在猜想與驗(yàn)證的探究過(guò)程中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

陳浩玲

一、教學(xué)內(nèi)容

《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（人教版）五年級(jí)下冊(cè)第57頁(yè)例1、例2及相關(guān)練習(xí)。

二、教學(xué)分析

（一）教材分析

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材五年級(jí)下冊(cè)第四單元的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容，知識(shí)編排是基于分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和商不變的規(guī)律等認(rèn)知基礎(chǔ)而設(shè)立。它是本單元教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵轉(zhuǎn)折點(diǎn)和單元教學(xué)的重點(diǎn)，建立抽象的概念模型是教學(xué)過(guò)程的難點(diǎn)。因此，在研讀教材內(nèi)容時(shí)，要緊扣直觀性操作——折紙活動(dòng)，通過(guò)經(jīng)歷“兩次折紙”的親身體驗(yàn)，參與“三層研學(xué)”的猜想驗(yàn)證，讓學(xué)生深入感受分?jǐn)?shù)的分子和分母變化及同組分?jǐn)?shù)大小關(guān)系，加深對(duì)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”這一概念的理解。同時(shí)，“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是約分和通分的知識(shí)基礎(chǔ)，而約分和通分與分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的教學(xué)關(guān)系密切。“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”概念的建立也為“比的基本性質(zhì)”做好充分的遷移準(zhǔn)備。因此，理解和運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”顯得尤為重要。

（二）學(xué)情分析

高年段學(xué)生處于從直觀思維逐漸向抽象思維過(guò)渡的階段，主要以直觀形象思維作為基礎(chǔ)。在實(shí)施本課教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分考慮到學(xué)生的直觀形象性思維和原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，著力給學(xué)生搭建這一遷移過(guò)渡的平臺(tái)，保證學(xué)生能理解和運(yùn)用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。通過(guò)現(xiàn)實(shí)的活動(dòng)情境，在合情推理和類(lèi)比推理中，學(xué)生積累探究新知的經(jīng)驗(yàn)，借助新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，喚起學(xué)生思維有效鏈接。

三、設(shè)計(jì)理念

基于“研學(xué)后教”升級(jí)版理念的指導(dǎo)下，本節(jié)課著力將課程標(biāo)準(zhǔn)中“數(shù)學(xué)規(guī)律學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的且富有個(gè)性的過(guò)程”的教學(xué)理念落實(shí)到課堂教學(xué)中。本教學(xué)設(shè)計(jì)從內(nèi)容上強(qiáng)調(diào)學(xué)生研學(xué)過(guò)程，目標(biāo)上把創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的培養(yǎng)緊密相連，讓遷移和推理成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要途徑。研學(xué)課堂安排充分的數(shù)學(xué)活動(dòng)和探究時(shí)間，經(jīng)歷“猜想—操作—驗(yàn)證—?dú)w納”的探究過(guò)程。把遷移類(lèi)比、推理歸納、建模等數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法滲透到數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中，讓學(xué)生潛移默化地體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化，提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述世界、用數(shù)學(xué)的思想思考世界的習(xí)慣。

四、教學(xué)目標(biāo)

1. 在動(dòng)手操作中理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，能運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)解決問(wèn)題。

2. 經(jīng)歷猜想和驗(yàn)證過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)歸納推理能力，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

3. 激發(fā)學(xué)生積極學(xué)習(xí)的熱情，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和成功解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的喜悅。

五、教學(xué)重難點(diǎn)

1. 教學(xué)重點(diǎn)：理解和運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)去解決問(wèn)題。

2. 教學(xué)難點(diǎn)：能從抽象數(shù)組中概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

六、教學(xué)準(zhǔn)備

2種學(xué)具紙：長(zhǎng)方形、正方形各3張；油性筆；研學(xué)案；課件。

七、教學(xué)過(guò)程

（一）大膽猜想，遷移概念

1. 請(qǐng)快速完成以下三道計(jì)算題。

（1）120÷30＝

（2）（120×3）÷（30×3）＝

（3）（120÷10）÷（30÷10）＝

計(jì)算后思考：你是根據(jù)什么規(guī)律去快速算出結(jié)果？（出示商不變的規(guī)律）

2. 填空。

匯報(bào)后思考：你是根據(jù)以前學(xué)過(guò)的什么知識(shí)來(lái)完成的？（分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系）

3. 分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系非常密切，被除數(shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分子，除數(shù)相當(dāng)于分母，商就是我們平時(shí)所說(shuō)的分?jǐn)?shù)的大小，除法中有商不變的規(guī)律，那么，分?jǐn)?shù)中也有類(lèi)似的規(guī)律嗎？誰(shuí)來(lái)猜一猜？你們的猜想是否正確？我們一起來(lái)探究。

【設(shè)計(jì)意圖】由于分?jǐn)?shù)和除法有著密切的聯(lián)系，新課教學(xué)之前，對(duì)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、商不變的規(guī)律進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)，喚醒學(xué)生已有的認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)集體“猜想”的情境，學(xué)生生成猜測(cè)性的規(guī)律，讓溝通成為新舊遷移的橋，也為“驗(yàn)證”規(guī)律提供了教與學(xué)的資源。

（二）操作驗(yàn)證，形成概念

1. 一折感知：直觀感受數(shù)組間的相等關(guān)系。

（1）首先，我們一起來(lái)玩“折紙游戲”。每人請(qǐng)選擇其中一種學(xué)具紙片，用“平均分并涂上陰影”的方法，分別表示出[12]、[24]、[48]三個(gè)分?jǐn)?shù)。

（2）游戲后提問(wèn)：你是怎樣平均分？

（3）觀察游戲生成的學(xué)具紙片：你發(fā)現(xiàn)了什么？三個(gè)分?jǐn)?shù)的大小有什么關(guān)系？（匯報(bào)后板書(shū)：[12]＝[24]＝[48]）

2. 二折深化：溝通聯(lián)系數(shù)組間的相等關(guān)系。

（1）按照剛才的思路，我們還可以繼續(xù)折，你還能折出與這些分?jǐn)?shù)的陰影部分相同的其他分?jǐn)?shù)嗎？

（2）小結(jié)：我們繼續(xù)反復(fù)對(duì)折下去，原來(lái)可以折出無(wú)數(shù)個(gè)與[12]大小相等，而分子、分母卻不同的分?jǐn)?shù)。（補(bǔ)充板書(shū)：[12]＝[24]＝[48]……）

3. 三層研學(xué)：根據(jù)板書(shū)上的圖示（見(jiàn)下頁(yè)圖），觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)組間的變化規(guī)律。

第一層：從左往右觀察，分?jǐn)?shù)的分子和分母各是怎樣變化的？

歸納小結(jié)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

第二層：從右往左觀察，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

歸納小結(jié)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

第三層：其他的分?jǐn)?shù)也會(huì)有這樣的發(fā)現(xiàn)嗎？

（1）除了與[12]相等的分?jǐn)?shù)外，其他分?jǐn)?shù)也會(huì)有以上的發(fā)現(xiàn)嗎？以[13]和[14]為例，課件上演示折紙過(guò)程，得到一組與[13]大小相等，而分子、分母卻不同的分?jǐn)?shù)；再利用數(shù)軸，證明一組與[14]大小相等的分?jǐn)?shù)。（板書(shū)：[13]＝[26]＝[412]、[14]＝[312]＝[936]）

（2）你能把剛才的兩個(gè)不同的發(fā)現(xiàn)“合二為一”，即用一句話(huà)把它們的意思表達(dá)出來(lái)嗎？同步板書(shū)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

（3）對(duì)于我們歸納的發(fā)現(xiàn)，還有補(bǔ)充嗎？適時(shí)增加關(guān)鍵詞“0除外”的重要性。

（4）數(shù)學(xué)家們把這個(gè)規(guī)律叫作“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”（板書(shū)課題）。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，把靜態(tài)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的求知過(guò)程，感受“數(shù)形結(jié)合”“類(lèi)比遷移”等數(shù)學(xué)思想方法。以足量的感性材料作為探究的依據(jù)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“猜測(cè)—推理—?dú)w納”等研學(xué)過(guò)程，把握現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，結(jié)合語(yǔ)言表征和動(dòng)作表征去深入理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，在抽象歸納的過(guò)程中滲透不完全歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。

（5）變式判斷：

【設(shè)計(jì)意圖】規(guī)律性概念形成后，及時(shí)地安排在實(shí)踐中運(yùn)用，通過(guò)“辨析練習(xí)”，加深對(duì)概念的內(nèi)化理解，真正讓學(xué)生將“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”中“同時(shí)”“乘或除以”“相同”和“0除外”等關(guān)鍵詞理解好，為后續(xù)應(yīng)用概念做好充分準(zhǔn)備。

（6）翻開(kāi)書(shū)本P57頁(yè)內(nèi)容，閱讀新知并質(zhì)疑。

（三）內(nèi)化理解，應(yīng)用概念

1. 研學(xué)思考：你能把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母不同而大小相等的分?jǐn)?shù)嗎？

2. 把[23]和[1024]化成分母是12而大小不變的分?jǐn)?shù)。

3. 學(xué)生獨(dú)立完成后交流匯報(bào)，說(shuō)說(shuō)轉(zhuǎn)化過(guò)程及依據(jù)。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)數(shù)學(xué)是為了用數(shù)學(xué)，在“研學(xué)后教升級(jí)版”理念的指導(dǎo)下，本環(huán)節(jié)放手讓學(xué)生先自主研學(xué)，再小組合作探究式學(xué)習(xí)，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)去解決問(wèn)題，讓剛剛建立的概念模型得到及時(shí)的應(yīng)用，學(xué)生在一系列的追問(wèn)中，掌握解決問(wèn)題的方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（四）鞏固練習(xí)，延伸概念

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)的設(shè)計(jì)有層次，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)有序地鞏固概念。通過(guò)基礎(chǔ)性練習(xí)，及時(shí)鞏固新知；綜合性練習(xí)，旨在運(yùn)用本節(jié)課建立的概念模型，解決生活中的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力；延伸性檢測(cè)，很好地啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生帶著問(wèn)題走出課堂。

（五）回顧反思，總結(jié)評(píng)價(jià)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？你覺(jué)得自己的表現(xiàn)如何？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)與反思，分享經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生逐步養(yǎng)成自覺(jué)反思、不斷總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的習(xí)慣。同時(shí)，有利于學(xué)生揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短，促進(jìn)個(gè)人及小組的共同進(jìn)步。

（六）作業(yè)布置

1. 完成課本58頁(yè)第1、2、3題。

2. 小游戲——分?jǐn)?shù)接龍。同桌選擇其中一組分?jǐn)?shù)，省略的分?jǐn)?shù)可能是幾分之幾？

附：板書(shū)設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。