智慧課堂環(huán)境下高中數(shù)學實驗研究

李必船

數(shù)學實驗對于學生學習興趣的培養(yǎng)和創(chuàng)新能力的提高有重要意義，是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的必要教學形式。但是數(shù)學研究對象往往比較復雜和抽象，加之實驗模型難以構建，以致數(shù)學實驗在中學課堂上難以開展。“智慧課堂”系統(tǒng)和GeoGebra軟件的應用為包括立體幾何在內(nèi)的數(shù)學實驗帶來了新契機。在智慧課堂環(huán)境下，教師可以科學應用信息技術引導學生自主實驗，通過手、眼、腦的配合完成知識的生成。筆者以一道立體幾何習題為例，介紹高中數(shù)學數(shù)字化實驗的設計思路和實施方法。

一、研究背景

傳統(tǒng)教學模式下數(shù)學實驗主要是重現(xiàn)和驗證數(shù)學結論。而現(xiàn)代意義上的數(shù)學實驗是以信息技術和專業(yè)數(shù)學軟件的應用為特征，通過構建實驗模型，在信息化和智能化環(huán)境下開展的探究性教學模式，旨在培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。數(shù)字化實驗強調(diào)學生的自主實踐和獨立操作，充分發(fā)揮學生的主體作用，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展，它是一種適應課程改革與發(fā)展、體現(xiàn)立德樹人精神的新型數(shù)學教學模式。

章建躍在《課程改革呼喚數(shù)學實驗》一文中指出：以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領的課改訴求，主要體現(xiàn)在調(diào)動各種感官參與數(shù)學學習與應用的活動，教師借助于適當?shù)墓ぞ撸寣W生通過動手試驗、動眼觀察、動腦思考等全方位的活動，經(jīng)歷“事實—概念—性質(zhì)（關系）—結構（聯(lián)系）—應用”的完整學習過程，使學生在掌握數(shù)學知識的過程中，形成“做數(shù)學”的體驗和意識，提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，為發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)奠定堅實基礎。很多教師的數(shù)學教學有所欠缺，特別是缺少概括概念所必需的“事實”、歸納性質(zhì)所需要的素材、訓練應用能力所需要的好問題，以及以反映真實的問題情境為載體的過程性教學，為此，在中學數(shù)學課程中引入數(shù)學實驗可謂是正當其時。

廣大教師對于數(shù)學實驗的重要性是充分認同的，經(jīng)常在“情境創(chuàng)設”和“探究”等教學環(huán)節(jié)中應用信息技術演示實驗。但僅憑演示，學生還是沒有機會動手操作，只能獲得間接經(jīng)驗，效果大打折扣。造成這種現(xiàn)象的原因有兩點：一是缺少用于指導教師開展學生自主實驗的一般模式，完全依靠教師設計與研究，費時費力；二是開展數(shù)學實驗需要較多教學時間，在“提升核心素養(yǎng)”和“刷題提高考試成績”的選擇中，教師多傾向于后者。

二、智慧課堂環(huán)境下的數(shù)學實驗模式

智慧課堂的普及和數(shù)學軟件的應用，為數(shù)學實驗創(chuàng)新創(chuàng)造了條件。智慧課堂系統(tǒng)支持教室內(nèi)多種終端設備的互聯(lián)互通，具備實時的數(shù)據(jù)收集和分析能力，便于師生間、生生間的立體化互動，使教學環(huán)境更為開放，進而使以學定教的差異化“精準教學”成為可能，促進個性化教學和因材施教的真正實現(xiàn)。

教師開展數(shù)學實驗教學需要專業(yè)的數(shù)學軟件支持，其中GeoGebra軟件就是比較理想的選擇。GeoGebra軟件尤其在立體幾何方面功能強大，是立體幾何實驗的好工具。

筆者對數(shù)學實驗模式做了全面研究，基本內(nèi)容包括：明確實驗目標，確定實驗內(nèi)容，設計實驗步驟，建立實驗模型，組織學生自主實驗，提交實驗結果，分析實驗原理，總結與拓展。

教師設定實驗目標要考慮以下兩點：一是明確知識與技能目標，使之起到輔助常規(guī)數(shù)學教學的作用，即針對常規(guī)教學中的難點，用實驗的方法在真實的情境中分析和解決問題；二是明確核心素養(yǎng)目標，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)先要有令學生感興趣的形式與內(nèi)容，讓學生在真實情境中觀察、思考、總結、交流討論，這個過程就是學生素養(yǎng)提升的過程。學生獲得的直接經(jīng)驗對素養(yǎng)的提升作用遠超傳統(tǒng)教學模式下獲得的間接經(jīng)驗。教師在選擇實驗內(nèi)容時，要將素養(yǎng)提升作為主要因素考慮。

實驗模型的建立有兩種形式：對于平面上的函數(shù)與幾何問題，宜以學生自主建立模型為主，既提升學生的信息技術素養(yǎng)，又保證實驗過程的完整性；對于立體幾何等其他實驗，則以教師建立實驗模型后分享給學生的形式為主，以提高實驗的效率和準確性。

智慧課堂系統(tǒng)的應用為實驗結果的提交、交流討論提供了便利：教師在系統(tǒng)中發(fā)布“主觀題作業(yè)”；學生截圖或拍照提交作業(yè)，提交后可以與同伴的實驗作品進行對比。接下來的實驗原理分析還是以學生講評為主，教師要做好串聯(lián)、并聯(lián)和總結。智慧課堂系統(tǒng)中“學生講”的功能支持學生將平板電腦信息投影至教室主屏幕，學生只需在自己的平板電腦上操作就可以在全班范圍內(nèi)展示實驗操作與實驗現(xiàn)象。

三、習題呈現(xiàn)

2019年人教A版《普通高中教科書 數(shù)學??必修 第二冊》習題8.5“拓廣探索”第15題如下。

如圖1所示，透明塑料制成的長方體容器-內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊于地面上，再將容器傾斜。隨著傾斜程度的不同，有下面五個命題：

（1）有水的部分始終呈棱柱形；

（2）沒有水的部分始終呈棱柱形；

（3）水面所在四邊形的面積為定值；

（4）棱始終與水面所在平面平行；

（5）當容器傾斜如圖1（3）所示時，·是定值。

其中所有正確命題的序號是____________，為什么？

簡析：答案是（1）、（2）、（4）、（5）。旋轉過程中，棱與地面的夾角從90°減小到0°，有水的部分和沒有水的部分始終是棱柱，且棱柱高為定值，底面積為定值。

受版面限制，教材只能展現(xiàn)個別場景，此題還有很大的發(fā)揮空間。教師將這道習題改編為一項數(shù)學實驗，既可以培養(yǎng)學生的學習興趣，又可以進一步挖掘該題的思維價值，發(fā)現(xiàn)并提出更多的問題。旋轉過程中水的形狀除了與旋轉的角度有關，還與圖1中水面的高度有關，教師基于此，設圖1（1）中容器高度為，水的高度為，引導學生分三種情況討論：0<<0.5；=0.5；0.5<<。此實驗可以在兩個層次上提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。一是提升“直觀想象”素養(yǎng)，這是學生學好立體幾何的基礎，也是提升其他素養(yǎng)的基礎。教師讓學生在實驗環(huán)境中觀察與體驗，獲得直接經(jīng)驗，逐步使所有學生的直觀想象素養(yǎng)達到培養(yǎng)要求。二是提升“數(shù)學計算”素養(yǎng)，習題本身并沒有復雜的運算問題，教師只需追問：水面什么時候經(jīng)過點或點，就得到一個有趣的計算問題。但這需要較高的直觀想象素養(yǎng)作為基礎，學生需要通過實驗發(fā)現(xiàn)旋轉過程中，有水部分的形狀和沒有水部分的形狀都是棱柱，且兩個棱柱的底面積和高都是定值。

四、實驗設計

（一）建立實驗模型

第1步：依次建立5個滑動條、、、、，分別表示長方體的長、寬、高，底面在地面上時水的高度，旋轉角（側棱與軸的夾角），∈[0°，90°]。

第2步：輸入=（0，0，0），=（0，，0），=（- cos（），0， sin（）），=平移（，向量（，）），=（ sin（），0， cos（）），得到“3D繪圖區(qū)”的、、、、五個點。

第3步：選擇“棱柱”工具，依次點擊、、、、、，得到四棱錐。

第4步：輸入=如果（<=0.5， ，-）。是一個過渡變量，設置此變量的目的是將0.5?<<時的情況轉化為0<<0.5時的情況，減少制作的工作量。

第5步：輸入=如果（<=tan（2/）， cos（）+0.5?tan（）cos（）， 如果（<=tan（（2-2）/）， sqrt（2 cos（） sin（）），sin（）（（ ）/+ 0.5?tan（90°-））））。變量表示在0<<=0.5的情況下水面的高度。

第6步：輸入=（0，0，如果（<=0.5，，（）

-）），得到旋轉過程中水面與軸的交點。“如果”指令的運用是配合第5步中的轉化。

第7步：輸入垂直平面（，軸），得到過點且垂直于軸的平面。

第8步：輸入相交路徑（，），得到平面與容器的交線，即旋轉過程中的水面。此處省略對后續(xù)視圖的美化。

至此，GeoGebra實驗模型制作完成，學生可以在自己的平板電腦上開展實驗活動（如圖2）。

（二）指向“直觀想象”素養(yǎng)發(fā)展的實驗設計

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎。實驗活動：任取一組變量、、、的值，改變的值控制容器旋轉，觀察有水的部分與沒有水的部分呈現(xiàn)的形狀分別是什么。完成下面的觀察報告：

當=_______，=_______，=_______，=_______時，隨著旋轉角由0°增加到90°，有水部分的形狀依次是：_______、_______、_______；沒有水部分的形狀依次是：_______、_______、_______。

實驗步驟：1.學生自主實驗，截圖提交實驗結果。2.學生投屏主講分析實驗原理。3.教師串聯(lián)、并聯(lián)、總結。

實驗結果：

當0<<0.5時，有水部分的形狀依次是：、、；沒有水部分的形狀依次是：、、。

當=0.5時，有水部分的形狀依次是：、、；沒有水部分的形狀依次是：、、。

當0.5?<<時，有水部分的形狀依次是：、、；沒有水部分的形狀依次是：、、。

（三）指向“數(shù)學運算”素養(yǎng)發(fā)展的實驗設計

（四）指向“數(shù)學抽象”素養(yǎng)發(fā)展的課后拓展實驗設計

五、結語

實驗是數(shù)學教學的重要形式，是常規(guī)教學的必要補充，對于提高教學質(zhì)量、提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)有不可替代的作用。教師要推進數(shù)學實驗與信息技術深度融合，要考慮學生的差異性，設計合理的實驗目標，在實驗中加強對學生的引導和個別指導，實現(xiàn)真正的手眼腦并用，避免流于形式的“表演”。立體幾何實驗模型的制作費時費力，教師學習應用新的軟件和技術能大大提高效率。對教師而言，提高信息素養(yǎng)是職業(yè)要求，也是成長路徑。

注：本文系安徽省教育信息技術研究2022年度立項課題“智慧環(huán)境下數(shù)學實驗校本課程的研究”（課題編號：AH2022031）的研究成果。

參考文獻

[1] 章建躍.課程改革呼喚數(shù)學實驗[J].江蘇教育，2017（27）：18.

[2] 張永超.智慧課堂覓智慧 思維學科話思維——關于暢言智慧課堂教學系統(tǒng)在數(shù)學教學中應用的思考[J].中國數(shù)學教育，2018（9）：2-6.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準：2017年版2020年修訂[S]．北京：人民教育出版社，2020.

（作者系安徽省合肥市廬陽高級中學教師）

責任編輯：祝元志