在分類中把握特征，在集合中構建關聯

張曉輝

摘要：數學思想蘊含在數學知識之中，又對數學活動具有重要的指導作用。《四邊形的分類》復習課，充分融入并運用分類與集合的思想，讓學生自主制定分類標準，通過動手操作，從部分到整體，從特殊到一般，幫助學生深刻理解圖形特征，在把握圖形內涵的同時揭示外延，對一類圖形之間的聯系與差異建立起清晰的認知。

關鍵詞：小學數學；數學思想；分類；集合；四邊形

課例剖析《四邊形的分類》是一節復習課，為了幫助學生在認識平行四邊形、梯形的特征后，厘清不同四邊形之間的關系。本課的教學過程與思考如下：

一、教學過程

（一）回顧兩條直線的位置關系

師（出示圖1）在圖中找一找兩條直線之間的位置關系。

（學生交流得出兩條直線之間的位置關系有相交、平行、垂直。）

師這三種位置關系都有各自的特點，誰來說一說。

生平行的兩條直線沒有交點。

生相交的兩條直線有一個交點。

生垂直的兩條直線也有一個交點。

師兩條直線可以沒有交點或有一個交點。根據有沒有交點設計分類標準，（出示下頁圖2）可以分成兩類。

師相交和垂直這兩種位置關系之間有什么關系？

生垂直的兩條直線一定是相交的，相交的兩條直線不一定垂直。

師所以，（出示圖3）相交和垂直是包含關系。

［設計意圖：四邊形都可以看成由相同或不同位置關系的兩組直線（線段）構成。借助“找一找”任務，引導學生回顧整理同一平面內兩條直線的位置關系，加深對平行和垂直概念的理解。在比較關鍵特征的過程中，初步滲透分類及集合的思想，幫助學生認識分類可以使知識條理化、系統化，用集合圈可以表示相同特征事物的集合以及它們之間的關系。］

（二）在分類中辨析不同的四邊形

（教師借助軟件，通過旋轉、平移相同或不同位置關系的兩組直線，構成不同的四邊形，如圖4所示。）

師從圖中我們可以看到什么？

生四邊形。

（師生共同回顧已經認識的四邊形，并一一展示，最終結果如圖5所示。）

師這些四邊形除了有4條邊和4個角，還有哪些特征？你能找到一個標準分分類嗎？小組合作，找一找、分一分。

（學生小組合作分類，幾種典型的分類如圖6—圖8所示。）

師不同的分類標準會有不同的分類結果，這三種不同的分類，你更喜歡研究哪一種？

生第一種，因為分得更細。

生更喜歡按照對邊平行的標準分類。

師那好，我們就來研究根據對邊平行的分類情況。像這樣只有一組對邊平行的四邊形叫作——

生梯形。

師這些梯形中有沒有比較特殊的？

生有的梯形有2個直角。

師這叫作直角梯形。

生有的梯形有一組對邊長度相等。

師即梯形的腰長度相等，這樣的梯形叫作等腰梯形。

［設計意圖：分類的過程既要關注不同圖形特征的共性，還要關注同一類圖形特征的差異性。四邊形都是由4條邊圍成的圖形，但根據對邊（兩條直線）的位置關系，有對邊平行的，也有對邊不平行的；有兩組對邊平行的，也有只有一組對邊平行的。從整體劃分出局部，而這一局部又可以分類，如其中只有一組對邊平行的四邊形（梯形），又能繼續分為特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）和一般梯形。通過這樣統一標準、逐級分類對四邊形開展研究，幫助學生認識到共性和差異性，培養學生的抽象能力，助力學生深刻地把握每一類四邊形的本質特征。］

（三）在分類中把握平行四邊形的特征

師有兩組對邊平行的四邊形是什么圖形？

生平行四邊形。

師平行四邊形有什么特征？

生對邊平行且相等。

師在這些平行四邊形中，有沒有特殊的？還可以怎樣分類？小組討論一下。

（學生小組討論。）

生（展示討論結果，如圖9所示）可以根據有沒有直角來分類，分為兩類。

生（展示討論結果，如圖10所示）可以根據邊的長度是否相等來分類，也分為兩類。

［設計意圖：學生在認識長方形和正方形時，都是從角和邊的特征開展研究的。因此，研究圖形的邊和角是學生認識圖形的起點，也是學生合理制定分類標準的依據。合理制定分類標準并加以實施，能幫助學生更系統、更有條理地抓住圖形的本質特征，在原有的經驗基礎之上進一步豐富數學知識經驗。而遵循標準開展活動，能鍛煉學生學習的毅力，如有的小組制訂了依據角的大小標準進行分類，但發現在活動中不便于操作：有的圖形既有鈍角，也有銳角，甚至還有直角，無法準確把握這一類圖形的特征。因此，分類標準需要在實踐中進行調試甚至推翻。在這樣的過程中，學生經歷了挫折，但最終也體驗到了成功的快樂。］

（四）以集合圖構建平行四邊形的知識結構

師長方形、正方形、菱形都是平行四邊形，你能用自己的方式表示這四個圖形之間的聯系嗎？

（學生小組合作探究。）

生（展示小組探究結果，如下頁圖11所示）把平行四邊形較長的對邊縮短到和短邊長度一樣時，就是菱形；把長方形的長縮短到和寬的長度一樣時，就是正方形。

生也可以把平行四邊形的短邊或長方形的寬拉長。所以，菱形是特殊的平行四邊形，正方形是特殊的長方形。

生正方形也是特殊的菱形，只要把菱形的一個角變成90°就可以了。

師從這一個小組的探究中，我們可以看出圖形之間的轉化，但相互之間的聯系還不是十分清晰。有哪個小組可以更加直觀地表示出它們之間的聯系？

生（展示小組探究結果，如圖12所示）我們小組用一個圈表示平行四邊形，長方形、正方形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以在平行四邊形的圈內。

生正方形既是特殊的長方形，又是特殊的菱形，所以正方形既在長方形圈里，也要在菱形圈里。

師這一小組的作品，有沒有清楚地表示出這些圖形之間的關系？

生感覺正方形重復了。

生這樣子，還可以看成長方形是特殊的正方形，菱形是特殊的正方形了。

師那正方形究竟放在什么地方，才不重復，也不會產生誤解呢？

生把正方形放在長方形和菱形的交叉處。

師（出示圖13）這樣，你們能看懂正方形和長方形、菱形的關系嗎？

生看懂了，交叉圈里的圖形既有長方形的特征，又有菱形的特征。

師正方形既屬于長方形圈，又屬于菱形圈，那就要放在這兩個圈的交叉處。

［設計意圖：通過探究不同平行四邊形之間的聯系，從一般到特殊，層層推進，明確不同平行四邊形的內涵，建立包含與被包含的關系。基于學生不同的思維方式，以及對認知的不同表征，通過辨析、互補、改進等活動逐漸完善對不同平行四邊形之間聯系與區別的認識，最終用集合圖準確、清晰地表示出這種關系。］

（五）以集合圖構建四邊形的知識結構

師剛才同學們用集合圖表示出了不同平行四邊形之間的區別與聯系，黑板上除了平行四邊形還有其他四邊形，這些不同的四邊形之間又有著怎樣的聯系呢？你能試著用集合圖畫一畫嗎？

（學生小組合作完成，典型作品如圖14所示。）

師你能介紹一下這個集合圖嗎？

生四邊形最大，包含平行四邊形、梯形。

生平行四邊形和梯形是分開的，互相不包含。

生平行四邊形又可以分為長方形、正方形和菱形，其中正方形既屬于長方形，又屬于菱形，所以用交叉的部分表示正方形。

師為什么平行四邊形和梯形沒有交叉？

生沒有圖形既屬于平行四邊形，又屬于梯形，所以沒有交叉。

［設計意圖：在構建不同平行四邊形之間的聯系時，通過分析、表征，逐步形成了集合圖，讓學生形象直觀地看清了平行四邊形與長方形、菱形之間的包含與被包含關系，同時也運用交集表示出了正方形兼具長方形和菱形的特征。有了這些經驗基礎，引導學生用集合圖表示出四邊形之間的聯系就有了可行性。］

二、教學思考

數學思想對概念的形成、特征的把握以及概念之間內在聯系的建立具有重要的指導作用。而數學思想往往難以教學，也不便于評估。數學思想需要在豐富、典型、適切的背景材料中，通過具身參與，對感性材料進行多形式的加工處理，逐漸感悟和領會。本節復習課充分融入并運用分類與集合的思想，讓學生自主制定分類標準，通過動手操作，從部分到整體，從特殊到一般，幫助學生深刻理解圖形特征，在把握圖形內涵的同時揭示外延，對一類圖形之間的聯系與差異建立起清晰的認知。

人們對比較復雜的問題，有時無法統一研究或者整體研究解決，需要把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐步討論，再把每一類的結論加以綜合，使問題得到解決。分類思想在小學數學學習中應用比較廣泛，可以幫助學生在認識復雜的數學對象時，化繁為簡，將同一類對象的不同屬性和不同類對象的相同屬性清晰、有序地顯示出來，從而對數學知識有更深刻的理解。而集合思想是把一類研究對象看成一個整體進行研究的思想。小學數學的很多學習內容都蘊含集合思想，如數的認識、三角形的分類、公因數和公倍數等。分類與集合是密切相關的，將分類對象進行組合，就構成了集合。這在小學數學各個領域都有滲透。在圖形教學中，滲透與運用分類與集合的思想，能夠引導學生從部分到整體研究圖形特征和圖形之間的關系，從而把握圖形特征的本質，理清圖形之間的聯系與區別。

一個科學的分類標準必須能夠將需要分類的對象進行不重復、不遺漏的劃分。［1］在給四邊形分類前，不同的小組從不同的角度制定分類標準。有的小組根據對邊的平行情況進行分類，有的小組根據直角的個數進行分類，還有的小組按照圖形是否為軸對稱圖形進行分類。當然，不同分類標準的制定都是基于學生原有的經驗基礎的。四邊形的分類活動，是學生在對平行、直角、軸對稱等概念已有認知基礎上，進行充實和完善，產生新的認知的學習活動。

而集合圖的形成過程，就是學生認知發展的過程。尤其是“正方形究竟歸屬于哪一類、怎樣表示出來”這一學習難點的處理，教師結合第二小組的錯例，讓學生感受到表示方法有重復和歧義，從而產生認知沖突。然后，教師通過提問“正方形究竟放在什么地方，才不重復，也不會產生誤解呢”，引導學生從“正方形既是特殊的長方形，也是特殊的菱形”這一特征去考慮，找到長方形圈與菱形圈的交叉處，以形象直觀的方式呈現這幾種特殊平行四邊形的聯系；同時，滲透交集的概念，為學生自主構建四邊形的集合圖做好鋪墊。

參考文獻：

［1］ 顧泠沅.數學思想方法［M］.北京：中央廣播電視大學出版社，2004：148.