工科學生建模素養培養的實踐探析

王玉花　劉新柱

摘? ? 要：文章以擺線教學為載體，從培養學生的知識獲取能力、數學思維品質、實踐動手能力等方面著手，提出實踐路徑。課上教師要重視數學思想的滲透，注重知識的延伸拓展，給學生更多的機會掌握多種數學思想和方法；課外要開設專題講座，拓展知識的輻射范圍，提升工科學生的數學建模能力；課下要成立討論小組，通過實踐環節激發學生的潛能，提升學生的創新能力；建立課程網站，設置建模專欄，定期推送建模案例，豐富學生的知識底蘊。

關鍵詞：數學建模；擺線；數學素養；教學實踐

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1002-4107（2023）05-0016-03

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020

年）》第七章高等教育部分提出了“重點擴大應用型、復合型、技能型人才培養規模”的培養目標；同時，為適應新時代對人才的要求，高等院校越來越重視對學生能力和素質的培養，新工科建設對工科學生的綜合素質有了更高的要求。數學是工科學生解決實際問題的重要工具，是一門重要的基礎學科，數學素養是工科學生必備的基本素養之一。近年來，眾多教育工作者都致力于提高工科學生的數學素養，在數學課程教學過程中更加關注學生數學思維的訓練，更加重視數學實踐能力的培養，更加注重學生數學建模素養的提升[1]。

一、工科學生數學建模能力現狀分析

為培養應用型人才，新工科建設要求工科學生要具有較強的專業技能，特別是具備解決實際問題的能力。這就要求學生要理解數學思想，掌握數學方法，能夠對實際問題進行合理的量化，用數學符號、數學圖形、數學公式建立模型并求解模型。但是，目前工科學生的建模能力普遍不高。教師在教學過程中更關注學生的邏輯思維和運算技能訓練，而忽略建模能力的培養，數學課程考核方式和考核內容也多以計算證明為主。在日常的學習中，學生也更注重運算技巧、理論推導的練習，而忽略了建模知識的學習，從而導致其數學建模能力不高。為了培養學生的建模能力和應用情感，教師有必要對課堂教學進行改革，在課堂上引入與專業相關的工程實踐知識，初步培養學生的應用意識，提高學生解決問題的能力。

二、提升工科學生數學建模素養的理論研究

數學建模是工科學生必須掌握的一項數學技能，因此，教師應在授課過程中滲透建模思想、講授建模方法、培養建模興趣，提高工科學生的建模能力。

（一）重視數學思想，萌發建模意識

數學思想是建立數學模型的關鍵，蘊含在知識的生成過程中，教師要善于挖掘和分析教學內容，巧妙地將數學思想融入教學環節。通過理論教學幫助學生積累數學思想，萌發建模意識。教師還可以根據教學內容適當引入數學史、數學悖論、數學家的軼事，于知識的發展史過程中探尋數學思想，于數學家的故事中發現數學思想，于數學悖論中分析數學思想，特別是在探析知識的生成過程中提取數學思想，以便學生有更多機會掌握多種思想和方法，為分析問題提供準確思路，為建立模型提供高效的方法。

（二）參透數學方法，培養建模興趣

工科學生在專業課程學習中，要用到很多數學理論，而有一些理論在教學大綱中并未提及，這就要求教師上課時要拓展這些內容，可借助定義法、構造法、向量法、微元法、數形結合、分類討論等多種數學方法，讓學生掌握理論知識，了解解決問題的方法。對于大一新生，教師要利用習題課對數學方法進行歸納總結，并通過實例講解讓學生對所學內容的應用范圍有所了解，從而更易掌握準確的建模方法，同時學生也能體驗到探索知識的成功感。在教學過程中，教師要注重知識的聯系與拓展，使學生在生活實例中參透數學方法，培養發散思維，提高學習興趣，為科學研究提供必要的準備。

（三）擴展輻射范圍，提高建模能力

由于學時有限，教師在課堂上很難深入講解與工科學生密切相關的工程問題。教師有必要利用課外時間開設專題講座，詳細講解所授內容在工程中的應用，以提高學生解決實際問題的能力。講座內容既要與所學知識密切相關，又要在本科生的接受能力范圍之內。教師可將講座內容做成短視頻，方便學生自行學習。以專題講座為載體，豐富課外教學內容，為學生后續課堂學習提供充分的理論基礎，也為學生研究專業理論提供必備的數學工具。

（四）發展建模潛能，培養創新精神

教師要豐富課外教學活動，組建“本科生討論班”，設置與專業相關的建模問題或課程小論文，讓學生以小組形式加以探究，集思廣益，擴展思路；還可以成立“師生討論組”，建立學習共同體，于日常的溝通交流中實現從知識傳承向創新能力的轉變。此外，教師要鼓勵學生積極參加各級各類建模競賽，指導他們申報大學生創業創新項目，還要鼓勵學生加入教師的科研團隊，以成果導向為目標，培養學生自主學習的能力，創設有益于學生提高綜合素質的情境。通過課外實踐環節，學生可以在體驗知識的形成過程中逐漸提高自主學習意識，激發潛能，提高建模能力和創新能力。

（五）建設課程網站，補充建模案例

搭建網絡平臺，構建數學課程網站，設置數學建模專欄，編寫與工科專業相關的工程教學案例、實踐教學案例，定期在專欄里向學生推送，豐富學生的知識底蘊；帶動學生關注學科前沿，重視所學知識在現代科學中的應用，以崇尚科學為榮，樹立正確的科學觀。設置網絡答疑專欄，及時回答學生學習過程中的疑惑，培養學生的建模能力。

三、提升工科學生建模素養的教學實踐研究

文章以擺線的教學實踐為例，探討教學各環節中如何培養學生的建模能力，提升數學素養。

（一）探索知識的生成過程，培養學生的思維品質

擺線是生活中常見的曲線，也是工程應用中的重要曲線。例如，過山車的軌跡曲線和許多構件的形狀都呈擺線狀態，對擺線性質的深入研究能為學生學習打下穩固的基礎。“高等數學”課程中，很多理論都涉及擺線方程，如求解擺線一拱的長度、擺線一拱與橫軸圍成圖形的面積，以及此面積繞橫軸或縱軸旋轉一圈所得旋轉體的體積等。這些不規則量的求解過程就是一個簡單的建模過程，采用大化小、常代變、近似求和、取極限的數學思想建立積分模型，利用積分學的計算方法求解模型，解決實際問題。在建立積分模型的過程中，用到了化整為零的微元思想、以直代曲的線性化思想、以常代變的近似思想、積零為整的求和思想和無限逼近的極限思想。除了幾何意義外，擺線還有重要的物理意義。例如，忽略其他受力，在只有重力作用的情況下，物體從一個點降到比它低的點時，沿擺線路徑用時最短，所以擺線又稱為最速降線。過山車車道的設計正是應用了最速降線原理，讓游戲者體驗快速運動。再如，滑雪運動員若能滑出擺線軌跡，也將會實現最短時間賽程。在教師的引領下，學生在簡單的建模過程和生活實例中，體驗了從具體到抽象、從有限到無限、從特殊到一般的探知過程，也可以了解到數學思想在解決問題過程中的重要性，提升數學思維品質。

（二）討論擺線的方程分類，提高學生的建模能力

高等數學教材的部分內容是研究心臟線和星形線的，但對于這些曲線的形成則沒有介紹。心臟線方程是極坐標系表達，雖然看似與擺線無關，但這些重要曲線方程卻是擺線理論的延伸和拓展。在進行擺線理論教學時，教師可以根據學生專業特點適當地進行拓展，對擺線類型進行分類討論。例如，有一個動圓在直線上做無滑動的純滾動時，動圓上、動圓內和動圓外一點的軌跡方程分別稱為平擺線方程、短幅擺線方程和長幅擺線方程，長、短幅擺線又稱次擺線，都是以直線為基線；當一個動圓在一個定圓上無滑動滾動時，若兩圓相內切，小圓在大圓上滾動，動圓上一點的軌跡方程稱為圓內旋輪線，也稱為內擺線；若兩圓相外切，小圓在大圓外滾動，動圓上一點的軌跡方程稱為圓外旋輪線，也稱為外擺線；而大圓在小圓外滾動，動圓上一點的軌跡方程稱為環擺線方程，是以圓為基線[2]。常見的星形線方程就是內擺線方程，而心臟線方程正是環擺線方程。此外，還有基線為橢圓的其他擺線。擺線的種類繁多，教師可根據生活常識簡要介紹這些擺線的形成過程。例如，講授次擺線理論時，讓學生想象火車前進過程中車輪外一點的運動曲線狀態；講授內擺線理論時，讓學生觀察公交車車門開關時劃過的曲線形狀。從生產生活中選取蘊含數學本質的實例進行教學，并引導學生把方法遷移到其他問題上，從而提高學生的建模能力。

（三）研究擺線的工程應用，培養學生的應用情感

對于機械設計與制造專業學生來說，齒輪傳動問題是必須掌握的重要知識，其中擺線齒輪傳動尤為重要。擺線齒輪傳動是將凸形外擺線與凹形內擺線相嚙合，相比于一般的齒輪傳動，擺線齒輪傳動具有結構緊湊、磨損均勻、傳動平穩等優點。擺線齒輪傳動方式多種多樣，除了普通的齒輪傳動外，還有齒輪齒條傳動、蝸輪蝸桿傳動等[3]。這些傳動在生活中隨處可見，如機械表的走針機構采用的是普通的齒輪傳動、電風扇的擺風機構采用的是蝸輪蝸桿傳動；此外，攪拌機的傳動機構和變速箱中的齒輪變速器機構等復雜的傳動機構都應用了擺線原理。對于農業機械化及其自動化專業學生，講座中可增設余擺線理論。平擺線是圓輪在直線上無滑動滾動時圓周上固定點的軌跡曲線；而一些農業機械作業時，工作部分一邊繞軸線勻速轉動，一邊隨機組做勻速直線運動，即同時進行轉動和平移兩種運動，如插秧機的分插輪、收割機的拔禾輪的運動等，這種運動軌跡曲線稱為余擺線[4]。若將擺點由一點擴展為動點序列，序列擺點的運動軌跡稱動擺線。動擺線的運動軌跡十分復雜，可以為安全底紋防偽設計提供理論基礎[5]，也為現代藝術設計提供神奇的創造力，創造出各種優美的藝術曲線。此外，講座還可簡單涉及泛擺線，其理論雖超出本科生接受范圍，但依據泛擺線原理制作的泛擺線泵應用于我國多種型號航空發動機中[6]，在一些尖端項目中有著重要的作用，可以讓學生對泛擺線形成簡單的概念意識，儲備更多的專業知識。引入與專業相關的工程實踐知識，初步培養學生的應用意識，有利于學生對理論知識獲得更好的感性認識，實現理論與實踐相結合，培養其應用情感和應變能力。

課下，教師還可以讓學生分組完成課程小論文，如余擺線的建立過程、觀察工程中哪些機構采用擺線齒輪傳動等，讓學生以小組形式觀察、分析并解決問題。在問題的探究過程中拓展學生的思路，培養學生的創新思維，同時也培養了學生的團隊合作精神。

在擺線的課堂和課外教學活動設計中，把教學內容與數學思想統一，把理論基礎與建模能力統一，把知識傳承與創新意識統一。將抽象的、枯燥的授課內容變為具體的、活潑的教學活動。在課堂上拓展延伸理論知識，通過實踐案例，培養學生的建模能力；在課外成立學生討論組，組建學習共同體，進一步提升學生的建模能力，從多角度培養學生的綜合能力，提高學生的綜合素質（圖1）。

四、結束語

提升工科學生的建模能力是培養具有創新精神和創新能力人才的重要措施之一，教師應把提升工科學生建模素養的目標融入教學環節和教學活動全過程，從側重學生的知識獲取能力、實踐動手能力、數學思維品質等方面著手，夯實理論基礎、拓展知識外延、培養應用情感、提升建模能力，為培養新時代創新人才貢獻力量。

參考文獻：

[1]? 杜鍵，胡紅娟，夏靜.大學數學建模教學探索與實踐[J].黑龍江科學，2021，12（23）：57.

[2]? 張麗娜.擺線及其相關問題[J].中國科教創新導刊，2011（4）：30.

[3]? 吳林.新型擺線傳動裝置關鍵技術與應用研究[D].武漢：武漢理工大學，2016.

[4]? 刁海豐，張偉，付曉明，等.行星齒輪式旱地栽植機構運動軌跡分析及優化[J].農機化研究，2012，34（6）：32.

[5]? 元文法，李曉龍，楊斌，等.動擺線及其在安全底紋設計中的應用[J].計算機輔助設計與圖形學學報，2008（2）：270.

[6]? 曹逸韜.高轉速航空泛擺線滑油泵的研究[D].南昌：南昌航空大學，2015.

編輯 李夢迪