小畫板，大妙用

洪麗云

【摘要】“后疫情時(shí)代”線上線下融合教學(xué)已成為教育新常態(tài)，結(jié)合《信息技術(shù)應(yīng)用能力提升工程2.0》的要求，根據(jù)新課標(biāo)學(xué)科融合的特點(diǎn)，利用幾何畫板軟件制作動(dòng)態(tài)課件，輔助初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手能力，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板;初中數(shù)學(xué);課堂教學(xué);核心素養(yǎng)

幾何畫板是一種常用的數(shù)學(xué)、物理教學(xué)軟件，是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教育教學(xué)融合的主要媒介，其精準(zhǔn)作圖和動(dòng)態(tài)變換的功能給學(xué)習(xí)者提供了無盡的創(chuàng)造思維。本文基于初中數(shù)學(xué)學(xué)科特性，分析幾何畫板軟件的特點(diǎn)與優(yōu)勢，結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，通過制作幾何畫板動(dòng)態(tài)課件，輔助初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高課堂效率。

一、動(dòng)感實(shí)驗(yàn)，妙在探究

信息技術(shù)為數(shù)學(xué)教學(xué)的變革提供了新的方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的有效途徑，是一種活動(dòng)性教學(xué)，它能滿足不同學(xué)生的需求并使學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。借助幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)動(dòng)感實(shí)驗(yàn)，探究正多邊形鋪設(shè)地面的實(shí)踐，可培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

教師提前做好正多邊形工具，在課堂上教學(xué)生如何使用工具，然后讓學(xué)生利用電腦進(jìn)行操作，操作時(shí)分同種正多邊形、兩種正多邊形和三種正多邊形，操作前滲透分類討論思想，教會(huì)學(xué)生有規(guī)律地進(jìn)行問題探究。通過直觀觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用相同的正多邊形鋪設(shè)地面時(shí)，只有正三角形、正方形、正六邊形可以鋪滿地面，而正五邊形不能鋪滿地面。教師此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生觀察鋪滿地面的圖形的條件，通過觀察，部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)“當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角，即360°時(shí)，所用的多邊形地磚就可以鋪滿地面”。

那么給定一個(gè)正多邊形需要多少個(gè)這樣的正多邊形才能在一點(diǎn)處鋪滿呢？以正三角形為例，假設(shè)需要x個(gè)正三角形，那么在一點(diǎn)處的x個(gè)內(nèi)角加起來是360°，由此得到：

60°x=360°

這就將鋪設(shè)地面問題轉(zhuǎn)換為了一元一次方程正整數(shù)解模型。通過這個(gè)轉(zhuǎn)換，教師布置練習(xí)，用這種數(shù)學(xué)建模思想引導(dǎo)學(xué)生探究正七邊形、正八邊形等能否在一點(diǎn)處鋪滿地面呢？學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)，用同一種正多邊形鋪設(shè)地面時(shí)，只有“正三角形、正方形、正六邊形”能夠鋪滿地面，其他不行，并進(jìn)一步得出結(jié)論“當(dāng)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角能被360°整除時(shí)，這個(gè)正多邊形地磚便能鋪滿地面”。學(xué)生通過自己模擬體驗(yàn)鋪設(shè)地面，將生活問題轉(zhuǎn)換成了數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模思想就這樣在體驗(yàn)的過程中印在了學(xué)生的腦海里。

通過運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，教師可引導(dǎo)學(xué)生探究用2種正多邊形鋪設(shè)地面的問題，以正三角形和正方形為例，設(shè)有x個(gè)正三角形，y個(gè)正方形，則：

60°x +90°y=360°

2種多邊形的鋪設(shè)問題就轉(zhuǎn)化成了二元一次方程的正整數(shù)解問題，當(dāng)學(xué)生得到了正確結(jié)果時(shí)，教師還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過畫板來驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性。

當(dāng)用三種多邊形鋪設(shè)地面時(shí)，以x個(gè)正三角形，y個(gè)正方形，z個(gè)正六邊形為例，則：

60°x+90°y+120°z=360°

這就轉(zhuǎn)化成了三元一次方程正整數(shù)解問題。

通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示實(shí)踐操作體驗(yàn)、模型總結(jié)、模型運(yùn)用、操作驗(yàn)證，將學(xué)生的課堂積極性調(diào)動(dòng)起來，不僅能活躍課堂氛圍，同時(shí)還滲透了數(shù)學(xué)思想、解題方法的教學(xué)。

二、動(dòng)靜結(jié)合，妙在理解

幾何畫板軟件是集靜態(tài)精準(zhǔn)作圖和動(dòng)態(tài)變換探究功能于一體的數(shù)學(xué)作圖軟件，用戶根據(jù)自己的理解運(yùn)用創(chuàng)作出豐富多彩的課件，動(dòng)靜結(jié)合，直觀展示，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想，破解教學(xué)重難點(diǎn)。例如探究二次函數(shù)一般式的系數(shù)對函數(shù)圖像的影響時(shí)，教師可通過制作好的課件讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)，如改變a、b、c的數(shù)值，觀察函數(shù)圖像發(fā)生的變化，猜想二次函數(shù)系數(shù)a、b、c對圖像的影響，從而總結(jié)規(guī)律：依次改變a、b、c時(shí)，函數(shù)圖像的開口方向、開口大小、對稱軸、與y軸交點(diǎn)位置發(fā)生變化，直觀形象地呈現(xiàn)出“形變數(shù)就變，數(shù)變形也變”的互相依存關(guān)系，學(xué)生自然而然體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的妙處，培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀和數(shù)形結(jié)合的思想。

在“一次函數(shù)性質(zhì)”教學(xué)中，學(xué)生對“一次函數(shù)的系數(shù)k、b的改變對一次函數(shù)圖像的影響”理解存在問題，利用幾何畫板度量點(diǎn)的坐標(biāo)功能，得到度量值k、b，再利用熱文本功能，將度量值k、b關(guān)聯(lián)入解析式，通過上下拖動(dòng)點(diǎn)k、b，改變系數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像變化趨勢及所在象限，得出結(jié)論：當(dāng)|k|增大時(shí)，直線傾斜度增加，與x軸夾角增大，當(dāng)|k|減小時(shí)，直線傾斜度減少，與x軸夾角變小，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ);當(dāng)b>0時(shí)，圖像向上平移b個(gè)單位，當(dāng)b<0時(shí)，圖像向下平移|b|個(gè)單位，滲透平移的幾何變換思想;當(dāng)k>0，b>0時(shí)，圖像過一、二、三象限，當(dāng)k>0，b<0時(shí)，圖像過一、三、四象限，當(dāng)k<0，b>0時(shí)，圖像過一、二、四象限，當(dāng)k<0，b<0時(shí)，圖象過二、三、四象限。通過動(dòng)態(tài)變換，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)動(dòng)變換的思維，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，滲透用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的核心素養(yǎng)。有了以上探究經(jīng)歷，通過融匯貫通類比思想，學(xué)生在探究反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)時(shí)就會(huì)容易許多。

三、幾何變換，妙在構(gòu)圖

不規(guī)則圖形陰影面積的計(jì)算在中考中屢見不鮮，學(xué)生解決此類問題的方法和破題點(diǎn)往往有失偏頗，但如果我們在教學(xué)中滲透幾何變換法，將部分圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換，從而將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，將分散圖形集中，那么這類問題就會(huì)迎刃而解，而此中破解之道就在于“如何進(jìn)行幾何變換”和“為什么會(huì)想到這樣的變換方式”。

例1：如圖1，點(diǎn)C、D分別是半圓AOB上的三等分

點(diǎn)。若陰影部分的面積是，則半圓的半徑OA的長為? ? ? ? ? 。

分析：圖中陰影為不規(guī)則陰影，無法直接運(yùn)用已知的圖形面積公式計(jì)算，通過對陰影圖形分析，連結(jié)CD，陰影部分被分割成弓形和三角形，由已知條件易證CD∥AB，利用平行線間的距離處處相等可得S△BCD＝S△OCD。因此將不規(guī)則陰影圖形面積轉(zhuǎn)化為弓形和正三角形的面積和，即扇形，進(jìn)而求解。

解：如圖2，連結(jié)OC、OD、CD，則∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°?！逴B＝OD＝OC，∴△OCD和△OBD均為正三角形，∴∠ODC＝∠BOD＝60°，∴AB∥CD，∴S△BCD＝S△OCD，∴S陰影部分＝S扇形OCD，

∴。解得r＝3，于是半圓的半徑OA的長為3，故答案為3。

例2：如圖3，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為________。

分析：顯然陰影部分面積為不規(guī)則圖形，不易直接求解，容易想到利用扇形FDE面積減去四邊形面積，但四邊形面積不易求解，但利用旋轉(zhuǎn)變換，如圖4，將扇形FDE旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，則四邊形變?yōu)檎叫?，故而易于求解。解：如圖5，連結(jié)CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，垂足分別為M，N?！逤A＝CB，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴DC＝AB＝1，四邊形

DMCN是正方形，DM＝，∴扇形FDE的面積為＝。∵CA＝CB，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD

平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN?！摺螱DH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN。在△DMG和△DNH中，∴△DMG≌△DNH

（AAS），∴S四邊形DGCH＝S四邊形DMCN＝，

∴陰影部分的面積為，因此本題答案為。

求解不規(guī)則圖形面積時(shí)，通過對不規(guī)則圖形進(jìn)行分析，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將圖形進(jìn)行分割轉(zhuǎn)化，再將分割后的圖形進(jìn)行幾何變換，實(shí)現(xiàn)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形、將部分轉(zhuǎn)化為整體的效果，從而利用規(guī)則圖形面積公式進(jìn)行計(jì)算求解。

四、動(dòng)態(tài)定位，妙在分類

中考?jí)狠S題的核心是數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的精髓是函數(shù)，函數(shù)的核心是運(yùn)動(dòng)變化。圖形的運(yùn)動(dòng)變換，歸根結(jié)底是圖形上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變換。圖形的動(dòng)態(tài)型問題由于具有運(yùn)動(dòng)對象的多樣性、運(yùn)動(dòng)路徑的多變性、運(yùn)動(dòng)條件的制約性、運(yùn)動(dòng)結(jié)果的豐富性，更兼具涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合與核心、考查形式新穎等特點(diǎn)而備受中考命題者的青睞。這類問題一般設(shè)計(jì)為探究性問題和說理與計(jì)算推理相結(jié)合這兩類綜合題，具有以下特點(diǎn)：試題所給的圖形只是運(yùn)動(dòng)元素（對象）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的其中一種情況反映，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)出現(xiàn)多種情形，其中另外幾種情形都需要學(xué)生在較短的考試時(shí)間內(nèi)自主探索、通過畫圖尋找。由于考試時(shí)間緊張、思維坡度大，同時(shí)需要考慮不同時(shí)段、不同條件下的圖形運(yùn)動(dòng)情形，許多學(xué)生對此感到恐懼、茫然，不知從何處入手來應(yīng)對，這對學(xué)生來說是一種挑戰(zhàn)。而利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示功能進(jìn)行動(dòng)態(tài)定位分析和畫靜態(tài)分類示意圖兩步策略，能幫助學(xué)生有效解決這類動(dòng)態(tài)變化型問題。

所謂動(dòng)態(tài)定位分析，就是著眼于問題全局，先從整體層面上分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑與運(yùn)動(dòng)區(qū)域，初步獲得并做好先期性解題規(guī)劃。而據(jù)此所畫出的靜態(tài)分類示意圖，就是根據(jù)動(dòng)態(tài)定位分析中每一種運(yùn)動(dòng)類型下運(yùn)動(dòng)元素的運(yùn)動(dòng)情況，畫出該元素所滿足要求的運(yùn)動(dòng)趨勢下的靜態(tài)圖。解題思考過程重點(diǎn)考查學(xué)生對運(yùn)動(dòng)過程的分析，突出數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想，以下題為例。

例3：如圖6，拋物線與軸

交于A（-1，0），B（4，0），與軸交于點(diǎn)C。連接AC、BC，點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)。

（1）（2）略；

（3）若點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作軸的垂線交BC于點(diǎn)H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時(shí)，求線段PH的長。

動(dòng)態(tài)定位分析：點(diǎn)P在第一象限運(yùn)動(dòng)過程中，△PFH的形狀發(fā)生變化，存在某些時(shí)刻，使得△PFH為等腰三角形，但等腰△PFH的哪兩邊相等不確定，根據(jù)等腰三角形兩邊相等進(jìn)行分類，具體有PF=PH、PF=FH、PH=FH三種情況。

靜態(tài)分類分析：根據(jù)PF=PH、PF=FH、PH=FH三種情況畫出分類示意圖如圖7、圖8、圖9所示。

破解策略分析：本題為等腰三角形的存在性問題，根據(jù)等腰三角形定義兩邊相等進(jìn)行分類討論，解題視角不同，解題方法也會(huì)不同，而借助幾何圖形的特征求解可以有效降低運(yùn)算量。

小畫板，大妙用。幾何畫板輔助課堂教學(xué)并不僅限于此，課程標(biāo)準(zhǔn)多次強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)與教育教學(xué)融合的必要性，同時(shí)也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)軟件輔助課堂教學(xué)的趨勢，而幾何畫板正是輔助初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有力工具，教師應(yīng)通過長期實(shí)踐，不斷反思，爭取讓小畫板發(fā)揮更大的妙用，助力數(shù)學(xué)課堂改革，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量。

【參考文獻(xiàn)】

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