基于STEM的高中數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究性學(xué)習(xí)課程設(shè)計(jì)

梁燕　劉詩(shī)婷　黃巧紅　張雨

摘要： 數(shù)學(xué)建模和STEM教育均強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科學(xué)習(xí)和在真實(shí)世界中進(jìn)行問(wèn)題實(shí)踐，兩者相融合可為學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)提供新思路。首先，本研究分析梳理了目前STEM課程面臨的困境，并結(jié)合高中學(xué)生的特征，設(shè)計(jì)了“基于STEM的高中數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究性學(xué)習(xí)”課程。其次，本課程以研究性學(xué)習(xí)為主導(dǎo)，提出了“四階段教學(xué)模式”，并以具體建模論文作品作為案例進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。最后，借助數(shù)據(jù)分析工具對(duì)在課程開(kāi)設(shè)前后調(diào)研的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，結(jié)果顯示學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和STEM相關(guān)技能均有所提升。因此，本課程可為跨學(xué)科研究性學(xué)習(xí)課程設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)提供案例參考和經(jīng)驗(yàn)借鑒。

關(guān)鍵詞：STEM教育；數(shù)學(xué)建模；研究性學(xué)習(xí)；教學(xué)模式

近年來(lái)，STEM課程主要以科學(xué)課、綜合實(shí)踐活動(dòng)、動(dòng)手操作課等形式在中小學(xué)課堂開(kāi)展。大部分課程對(duì)軟硬件設(shè)備、師資力量、社會(huì)支持等依賴性較強(qiáng)，教學(xué)資源相對(duì)缺乏，教師對(duì)STEM教學(xué)容易缺乏信心。其中，部分課程對(duì)基礎(chǔ)科學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和科學(xué)探究能力培養(yǎng)重視不夠，且容易進(jìn)入編程化、工具化和操作化的技術(shù)誤區(qū)。教師在STEM教學(xué)方法與教師專(zhuān)業(yè)內(nèi)容綜合實(shí)踐方面仍存在一定困難。因此，開(kāi)發(fā)普適性和知識(shí)性更強(qiáng)的STEM課程具有一定的可行性與價(jià)值性。

數(shù)學(xué)作為STEM教育中的基礎(chǔ)學(xué)科，理解和應(yīng)用一定的數(shù)學(xué)知識(shí)后再進(jìn)行科學(xué)探究實(shí)踐，對(duì)提升學(xué)生問(wèn)題解決和創(chuàng)新能力具有積極意義。數(shù)學(xué)建模作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，重點(diǎn)關(guān)注用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方式抽象問(wèn)題和用數(shù)學(xué)手段解決問(wèn)題等，可促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解運(yùn)用教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)建模作為STEM教育的橋梁，將數(shù)學(xué)建模、STEM和研究性學(xué)習(xí)三者相結(jié)合，不僅可以培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，還有助于學(xué)生解決跨學(xué)科、復(fù)雜綜合的真實(shí)問(wèn)題，探索數(shù)學(xué)、科學(xué)與技術(shù)的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

基于此，本研究以學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)為目標(biāo)，以問(wèn)題解決和實(shí)踐創(chuàng)新為導(dǎo)向，設(shè)計(jì)了基于STEM的高中數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究性學(xué)習(xí)課程，探索了數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)教學(xué)模式，并基于該模式進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。為驗(yàn)證學(xué)習(xí)效果，教師在課程開(kāi)設(shè)前和結(jié)束后兩階段，對(duì)學(xué)生進(jìn)行了對(duì)比調(diào)研分析。

一、課程設(shè)計(jì)

我校在高一、高二學(xué)段以校本選修課方式開(kāi)設(shè)本課程。教師以提升學(xué)生的創(chuàng)新和自主學(xué)習(xí)能力為課程教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)研究性學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)，將STEM理念貫穿整個(gè)課程學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。

（一）學(xué)習(xí)者特征分析

學(xué)習(xí)者是教學(xué)的主體，為達(dá)到課程目標(biāo)，分析學(xué)習(xí)者特征對(duì)教師制訂教學(xué)方案和調(diào)整教學(xué)策略至關(guān)重要。針對(duì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)環(huán)境，本研究從學(xué)習(xí)者生理和心理層面的5個(gè)維度進(jìn)行分析。

知識(shí)基礎(chǔ)：在編程知識(shí)方面，高中學(xué)生已經(jīng)掌握了基本的Python編程語(yǔ)法和算法結(jié)構(gòu)，如順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、數(shù)組等知識(shí)；具備根據(jù)問(wèn)題設(shè)計(jì)算法的能力，可為學(xué)習(xí)其他編程語(yǔ)言（MATLAB、R等）或者建模軟件（SPSS等）提供編程基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)知識(shí)方面，高中學(xué)生已經(jīng)會(huì)運(yùn)用基本的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，已具備學(xué)習(xí)層次分析、灰色關(guān)聯(lián)分析等基本數(shù)學(xué)模型相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)。

認(rèn)知能力：該課程的授課對(duì)象為高一、高二學(xué)生，年齡分布在15～17歲之間。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，他們正處于形式運(yùn)算階段。該階段學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)表現(xiàn)為，能夠根據(jù)邏輯推理、歸納或者演繹的方式解決問(wèn)題，能夠理解符號(hào)的意義，并且思維具有了可逆性、補(bǔ)償性和靈活性。

數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維：高中階段的學(xué)生已具備一定的邏輯推理能力，思維活躍、注重觀察和實(shí)踐，能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)新應(yīng)用。該階段的學(xué)習(xí)注重發(fā)展學(xué)生的分散思維，指導(dǎo)學(xué)生突破固有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和框架。學(xué)生具備數(shù)學(xué)建模模型相關(guān)算法和模型構(gòu)建的能力。

動(dòng)機(jī)水平：高中學(xué)生具有活躍的思維活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)建模有一定的興趣；其思維具有可逆性，會(huì)從多角度分析問(wèn)題，具備創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的能力。其認(rèn)知驅(qū)動(dòng)力和自我提高內(nèi)驅(qū)力較強(qiáng)。

學(xué)習(xí)風(fēng)格：本課程采用研究性學(xué)習(xí)的方式，每個(gè)模塊設(shè)置一個(gè)研究任務(wù)，讓學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)數(shù)學(xué)模型學(xué)以致用。在研究過(guò)程中，學(xué)生需要綜合考慮數(shù)學(xué)、物理、英語(yǔ)、美術(shù)和編程等知識(shí)，團(tuán)隊(duì)協(xié)作共同完成研究作品。根據(jù)Kolb學(xué)習(xí)風(fēng)格模型，學(xué)生更傾向于從實(shí)踐操作中學(xué)習(xí)知識(shí)，屬于調(diào)適型學(xué)生。

（二）內(nèi)容設(shè)置

結(jié)合相關(guān)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)課程相關(guān)內(nèi)容設(shè)計(jì)的研究，本課程著重考慮以下三點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模教學(xué)特點(diǎn)和高中學(xué)生思維習(xí)慣；學(xué)生實(shí)際數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、編程等知識(shí)基礎(chǔ)；相關(guān)課程教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)效果。因此，教師基于上述要求最終確定課程內(nèi)容（如圖1）。

本課程由6個(gè)單元組成（見(jiàn)表1）。模型部分共涉及權(quán)重計(jì)算、綜合評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)模型三大類(lèi)。模型選取案例多為《數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用》等書(shū)籍中簡(jiǎn)單成熟且符合高中學(xué)生知識(shí)水平的作品。最后再講述實(shí)踐探究與論文撰寫(xiě)的一般過(guò)程。

第一單元為“揭秘?cái)?shù)學(xué)建模”。本單元中，教師首先介紹數(shù)學(xué)建模的思想和解題步驟，并以“開(kāi)槍打鳥(niǎo)”的案例揭開(kāi)數(shù)學(xué)建模的神秘面紗。其次，介紹數(shù)學(xué)建模常用軟件，如SPSS、MATLAB、Python等。由于學(xué)生已經(jīng)具有一定編程基礎(chǔ)，課程以MATLAB為例，簡(jiǎn)要介紹其編程基本語(yǔ)法和選擇、循環(huán)、判斷三大結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單案例。最后，重點(diǎn)講授回歸、擬合和插值法等繪圖格式和方式。創(chuàng)新任務(wù)為學(xué)生繪制本單元知識(shí)點(diǎn)思維導(dǎo)圖。

第二單元為“權(quán)重計(jì)算模型之層次分析法”。教師首先從層次分析法的原理入手，講解判斷矩陣、矩陣一致性檢驗(yàn)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。其次，以MATLAB為例，講解層次分析法核心代碼編寫(xiě)。最后，引入案例“選擇合理游玩地點(diǎn)”，通過(guò)分析影響游客選擇旅游地點(diǎn)的因素，采用層次分析法對(duì)各因素的權(quán)重進(jìn)行計(jì)算，獲得選擇游玩地點(diǎn)的最佳方案。創(chuàng)新任務(wù)為學(xué)生自主完成層次分析法論文撰寫(xiě)。

第三單元為“綜合評(píng)價(jià)模型之灰色關(guān)聯(lián)分析”。首先，教師介紹灰色關(guān)聯(lián)分析模型的關(guān)聯(lián)度計(jì)算等數(shù)學(xué)原理；其次，講述其編程實(shí)現(xiàn)流程；最后，引入“分析產(chǎn)業(yè)對(duì)GDP的影響程度”和“評(píng)價(jià)河流水質(zhì)情況”兩個(gè)案例進(jìn)行分析建模。有能力的學(xué)生可完成評(píng)價(jià)河流水質(zhì)情況相關(guān)App開(kāi)發(fā)。創(chuàng)新任務(wù)為學(xué)生自主編寫(xiě)灰色關(guān)聯(lián)分析代碼、撰寫(xiě)灰色關(guān)聯(lián)分析法論文。

第四單元為“綜合評(píng)價(jià)模型之加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)分析”。本單元在灰色關(guān)聯(lián)分析法的基礎(chǔ)上增加了對(duì)組合權(quán)重值的計(jì)算學(xué)習(xí)?？捎玫诙卧v的層次分析法進(jìn)行權(quán)重計(jì)算，或者采用熵值法進(jìn)行權(quán)重計(jì)算。教師再引入“供應(yīng)商選擇”案例，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析和寫(xiě)作。創(chuàng)新任務(wù)為學(xué)生編寫(xiě)加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)分析法代碼、撰寫(xiě)加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)分析論文。

第五單元為“簡(jiǎn)單預(yù)測(cè)模型之BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”。教師首先進(jìn)行高中數(shù)學(xué)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等知識(shí)講解。其次，選用“根據(jù)身高和體重預(yù)測(cè)性別”的簡(jiǎn)單案例進(jìn)行手動(dòng)推算公式，從而讓學(xué)生理解BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的原理。最后，選用“汽油樣品紅外光譜及其辛烷值含量測(cè)定及預(yù)測(cè)”案例，基于MATLAB軟件對(duì)其原理和代碼編程實(shí)現(xiàn)進(jìn)行講解。有興趣的學(xué)生可選擇完成利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)預(yù)測(cè)類(lèi)App。創(chuàng)新任務(wù)為學(xué)生完成該單元內(nèi)容相關(guān)的論文寫(xiě)作。

第六單元為“實(shí)踐探究與論文撰寫(xiě)”。教師會(huì)給出兩個(gè)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目，分別為“網(wǎng)絡(luò)新聞可信度測(cè)評(píng)（IMMC2019秋季賽，B題）”和“過(guò)山車(chē)（HIMCM2018，A題）”。學(xué)生可從中選擇一個(gè)題目，也可自擬題目，選用前五個(gè)單元所學(xué)數(shù)學(xué)模型撰寫(xiě)論文。本單元同時(shí)會(huì)涉及數(shù)學(xué)建模類(lèi)論文寫(xiě)作格式與要求。

本課程的六個(gè)單元雖然主題獨(dú)立，各有自己的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，但相關(guān)理論模型數(shù)學(xué)知識(shí)和任務(wù)要求卻循序漸進(jìn)。每個(gè)單元均包含2個(gè)或3個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)和1個(gè)創(chuàng)新任務(wù)。其中，創(chuàng)新任務(wù)只要求拔尖組參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生完成。每個(gè)單元的教學(xué)時(shí)間為3～6小時(shí)。

（三）目標(biāo)確立

本課程根據(jù)喻平提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)框架，將學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新三種形態(tài)，并以此確定課程目標(biāo)。各目標(biāo)相互聯(lián)系，層層遞進(jìn)。

知識(shí)理解：知道根據(jù)實(shí)際問(wèn)題搜集資料的方法；掌握數(shù)學(xué)建模模型要素，學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題選擇簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；掌握數(shù)學(xué)建模中所涉及的編程環(huán)境或語(yǔ)言（Matlab、python、C++等），能夠理解數(shù)學(xué)模型相關(guān)公式或代碼；掌握數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究報(bào)告以及數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究論文框架。

知識(shí)遷移：會(huì)從所搜集資料中提煉出重要內(nèi)容，能結(jié)合搜集所得資料分析問(wèn)題；會(huì)將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，會(huì)對(duì)較復(fù)雜數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；能夠自行改寫(xiě)數(shù)學(xué)模型相關(guān)代碼進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算；能通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作探究問(wèn)題、搜集資料，完成數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究報(bào)告和論文的撰寫(xiě)；能根據(jù)撰寫(xiě)的數(shù)學(xué)建模論文完成答辯。

知識(shí)創(chuàng)新：能夠?qū)λ鸭Y料提煉出要點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為文本形式進(jìn)行寫(xiě)作；從現(xiàn)實(shí)中抽象出簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型后，能在此基礎(chǔ)上自主改進(jìn)或者設(shè)計(jì)較為高效的數(shù)學(xué)模型；能夠自己設(shè)計(jì)算法完成數(shù)學(xué)模型計(jì)算；能從多角度分析問(wèn)題，對(duì)研究論文進(jìn)行優(yōu)化；有創(chuàng)造力地完成課程中的拓展任務(wù)，進(jìn)行知識(shí)的遷移與創(chuàng)新。

二、實(shí)施

（一）模式構(gòu)建

撰寫(xiě)研究論文為本課程的主線，單元?jiǎng)?chuàng)新任務(wù)和課程結(jié)題實(shí)踐任務(wù)均需要完成研究論文撰寫(xiě)。論文撰寫(xiě)該如何實(shí)施呢？本課程設(shè)計(jì)了四階段教學(xué)模式，涉及選題、開(kāi)題、做題和結(jié)題四個(gè)實(shí)施階段（如圖2），分別對(duì)應(yīng)STEM中的科學(xué)探究、數(shù)學(xué)知識(shí)、技術(shù)應(yīng)用和工程設(shè)計(jì)四個(gè)方向。

在課程實(shí)施過(guò)程中，教師根據(jù)課程特點(diǎn)、探究活動(dòng)任務(wù)的難易程度以及學(xué)生探究活動(dòng)任務(wù)完成的情況，適當(dāng)調(diào)整課程實(shí)施策略。具體為：（1）從學(xué)生出發(fā)構(gòu)建課程結(jié)構(gòu)體系。教師在設(shè)計(jì)課程的時(shí)候，從學(xué)生出發(fā)建構(gòu)課程內(nèi)容和體系，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。（2）充分發(fā)揮學(xué)生主體性。教師通過(guò)設(shè)置各類(lèi)活動(dòng)充分發(fā)揮學(xué)生主體性。具體包括上臺(tái)展示與匯報(bào)、以老帶新、結(jié)對(duì)互助等方式。（3）為學(xué)生創(chuàng)造優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)環(huán)境。為了保證學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，學(xué)校為學(xué)生提供了最優(yōu)質(zhì)的機(jī)房，保證學(xué)生的研究順利進(jìn)行。（4）強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)成果和內(nèi)在動(dòng)機(jī)。教師為學(xué)生提供多種展示平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生將論文成果參賽和發(fā)表，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

（二）數(shù)學(xué)建模STEM案例

王巍和袁磊認(rèn)為，基于項(xiàng)目式的STEM課程設(shè)計(jì)應(yīng)該遵循兩個(gè)原則：選題需要來(lái)自真實(shí)世界并且作用于真實(shí)世界；教師需要圍繞核心概念和關(guān)鍵技能設(shè)計(jì)項(xiàng)目主題。數(shù)學(xué)模型抽象能力是學(xué)生數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)過(guò)程中的核心要點(diǎn)和難點(diǎn)。那么，該如何培養(yǎng)學(xué)生從真實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力呢？為解決這個(gè)問(wèn)題，基于上述兩個(gè)原則，教師以學(xué)生項(xiàng)目研究論文作品“初中生‘雙減’政策滿意度影響因素量化分析”為例進(jìn)行分析闡述。該項(xiàng)目任務(wù)來(lái)自課程第六單元“實(shí)踐探究與論文撰寫(xiě)”中的子任務(wù)“自選研究方向利用所學(xué)數(shù)學(xué)模型完成論文撰寫(xiě)”。具體的四階段教學(xué)模式實(shí)施步驟如下文所示。

第一步：選題階段。學(xué)生自主組隊(duì)交流，以2～4人為一組完成任務(wù)分工表，涉及文獻(xiàn)資料查找、數(shù)據(jù)分析、論文寫(xiě)作、模型建立求解和代碼編寫(xiě)等任務(wù)。針對(duì)本選題，學(xué)生任務(wù)單如下：前人關(guān)于“雙減”的研究現(xiàn)狀如何，有何優(yōu)勢(shì)和不足，能否從中獲得研究突破點(diǎn)；如何界定“滿意度”的概念；影響“雙減”滿意度的因素有哪些；因素選取有何理論或事實(shí)證據(jù)；數(shù)據(jù)獲取途徑有哪些；如果用到問(wèn)卷，問(wèn)卷如何設(shè)計(jì)；數(shù)據(jù)質(zhì)量不高該如何處理；量化滿意度的數(shù)學(xué)模型有哪些；如何選取或設(shè)計(jì)改進(jìn)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析；大概可以得到哪些結(jié)論；所得結(jié)論和現(xiàn)有文獻(xiàn)有何異同點(diǎn)。值得注意的是，教師只需在學(xué)生思維阻塞時(shí)給予簡(jiǎn)單引導(dǎo)，以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散，切忌在思路上過(guò)多干預(yù)。

第二步：開(kāi)題階段。首先，通過(guò)深入解讀“雙減”、滿意度和量化分析三個(gè)關(guān)鍵詞，學(xué)生初步確定研究?jī)?nèi)容：基于文獻(xiàn)或訪談等證據(jù)選取相關(guān)因素；建模篩選關(guān)鍵因素；選取模型分析量化各因素間的內(nèi)在聯(lián)系；抽象數(shù)學(xué)模型并計(jì)算獲得真實(shí)滿意度；結(jié)論對(duì)改善現(xiàn)狀的啟示。其次為具體模型操作層面，學(xué)生需思考如何抽象出相關(guān)數(shù)學(xué)模型。通過(guò)查閱文獻(xiàn)，量化分析常用數(shù)學(xué)模型為因子分析、灰色關(guān)聯(lián)分析、結(jié)構(gòu)方程模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多元回歸分析等，那該采用哪些模型進(jìn)行分析呢？關(guān)于此部分，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從多種角度出發(fā)，譬如因素間關(guān)聯(lián)強(qiáng)度、相關(guān)核心概念、模型組合改進(jìn)等，從不同角度分析可能會(huì)得到不同模型抽象方式。實(shí)際操作中，從核心概念角度：部分小組選擇從“滿意度”概念的視角出發(fā)；由于滿意度是一個(gè)比較灰色的概念，因此最終選定使用灰色關(guān)聯(lián)分析模型進(jìn)行量化研究。從模型組合改進(jìn)角度：部分小組綜合多元回歸、層次分析法等模型分析結(jié)果，對(duì)比分析不同模型所得結(jié)論；也有采用通過(guò)修改模型中參數(shù)的方式，對(duì)熵權(quán)法、因子分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析、TOPSIS等模型進(jìn)行組合優(yōu)化，從該角度也可得到一些有趣的結(jié)論。至此，學(xué)生已完成從真實(shí)世界中抽象數(shù)學(xué)模型的步驟。

第三步：做題階段。雖然開(kāi)題階段已經(jīng)初步抽象出數(shù)學(xué)模型，但是在解答模型過(guò)程中出現(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與解模所得結(jié)論相違背，學(xué)生需重新建模解模，直到實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)情境相符合為止。具體操作層面，教師可引導(dǎo)學(xué)生重新回到開(kāi)題環(huán)節(jié)，從因素選取、數(shù)據(jù)來(lái)源、模型建立、模型分析等角度查找問(wèn)題癥結(jié)。在此過(guò)程中，小組成員間思維迭代流程將循環(huán)經(jīng)歷5個(gè)階段：提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、想法迭代、構(gòu)造解決方案和實(shí)踐。比如針對(duì)如何篩選“雙減”滿意度影響因素這一子問(wèn)題，該選擇哪些因素進(jìn)行分析建模呢？針對(duì)該細(xì)節(jié)，學(xué)生首先需要從文獻(xiàn)、師生訪談等事實(shí)依據(jù)出發(fā)，通過(guò)小組頭腦風(fēng)暴激發(fā)想法。其次，羅列出小組成員從各種途徑查到的因素，采用情緒化思維促進(jìn)積極的想法。第三，通過(guò)不斷的想法迭代，歷經(jīng)小組討論結(jié)合真實(shí)數(shù)據(jù)支撐，選擇保留和剔除因素，循環(huán)該操作直到小組成員意見(jiàn)達(dá)到統(tǒng)一為止。最后，通過(guò)批判性思維鞏固想法，獲得最終的因素。

第四步：結(jié)題階段。首先，學(xué)生需要完成論文撰寫(xiě)。在獲得過(guò)程性資料后，最后一步為小組分工協(xié)作，完成論文撰寫(xiě)各自分工任務(wù)。論文撰寫(xiě)需要滿足學(xué)術(shù)規(guī)范，形成20～30頁(yè)的結(jié)題報(bào)告。其次，分小組進(jìn)行成果展示。展示過(guò)程中需要制作PPT，重點(diǎn)講述建模和解模的思想，代碼正確性以及模型驗(yàn)證等三部分。最后，師生進(jìn)行評(píng)價(jià)。需要完成自評(píng)、互評(píng)、小組評(píng)價(jià)以及教師評(píng)價(jià)等四部分。涉及學(xué)生選題意義、研究過(guò)程中用到的學(xué)科知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、技術(shù)方法以及答辯表現(xiàn)等內(nèi)容。

三、成效

共計(jì)41名學(xué)生選修了本課程。為探究學(xué)生學(xué)習(xí)效果，教師參考翁欣鈺和彭迪的STEM和數(shù)學(xué)建模相關(guān)量表，設(shè)計(jì)了前后測(cè)學(xué)習(xí)效果測(cè)試問(wèn)卷，并向選修課學(xué)生發(fā)放紙質(zhì)問(wèn)卷。問(wèn)卷回收率和有效率為100%。分析結(jié)果如表2所示。

由表2可知，STEM態(tài)度前后差值為1.081，提升最為明顯，數(shù)學(xué)建模能力值為4.195，均值最高。說(shuō)明學(xué)生的STEM態(tài)度和建模能力得到了良好的發(fā)展。STEM技能值為3.911，均值最低，學(xué)生在此方面還有一定的提升空間，應(yīng)引起教師特別重視。在后期的教學(xué)中，需要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生項(xiàng)目?jī)?nèi)容轉(zhuǎn)化、跨學(xué)科理論知識(shí)整合和運(yùn)用等能力培養(yǎng)。總的來(lái)說(shuō)，六個(gè)維度的Sig值均低于0.05，存在顯著差異；后測(cè)均值在4以上，這說(shuō)明大部分學(xué)生的STEM和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)均有所提升，達(dá)到了預(yù)期的課程目標(biāo)和教學(xué)效果。

四、結(jié)語(yǔ)

本研究進(jìn)行了基于STEM的高中數(shù)學(xué)建模類(lèi)研究性學(xué)習(xí)課程設(shè)計(jì)與實(shí)踐。通過(guò)分析學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)風(fēng)格等特征確定了教學(xué)方法和課程目標(biāo)。以三類(lèi)數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)構(gòu)建課程體系，利用實(shí)踐任務(wù)和創(chuàng)新任務(wù)幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模興趣、理解數(shù)學(xué)建模知識(shí)和提升抽象構(gòu)建數(shù)學(xué)模型能力，并提出了數(shù)學(xué)建模研究性學(xué)習(xí)四階段教學(xué)模式，以真實(shí)建模研究論文撰寫(xiě)案例“初中生‘雙減’政策滿意度影響因素量化分析”為例闡述具體實(shí)施流程。實(shí)踐證明，本課程的實(shí)施促進(jìn)了學(xué)生STEM、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)于高中階段開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模課程有一定的參考價(jià)值。

注：本文系北京師范大學(xué)未來(lái)教育高精尖創(chuàng)新中心和北京師范大學(xué)科學(xué)教育研究院聯(lián)合主辦的第七屆STEM+創(chuàng)新教育學(xué)術(shù)交流研討會(huì)最佳課程獲獎(jiǎng)作品。

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（作者系四川省成都市航天中學(xué)校科創(chuàng)教師）

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