3，解得x≥2.第二次應用逆向思維，可以根據已知條件“該不等式組共有4個整數解”，逆向推理不等式組的4個整數解，即2，3，4，5.第三次應用逆向思維，不等式①為x-m<0，說明x

小結 初中數學不等式問題中，若已知不等式組的解集，求其中一個不等式所含參數范圍，很難通過常規的不等式組求解步驟正確解題.而應用逆向思維，從已知不等式組的解集入手，逆向推理不等式組解集與不等式未知數、未知參數的聯系，可以有效降低問題的難度系數，提高解題準確率.教師可以在初中數學不等式教學中，重點圍繞不等式組的參數問題指導學生應用逆向思維，培養其解題能力.

（三）逆向思維解決三角形問題

三角形問題集中出現蘇科版八年級上冊數學教材，包括“全等三角形”“勾股定理”兩大板塊.其中，“勾股定理”相關三角形問題的解決，經常需要應用逆向思維.教師可以根據“勾股定理的逆定理”，指導學生應用逆向思維解決三角形問題.實際操作方面，蘇科版八年級上冊數學教材在“勾股定理”章節中，將“勾股定理的逆定理”單獨設為一課，教師可在其教學期間，向學生提供三角形問題，使其經歷下面的逆向思維解題過程.

小結 勾股定理的逆定理，是勾股定理（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）的逆運用，充分體現了逆向思維的應用.因此在證明直角三角形的相關問題中，可以直接通過勾股定理的逆定理應用逆向思維，降低證明難度，提高解題效率.這也要求教師在初中數學“勾股定理”相關教學中，重視“勾股定理的逆定理”教學過程.

（四）逆向思維解決幾何證明問題

幾何證明問題在初中數學教學中的分布較為廣泛.以蘇科版初中數學教材為例，七年級上冊“平面圖形的認識（一）”、七年級下冊“平面圖形的認識（二）”、八年級下冊“中心對稱圖形———平行四邊形”、九年級上冊“對稱圖形———圓”、九年級下冊“圖形的相似”均涉及幾何證明問題.解決常見的幾何證明問題，通常只需要在題干中找到已知條件，再根據已知條件展開證明.但是在一些復雜的幾何證明問題中，已知條件無法使學生形成清晰的證明思路.教師可以指導學生應用逆向思維，從“需要證明的結果”入手，逆向分析“需要哪些條件”.下面以“探索三角形相似的條件”教學為例，分析逆向思維在幾何證明問題中的應用.

例4 如圖1，△ABC，線段AB與線段AD垂直，線段BC與線段DC垂直.線段AC與線段AB相等.BC與AD相交于E點，AD與DC相交于D點.求證：AC2=AD·AE.

小結 初中數學大多數幾何證明問題的解題，可以直接由結論切入，通過“需要證明的問題”層層推理“需要滿足的條件”，強化證明邏輯，提高解題質量.教師可以在初中數學幾何證明教學中，借助具體問題引導學生應用逆向思維，培養學生圍繞待證問題逆推證明過程的能力，提升學生幾何證明水平.

（五）逆向思維解決函數問題

函數問題分布在蘇科版八年級數學教材與九年級下冊數學教材中，其內容具有螺旋上升性.八年級上冊的“一次函數”為八年級下冊的“反比例函數”奠定基礎，而整個八年級的函數內容是為九年級下冊“二次函數”做準備.在解決一些函數問題時，部分學生會因為基礎薄弱而無法準確調取已有知識，導致解題困難.教師可以見縫插針，指導學生應用逆向思維，反向推理函數關系.以“反比例函數的圖像與性質”教學為例，教師可通過下述函數問題，與學生一同探討逆向思維的應用技巧.

該問題關聯反比例函數與一次函數，具有復雜性，不能用常規方式解決.根據題意，反比例函數與一次函數關系式已知，可以初步判斷兩幅圖像在平面直角坐標系中的位置.想要使反比例函數與一次函數圖像相交于第一象限，需要向上平移一次函數圖像.教師可以由問題“向上平移幾個單位長度”切入，先使學生“假設答案”，再使學生展開逆向推理：

小結 逆向思維在初中數學函數問題中的應用，是簡化函數問題的重要手段.以本題為例，教師可指導學生在解決初中數學函數問題時，先應用逆向思維假設問題的答案，再將“答案”逆向代入函數關系式，求出其對應信息.

二、逆向思維在初中數學解題中的指導策略

基于逆向思維在初中數學解題中的以上應用技巧，教師應在初中數學教學過程中，加強學生對逆向思維的使用.

在學生形成逆向思維，初步掌握逆向思維在初中數學解題中的一些應用技巧后，教師可以為學生搭建逆向思維解決問題的專項訓練平臺，鼓勵學生舉一反三地應用逆向思維，以達到持續深化學生運用逆向思維解題能力的目的.教師可為學生提供含有不同逆向思維點的習題，組織學生積極參與專項訓練，使學生進一步掌握應用逆向思維解決方程問題的解題技巧，促使學生提高解題能力.

結 語

逆向思維是解決初中數學問題必不可少的思維工具.文章列舉了逆向思維在初中數學解題中的應用，涉及方程問題、不等式問題、三角形問題、幾何證明問題、函數問題多個方面.教師可以在初中數學例題教學中培養學生逆向思維，為學生應用逆向思維解決問題打下基礎.教師還可以為學生搭建逆向思維解題訓練平臺，以此加深逆向思維在初中數學解題中的應用，進一步培養學生基于逆向思維的解題能力.

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