“概率”復習該怎樣回歸教材

謝永惠

［摘 要］文章以一道高考題為例，對“概率”復習怎樣回歸教材進行思考。復習要回歸教材，關注概念及其辨析，可通過微專題，從夯實基礎出發，使學生掌握核心概念，提高基礎題的得分率，進而切實提升學生的數學素養。

［關鍵詞］高考；概率；復習；回歸教材

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0007-03

一、原題呈現

（2021年高考全國Ⅰ卷數學第8題）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（）。

A. 甲與丙相互獨立B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立D. 丙與丁相互獨立

二、得分情況

福建省教育考試院編發的《2021年福建省普通高考學科評價報告》顯示，此題的平均得分率最低，具體從全省各類學校選擇題答題平均得分可知（見表1）。

而全省考生本題四個選項的選擇情況如表2所示。

從表2可以看出，本題實測難度為0.05，屬于超難題，總體區分度0.01，區分功能極差，說明絕大多數考生對該考點知識的掌握極差。

三、失分原因

本題主要考查古典概型的概率計算及事件相互獨立的判斷等內容。實際答卷中，錯選A或D選項的人數占歷史組總人數的90.5%，占物理組總人數的91.85%。錯選A選項的考生誤解了兩個事件相互獨立的概念，他們認為“第一次取出的球的數字是1”與“兩次取出的球的數字之和是8”顯然不可能同時發生，從而得出甲與丙相互獨立，這是混淆了“事件互斥”與“事件相互獨立”這兩個概念。選擇D選項的考生則是把丙與丁之間的互斥關系當成了相互獨立關系。有少數學生選C，部分原因是在表示乙或丙所包含的基本事件時出錯或者概率計算錯誤。歸結錯因是考生未能掌握好事件相互獨立的概念，對古典概率的運算不熟練。

四、教學思考

這道選擇題在命題專家及任課教師眼中只能算是基礎題。基礎題的設置目的是引導學生重視學科基礎知識。從2021年和2022年高考全國卷的數學試題來看，基礎題失分是許多考生的難言之痛。如何有效減少基礎題失分 ，應該成為數學高考復習中師生關注的重點。 那么，在高考改革 “穩中求進”的背景下，教師如何做好“概率”內容的有效復習呢？在“概率”復習教學中，教師應立足基礎，引導學生回歸教材，讓學生切實掌握核心概念。

（一）立足基礎，回歸教材，應關注概念的定義

以本題為例，其四個選項都只關注了兩個事件是否相互獨立。普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-3用投擲一枚骰子和一枚硬幣引出“當事件的全集[Ω1和Ω2]獨立，對于[A?Ω1]，[B?Ω2]，有[P（A∩B）=P（A）P（B）]，這時我們也稱事件[A]、[B]獨立”。也就是說，可以用[P（A∩B）=P（A）P（B）]來判斷事件[A]、[B]相互獨立。因此，在解答本題時，我們可把“隨機取兩次”的每一個結果記為[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4，5，6]，則甲包含的基本事件有[（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）]，用集合[A]表示 ，則[P（A）=636=16]。同理，用集合[B]、[C]、[D]表示乙、丙、丁包含的基本事件，有[P（B）=636=16]，[P（C）=536]，[P（D）=636=16]。因為甲與丙表示的事件不可能同時發生，所以[P（AB）=0]，顯然[P（AB）≠P（A）P（B）]，可知A選項錯誤。同理，丙與丁表示的事件也不可能同時發生，因此D選項也錯誤。對于選項B與C，甲與丁含有共同的基本事件（1，6），則[P（AD）=136=P（A）P（D）]，乙與丙含有共同的基本事件（6，2），則[P（BC）=136≠P（B）P（C）]，所以本題正確選項為B。回歸教材，引導學生進一步關注概念的定義，從定義出發解決問題，以不變應萬變。

（二）立足基礎，回歸教材，應關注概念的辨析

以本題為例，從相關數據可以看出，超過90%的考生選擇A、D選項，多數考生對于事件相互獨立的概念理解不當，混淆了“事件互斥”與“事件獨立”這兩個概念。事實上，教材中的例題與練習更側重于讓學生計算兩個獨立事件的概率。若“回歸教材”只是讓學生重復讀例題、做練習，那么可能仍然不能使學生充分理解兩個事件的獨立性。因此，我們還需要創設一些變式問題，引導學生辨析概念，讓學生能深刻理解相關概念的區別。

例如可設置問題1：有4個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字小于3”，乙表示事件“第二次取出的球的數字小于3”。寫出甲、乙包含的基本事件，甲、乙互斥嗎？相互獨立嗎？

解析：把“有放回的隨機取兩次”的每一個結果記為[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4]，事件甲、乙分別用集合[A]、[B]表示，則[A=（1，1）]，（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），[（2，4）]，[B=（1，1）]，（1，2），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），[（4，2）]，有[P（A）=816=12]，[P（B）=816=12]，則[A∩B=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2） ]。

顯然[A∩B≠?，]所以甲、乙不互斥。

又因為有[P（AB）=416=12×12=P（A）P（B）]，所以甲、乙相互獨立。

緊接著提出問題2：若把問題1改為“無放回隨機抽取兩次”呢？

解析：把“無放回隨機取兩次”的每一個結果記為[（i，j）] [i，j∈1，2，3，4，i≠j]，事件甲、乙分別用集合C、D表示，[C=（1，2）]，（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），[（2，4）]，[D=（1，2）]，（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），[（4，2）]，有[PC=612=12]，[ P（D）=612=12]，則[C∩D=（2，1），（1，2）]。

顯然[C∩D≠?]，甲、乙不互斥。

又因為[P（CD）=212≠12×12=P（C）P（D）]，所以甲、乙不相互獨立。

這樣的引導，能使學生更好地理解事件的相互獨立。

（三）回歸教材，關注概念辨析，應重視“微專題”的復習

在復習過程中，如果只是讓學生完成例題及課后練習，復習提升的力度顯然不夠。若教師設置變式練習，幫助學生進一步辨析概念，也僅能提高單個知識點的復習效率。想要進一步提高學生解決問題的能力，教師還需要把相關知識整合成“微專題”，讓學生通過對一類問題的解答整合解決這一類問題的方法，進而提升學生的解題能力。如前面的問題1中，還可增加條件概率的問題設置，即在判斷甲、乙是否獨立之前，增加：甲是否發生會影響乙發生的概率嗎？有放回抽取時，則“若甲發生，則乙發生”的概率為[P（B|A）=48=12]，而“若甲不發生，則乙發生”的概率為[P（B|A）=48=12]。這表明甲是否發生不影響乙發生的概率，此時有[P（AB）=P（A）P（B）]，從而進一步驗證甲、乙為相互獨立事件。無放回抽取時，“若甲發生，則乙發生”的概率為[P（B|A）=26=13]，而“若甲不發生，則乙發生”的概率為[P（B|A）=46=23]。這表明甲是否發生會影響乙發生的概率，此時有[P（AB）≠P（A）P（B）]，從而進一步驗證無放回抽取時，甲、乙不是相互獨立的。這樣，在一個問題的解答中，學生運用統計概率的相關知識，把古典概型與條件概率的計算、互斥事件與對立事件及事件相互獨立的判斷聯系起來，在解題過程中對比、辨析，漸漸厘清知識脈絡，總結出解決這一類概率問題的方法。

下面以2022年高考全國Ⅰ卷數學試題第20題為例進行說明。

某醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣的關系，在已患病例中隨機調查了100例（病例組），同時在未患病的人群中隨機調查100人（對照組），得到如下表所示的數據。

[ 不夠良好 良好 病例組 40 60 對照組 10 90 ]

試題中的問題（2）：從該地的人群中任選一人，用[A]表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，[B]表示事件“選到的人患病”，記[R]為[P（B|A）P（B|A）]與[P（B|A）P（B|A）]的比值，[R]是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標。求證：[R=P（A|B）P（A|B）·P（A|B）P（A|B）]。

顯然，如果學生理解條件概率的意義，明白[P（A|B）=P（AB）P（B）]的運算法則，則本題可迎刃而解。事實上，高考卷對知識點的考查很少是割裂的，試題更側重于考查學生理解和靈活運用知識的能力，以及他們的數學思想方法、數學能力。以高考試題為教學導向，我們在復習中必須以數學思想指導數學運用，構建知識網絡，對于有內在聯系的各部分知識重點區分關聯，幫助學生厘清脈絡。在“概率”復習中，我們只有加強概念教學，重視概念辨析，開展“微專題”復習，才能強化學生的解題思維，提升學生的解題能力。

我們還可以通過課后練習的形式對這類專題的知識點進行鞏固。

題目1.假定生男孩和生女孩是等可能的，現隨機選擇一個有3個孩子的家庭，則下列說法正確的是（）。

A.事件“該家庭3個孩子中至多有2個女孩”和事件“該家庭3個孩子中至多有2個男孩”是互斥事件

B.事件“該家庭3個孩子都是男孩”和事件“該家庭3個孩子都是女孩”是對立事件

C.事件“該家庭3個孩子中至少有1個女孩”發生的概率為[18]

D.當已知該家庭3個小孩中有男孩的條件下，事件“3個小孩中至少有2個男孩”的概率為[47]

（本題的解析略）

題目2.設[n]是給定的正整數（[n>2]），現有[n]個外表相同的袋子，里面均裝有[n]個除顏色外其他無區別的小球，第[k（k=1，2，3，…，n）]個袋中有[k]個紅球，[n-k]個白球。現將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續取出三個球（每次取后不放回）。

（1）若[n=4]，假設已知選中的恰為第2個袋子，求第三次取出為白球的概率；

（2）若[n=4]，求第三次取出為白球的概率；

（3）對于任意的正整數[n（n>2）]，求第三次取出為白球的概率。

解析：（1）[n=4]時，第三次取出為白球的情況：紅紅白，紅白白，白紅白。利用相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出第三次取出為白球的概率。

（2）先求出第三次取出的是白球的種數，再求出在第[k]個袋子中第三次取出的是白球的概率，選到第[k]個袋子的概率為[14]，由此能求出第三次取出的是白球的概率。

（3）先求出第三次取出的是白球的種數，再求出在第[k]個袋子中第三次取出的是白球的概率，選到第[k]個袋子的概率為[1n]，由此能求出第三次取出的是白球的概率。

總之，在高考復習中，教師不僅要充分認識夯實基礎、回歸教材的重要性，而且要讓學生在理解核心概念的基礎上進行有針對性的練習，從而提升學生的解題能力和數學素養。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?童其林.高考中概率問題的常考題型［J］.廣東教育（高中版），2021（10）：31-35.

［2］ ?福建省教育考試院.2021年福建省普通高考學科評價報告：語文、數學、英語［M］.福州：福建教育出版社，2021：56-57，80.

［3］ ?丁菁.打破慣性 從“新”出發：對蘇教版新教材“概率”必修部分的思考［J］.中學數學教學參考，2021（31）：38-41.

［4］ ?潘冬麗. 對2022年數學新高考卷Ⅰ的思考［J］.中學數學雜志，2022（7）：49-52.

（責任編輯 黃桂堅）