基于STEM的高中數學建模類研究性學習課程設計

梁燕　劉詩婷　黃巧紅　張雨

摘要： 數學建模和STEM教育均強調跨學科學習和在真實世界中進行問題實踐，兩者相融合可為學生創新能力培養提供新思路。首先，本研究分析梳理了目前STEM課程面臨的困境，并結合高中學生的特征，設計了“基于STEM的高中數學建模類研究性學習”課程。其次，本課程以研究性學習為主導，提出了“四階段教學模式”，并以具體建模論文作品作為案例進行了教學實踐。最后，借助數據分析工具對在課程開設前后調研的數據進行分析，結果顯示學生的數學建模素養和STEM相關技能均有所提升。因此，本課程可為跨學科研究性學習課程設計開發提供案例參考和經驗借鑒。

關鍵詞：STEM教育；數學建模；研究性學習；教學模式

近年來，STEM課程主要以科學課、綜合實踐活動、動手操作課等形式在中小學課堂開展。大部分課程對軟硬件設備、師資力量、社會支持等依賴性較強，教學資源相對缺乏，教師對STEM教學容易缺乏信心。其中，部分課程對基礎科學知識學習和科學探究能力培養重視不夠，且容易進入編程化、工具化和操作化的技術誤區。教師在STEM教學方法與教師專業內容綜合實踐方面仍存在一定困難。因此，開發普適性和知識性更強的STEM課程具有一定的可行性與價值性。

數學作為STEM教育中的基礎學科，理解和應用一定的數學知識后再進行科學探究實踐，對提升學生問題解決和創新能力具有積極意義。數學建模作為高中數學六大核心素養之一，重點關注用數學語言表達現實問題、用數學方式抽象問題和用數學手段解決問題等，可促進學生進一步理解運用教材中的數學知識。數學建模作為STEM教育的橋梁，將數學建模、STEM和研究性學習三者相結合，不僅可以培育學生數學建模的素養，還有助于學生解決跨學科、復雜綜合的真實問題，探索數學、科學與技術的聯系，激發學生學習興趣。

基于此，本研究以學生數學建模素養培養為目標，以問題解決和實踐創新為導向，設計了基于STEM的高中數學建模類研究性學習課程，探索了數學建模研究性學習教學模式，并基于該模式進行了教學實踐。為驗證學習效果，教師在課程開設前和結束后兩階段，對學生進行了對比調研分析。

一、課程設計

我校在高一、高二學段以校本選修課方式開設本課程。教師以提升學生的創新和自主學習能力為課程教學目標，通過研究性學習方式進行教學，將STEM理念貫穿整個課程學習環節。

（一）學習者特征分析

學習者是教學的主體，為達到課程目標，分析學習者特征對教師制訂教學方案和調整教學策略至關重要。針對數學建模教學環境，本研究從學習者生理和心理層面的5個維度進行分析。

知識基礎：在編程知識方面，高中學生已經掌握了基本的Python編程語法和算法結構，如順序結構、選擇結構、循環結構、數組等知識；具備根據問題設計算法的能力，可為學習其他編程語言（MATLAB、R等）或者建模軟件（SPSS等）提供編程基礎。數學知識方面，高中學生已經會運用基本的函數、導數等知識，已具備學習層次分析、灰色關聯分析等基本數學模型相關知識基礎。

認知能力：該課程的授課對象為高一、高二學生，年齡分布在15～17歲之間。根據皮亞杰的認知發展理論，他們正處于形式運算階段。該階段學生的認知特點表現為，能夠根據邏輯推理、歸納或者演繹的方式解決問題，能夠理解符號的意義，并且思維具有了可逆性、補償性和靈活性。

數學創造性思維：高中階段的學生已具備一定的邏輯推理能力，思維活躍、注重觀察和實踐，能夠對數學知識進行創新應用。該階段的學習注重發展學生的分散思維，指導學生突破固有的知識結構和框架。學生具備數學建模模型相關算法和模型構建的能力。

動機水平：高中學生具有活躍的思維活動，對數學建模有一定的興趣；其思維具有可逆性，會從多角度分析問題，具備創造性地解決問題的能力。其認知驅動力和自我提高內驅力較強。

學習風格：本課程采用研究性學習的方式，每個模塊設置一個研究任務，讓學生能夠將所學數學模型學以致用。在研究過程中，學生需要綜合考慮數學、物理、英語、美術和編程等知識，團隊協作共同完成研究作品。根據Kolb學習風格模型，學生更傾向于從實踐操作中學習知識，屬于調適型學生。

（二）內容設置

結合相關學者對數學建模研究性學習課程相關內容設計的研究，本課程著重考慮以下三點：數學建模教學特點和高中學生思維習慣；學生實際數學、英語、編程等知識基礎；相關課程教學目標和教學效果。因此，教師基于上述要求最終確定課程內容（如圖1）。

本課程由6個單元組成（見表1）。模型部分共涉及權重計算、綜合評價和預測模型三大類。模型選取案例多為《數學建模算法與應用》等書籍中簡單成熟且符合高中學生知識水平的作品。最后再講述實踐探究與論文撰寫的一般過程。

第一單元為“揭秘數學建模”。本單元中，教師首先介紹數學建模的思想和解題步驟，并以“開槍打鳥”的案例揭開數學建模的神秘面紗。其次，介紹數學建模常用軟件，如SPSS、MATLAB、Python等。由于學生已經具有一定編程基礎，課程以MATLAB為例，簡要介紹其編程基本語法和選擇、循環、判斷三大結構簡單案例。最后，重點講授回歸、擬合和插值法等繪圖格式和方式。創新任務為學生繪制本單元知識點思維導圖。

第二單元為“權重計算模型之層次分析法”。教師首先從層次分析法的原理入手，講解判斷矩陣、矩陣一致性檢驗等數學基礎知識。其次，以MATLAB為例，講解層次分析法核心代碼編寫。最后，引入案例“選擇合理游玩地點”，通過分析影響游客選擇旅游地點的因素，采用層次分析法對各因素的權重進行計算，獲得選擇游玩地點的最佳方案。創新任務為學生自主完成層次分析法論文撰寫。

第三單元為“綜合評價模型之灰色關聯分析”。首先，教師介紹灰色關聯分析模型的關聯度計算等數學原理；其次，講述其編程實現流程；最后，引入“分析產業對GDP的影響程度”和“評價河流水質情況”兩個案例進行分析建模。有能力的學生可完成評價河流水質情況相關App開發。創新任務為學生自主編寫灰色關聯分析代碼、撰寫灰色關聯分析法論文。

第四單元為“綜合評價模型之加權灰色關聯分析”。本單元在灰色關聯分析法的基礎上增加了對組合權重值的計算學習。可用第二單元所講的層次分析法進行權重計算，或者采用熵值法進行權重計算。教師再引入“供應商選擇”案例，讓學生進行數學建模分析和寫作。創新任務為學生編寫加權灰色關聯分析法代碼、撰寫加權灰色關聯分析論文。

第五單元為“簡單預測模型之BP神經網絡”。教師首先進行高中數學函數、導數、微積分等知識講解。其次，選用“根據身高和體重預測性別”的簡單案例進行手動推算公式，從而讓學生理解BP神經網絡的原理。最后，選用“汽油樣品紅外光譜及其辛烷值含量測定及預測”案例，基于MATLAB軟件對其原理和代碼編程實現進行講解。有興趣的學生可選擇完成利用BP神經網絡模型設計開發預測類App。創新任務為學生完成該單元內容相關的論文寫作。

第六單元為“實踐探究與論文撰寫”。教師會給出兩個數學建模競賽題目，分別為“網絡新聞可信度測評（IMMC2019秋季賽，B題）”和“過山車（HIMCM2018，A題）”。學生可從中選擇一個題目，也可自擬題目，選用前五個單元所學數學模型撰寫論文。本單元同時會涉及數學建模類論文寫作格式與要求。

本課程的六個單元雖然主題獨立，各有自己的教學重點、難點，但相關理論模型數學知識和任務要求卻循序漸進。每個單元均包含2個或3個學習任務和1個創新任務。其中，創新任務只要求拔尖組參加數學建模競賽的學生完成。每個單元的教學時間為3～6小時。

（三）目標確立

本課程根據喻平提出的數學核心素養框架，將學生的學習表現分為知識理解、知識遷移和知識創新三種形態，并以此確定課程目標。各目標相互聯系，層層遞進。

知識理解：知道根據實際問題搜集資料的方法；掌握數學建模模型要素，學會根據問題選擇簡單數學模型進行數據分析；掌握數學建模中所涉及的編程環境或語言（Matlab、python、C++等），能夠理解數學模型相關公式或代碼；掌握數學建模類研究報告以及數學建模類研究論文框架。

知識遷移：會從所搜集資料中提煉出重要內容，能結合搜集所得資料分析問題；會將生活中的實際問題轉化成數學模型，會對較復雜數學模型進行數據分析；能夠自行改寫數學模型相關代碼進行數據計算；能通過團隊合作探究問題、搜集資料，完成數學建模類研究報告和論文的撰寫；能根據撰寫的數學建模論文完成答辯。

知識創新：能夠對所搜集資料提煉出要點，轉化為文本形式進行寫作；從現實中抽象出簡單數學模型后，能在此基礎上自主改進或者設計較為高效的數學模型；能夠自己設計算法完成數學模型計算；能從多角度分析問題，對研究論文進行優化；有創造力地完成課程中的拓展任務，進行知識的遷移與創新。

二、實施

（一）模式構建

撰寫研究論文為本課程的主線，單元創新任務和課程結題實踐任務均需要完成研究論文撰寫。論文撰寫該如何實施呢？本課程設計了四階段教學模式，涉及選題、開題、做題和結題四個實施階段（如圖2），分別對應STEM中的科學探究、數學知識、技術應用和工程設計四個方向。

在課程實施過程中，教師根據課程特點、探究活動任務的難易程度以及學生探究活動任務完成的情況，適當調整課程實施策略。具體為：（1）從學生出發構建課程結構體系。教師在設計課程的時候，從學生出發建構課程內容和體系，符合學生的認知特點。（2）充分發揮學生主體性。教師通過設置各類活動充分發揮學生主體性。具體包括上臺展示與匯報、以老帶新、結對互助等方式。（3）為學生創造優質的學習環境。為了保證學生的學習效果，學校為學生提供了最優質的機房，保證學生的研究順利進行。（4）強化學生的學習成果和內在動機。教師為學生提供多種展示平臺，鼓勵學生將論文成果參賽和發表，激發學生內在學習動機。

（二）數學建模STEM案例

王巍和袁磊認為，基于項目式的STEM課程設計應該遵循兩個原則：選題需要來自真實世界并且作用于真實世界；教師需要圍繞核心概念和關鍵技能設計項目主題。數學模型抽象能力是學生數學建模學習過程中的核心要點和難點。那么，該如何培養學生從真實情境中抽象出數學模型的能力呢？為解決這個問題，基于上述兩個原則，教師以學生項目研究論文作品“初中生‘雙減’政策滿意度影響因素量化分析”為例進行分析闡述。該項目任務來自課程第六單元“實踐探究與論文撰寫”中的子任務“自選研究方向利用所學數學模型完成論文撰寫”。具體的四階段教學模式實施步驟如下文所示。

第一步：選題階段。學生自主組隊交流，以2～4人為一組完成任務分工表，涉及文獻資料查找、數據分析、論文寫作、模型建立求解和代碼編寫等任務。針對本選題，學生任務單如下：前人關于“雙減”的研究現狀如何，有何優勢和不足，能否從中獲得研究突破點；如何界定“滿意度”的概念；影響“雙減”滿意度的因素有哪些；因素選取有何理論或事實證據；數據獲取途徑有哪些；如果用到問卷，問卷如何設計；數據質量不高該如何處理；量化滿意度的數學模型有哪些；如何選取或設計改進模型進行數據分析；大概可以得到哪些結論；所得結論和現有文獻有何異同點。值得注意的是，教師只需在學生思維阻塞時給予簡單引導，以促進學生思維發散，切忌在思路上過多干預。

第二步：開題階段。首先，通過深入解讀“雙減”、滿意度和量化分析三個關鍵詞，學生初步確定研究內容：基于文獻或訪談等證據選取相關因素；建模篩選關鍵因素；選取模型分析量化各因素間的內在聯系；抽象數學模型并計算獲得真實滿意度；結論對改善現狀的啟示。其次為具體模型操作層面，學生需思考如何抽象出相關數學模型。通過查閱文獻，量化分析常用數學模型為因子分析、灰色關聯分析、結構方程模型、BP神經網絡和多元回歸分析等，那該采用哪些模型進行分析呢？關于此部分，教師可以適當引導學生從多種角度出發，譬如因素間關聯強度、相關核心概念、模型組合改進等，從不同角度分析可能會得到不同模型抽象方式。實際操作中，從核心概念角度：部分小組選擇從“滿意度”概念的視角出發；由于滿意度是一個比較灰色的概念，因此最終選定使用灰色關聯分析模型進行量化研究。從模型組合改進角度：部分小組綜合多元回歸、層次分析法等模型分析結果，對比分析不同模型所得結論；也有采用通過修改模型中參數的方式，對熵權法、因子分析法、灰色關聯分析、TOPSIS等模型進行組合優化，從該角度也可得到一些有趣的結論。至此，學生已完成從真實世界中抽象數學模型的步驟。

第三步：做題階段。雖然開題階段已經初步抽象出數學模型，但是在解答模型過程中出現實測數據與解模所得結論相違背，學生需重新建模解模，直到實測數據與真實情境相符合為止。具體操作層面，教師可引導學生重新回到開題環節，從因素選取、數據來源、模型建立、模型分析等角度查找問題癥結。在此過程中，小組成員間思維迭代流程將循環經歷5個階段：提出問題、分析問題、想法迭代、構造解決方案和實踐。比如針對如何篩選“雙減”滿意度影響因素這一子問題，該選擇哪些因素進行分析建模呢？針對該細節，學生首先需要從文獻、師生訪談等事實依據出發，通過小組頭腦風暴激發想法。其次，羅列出小組成員從各種途徑查到的因素，采用情緒化思維促進積極的想法。第三，通過不斷的想法迭代，歷經小組討論結合真實數據支撐，選擇保留和剔除因素，循環該操作直到小組成員意見達到統一為止。最后，通過批判性思維鞏固想法，獲得最終的因素。

第四步：結題階段。首先，學生需要完成論文撰寫。在獲得過程性資料后，最后一步為小組分工協作，完成論文撰寫各自分工任務。論文撰寫需要滿足學術規范，形成20～30頁的結題報告。其次，分小組進行成果展示。展示過程中需要制作PPT，重點講述建模和解模的思想，代碼正確性以及模型驗證等三部分。最后，師生進行評價。需要完成自評、互評、小組評價以及教師評價等四部分。涉及學生選題意義、研究過程中用到的學科知識、數學方法、技術方法以及答辯表現等內容。

三、成效

共計41名學生選修了本課程。為探究學生學習效果，教師參考翁欣鈺和彭迪的STEM和數學建模相關量表，設計了前后測學習效果測試問卷，并向選修課學生發放紙質問卷。問卷回收率和有效率為100%。分析結果如表2所示。

由表2可知，STEM態度前后差值為1.081，提升最為明顯，數學建模能力值為4.195，均值最高。說明學生的STEM態度和建模能力得到了良好的發展。STEM技能值為3.911，均值最低，學生在此方面還有一定的提升空間，應引起教師特別重視。在后期的教學中，需要重點關注學生項目內容轉化、跨學科理論知識整合和運用等能力培養。總的來說，六個維度的Sig值均低于0.05，存在顯著差異；后測均值在4以上，這說明大部分學生的STEM和數學建模素養均有所提升，達到了預期的課程目標和教學效果。

四、結語

本研究進行了基于STEM的高中數學建模類研究性學習課程設計與實踐。通過分析學生知識基礎、學習風格等特征確定了教學方法和課程目標。以三類數學模型為基礎構建課程體系，利用實踐任務和創新任務幫助學生培養數學建模興趣、理解數學建模知識和提升抽象構建數學模型能力，并提出了數學建模研究性學習四階段教學模式，以真實建模研究論文撰寫案例“初中生‘雙減’政策滿意度影響因素量化分析”為例闡述具體實施流程。實踐證明，本課程的實施促進了學生STEM、數學建模素養的發展，達到了預期的教學目標，對于高中階段開設數學建模課程有一定的參考價值。

注：本文系北京師范大學未來教育高精尖創新中心和北京師范大學科學教育研究院聯合主辦的第七屆STEM+創新教育學術交流研討會最佳課程獲獎作品。

參考文獻

[1] 吳華，劉俊含.STEM與高中數學建模相融合的教學設計[J].中國現代教育裝備，2021（2）：42-44.

[2] 李芒，易長秋.STEM教育的困境與審思[J].中國遠程教育，2022（9）：27-33.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版[S].北京：人民教育出版社，2018.

[4] 喻平.數學核心素養評價的一個框架[J].數學教育學報， 2017（2）：19-23.

[5] 王巍，袁磊.幼小銜接階段基于項目的STEAM課程教學模式研究[J].現代遠距離教育，2018（3）：51-58.

[6] 翁欣鈺.STEAM教育理念下高中數學建模素養的培養研究[D].南昌：江西師范大學，2022.

[7] 彭迪.基于項目式學習的STEM課例教學模式研究[D].青島：青島大學，2021.

（作者系四川省成都市航天中學校科創教師）

責任編輯：牟艷娜