以函數(shù)為平臺(tái) 探究動(dòng)態(tài)三角形的面積

邵軍艦

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考。本文取材于中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中拋物線與三角形的面積問(wèn)題，層層遞進(jìn)，學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、計(jì)算、猜想、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)怎么學(xué)習(xí)，讓自己做數(shù)學(xué)的思考者。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng)? 拋物線? 三角形面積

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2023）03-0139-03

學(xué)生的學(xué)習(xí)“應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”。而這些目標(biāo)任務(wù)的實(shí)施就落到了教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、合作者——教師的身上。

當(dāng)下初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀是時(shí)間更緊了，數(shù)學(xué)作業(yè)的量更大了，留給學(xué)生思考的時(shí)間、空間更少了。學(xué)生見(jiàn)識(shí)面比較狹窄，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上只有通過(guò)大量的刷題、做題，以期能在數(shù)學(xué)考試中取得好成績(jī)。其本質(zhì)又回歸了“題海”戰(zhàn)術(shù)，并不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。我們期望通過(guò)自己的課堂活動(dòng)努力改變當(dāng)前的現(xiàn)狀，使數(shù)學(xué)課堂面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性的發(fā)展。

一、低起點(diǎn)，旨在激活原有知識(shí)

在初三中考的復(fù)習(xí)中拋物線與三角形的面積是一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，特別是動(dòng)態(tài)中研究三角形的面積是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，通過(guò)數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生做懂一道題，知一類(lèi)，會(huì)一片，也讓教師的數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)有一個(gè)方向，有一點(diǎn)思考。

三角形的面積是平面幾何面積中一個(gè)重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素——邊與角。當(dāng)三角形融入到坐標(biāo)平面中的時(shí)候，三角形的頂點(diǎn)、邊就更加活躍了，學(xué)生解決問(wèn)題的難度相應(yīng)地也增加了。下面的問(wèn)題是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中常見(jiàn)的經(jīng)典問(wèn)題：

已知：如圖1，二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。（1）直接寫(xiě)出A，B，C，D各點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC表達(dá)式；（2）任取A，B，C，D，O中的三個(gè)點(diǎn)，求出能夠組成三角形的面積。

題干先是給出了函數(shù)圖形拋物線上的四個(gè)特殊點(diǎn)，要求學(xué)生求出四個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，這些特殊點(diǎn)是三角形構(gòu)成的基點(diǎn)，平面坐標(biāo)系是三角形面積變化的平臺(tái)，也考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)拋物線圖形的把控能力。對(duì)于第（2）題的解決學(xué)生表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的求解欲和信心，可能學(xué)生不能找全所有的三角形，即使能找到三角形也不一定能求出它的面積。但是我們相信：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，是靠問(wèn)題解決過(guò)程中的成功的體驗(yàn)來(lái)激發(fā)的。各個(gè)層次的學(xué)生都能動(dòng)起手來(lái)，比如△AOC、△BOC、△ABC、△AOD、△BOD、△ABD、△OCD的面積學(xué)生都比較容易求出。為什么呢？要求學(xué)生及時(shí)地反思總結(jié)：因?yàn)檫@些三角形的底都在坐標(biāo)軸上，底上的高根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以表示出來(lái)。

學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)的學(xué)生在求△ACD與△BCD的面積時(shí)，表現(xiàn)出了解法的多樣性，思維的發(fā)散性。先補(bǔ)后割的方法，學(xué)生求△BCD的面積給出了三種不同的方法如圖2、圖3、圖4。學(xué)生通過(guò)補(bǔ)上的圖形，使新的圖形的邊落在坐標(biāo)軸上，從而便于求出圖形的面積。特別是學(xué)生能從三角形的特殊性入手（如圖5），發(fā)現(xiàn)△BCD是直角三角形，利用坐標(biāo)平面中兩點(diǎn)的距離公式求得三邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得三角形的面積。

二、鋪臺(tái)階，構(gòu)建知識(shí)之間的鏈接

教學(xué)時(shí)問(wèn)題并沒(méi)有結(jié)束，你還可以用什么方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？馬上引導(dǎo)學(xué)生閱讀下面的材料，并根據(jù)閱讀材料再求△BCD的面積。

通過(guò)閱讀材料的鋪墊，又喚起了學(xué)生求解坐標(biāo)平面中三角形面積的欲望。問(wèn)題的給出其實(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程，根據(jù)已經(jīng)得出的結(jié)論學(xué)生能緊緊地抓住問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)：鉛垂高（h）和水平寬（a）。通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性。學(xué)生掌握了一種新的方法求面積，又引發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步對(duì)問(wèn)題的思考。你能用同樣的方法求△BCD的面積嗎？

問(wèn)題的解決簡(jiǎn)明扼要，給學(xué)生足夠的時(shí)間、空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、模仿、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)行為形成數(shù)學(xué)結(jié)論。通過(guò)學(xué)生的閱讀理解創(chuàng)造一類(lèi)求圖形面積的新方法。學(xué)生類(lèi)比遷移可以利用這個(gè)模型貫通這一類(lèi)問(wèn)題。

由動(dòng)點(diǎn)而生成的三角形面積問(wèn)題，是拋物線與直線結(jié)合的常見(jiàn)形式。解決這類(lèi)問(wèn)題上述的模型、方法，就體現(xiàn)了它的優(yōu)勢(shì)。

三、巧設(shè)問(wèn)題，動(dòng)靜搭配，碰撞思維的火花

問(wèn)題1：如圖8，點(diǎn)P是直線BC下拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PBC與△DBC的面積相等？

中考的綜合題中，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既會(huì)影響圖形相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，又會(huì)改變圖形的位置及形狀。在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中要洞悉動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、路徑，關(guān)鍵是把圖形的幾何性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。問(wèn)題中△DBC是靜態(tài)的，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)改變了△PBC的形狀和面積。首先要通過(guò)直觀的方法引導(dǎo)學(xué)生在直線BC下方的拋物線上找到點(diǎn)P，使△PBC與△DBC的面積相等。其本質(zhì)就是兩個(gè)三角形同底等高，這樣學(xué)生就能把動(dòng)態(tài)變化的點(diǎn)轉(zhuǎn)為求圖中的定點(diǎn)。那就是過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，平行線與拋物線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P（如圖9），學(xué)生動(dòng)手操作，加強(qiáng)了問(wèn)題解決的直觀性，增加了學(xué)生思考的空間。

點(diǎn)的坐標(biāo)是綜合題的立足點(diǎn)（求函數(shù)表達(dá)式），又是綜合題的制高點(diǎn)（求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)或存在性探究），求點(diǎn)的坐標(biāo)一般要經(jīng)歷兩個(gè)關(guān)鍵的步驟：定位與計(jì)算，在明確了點(diǎn)P的位置后，如何求出點(diǎn)P的坐標(biāo)呢？通過(guò)圖10發(fā)現(xiàn)，鉛垂高和水平寬中的兩個(gè)量，水平寬不變還是3，而鉛垂高可以用動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)來(lái)表示，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的路徑就在拋物線上。

問(wèn)題2：在直線BC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC與△DBC的面積相等？

由圖11可知，在直線BC上方的拋物線上必定存在這樣點(diǎn)：點(diǎn)P到直線BC的距離等于點(diǎn)D到直線BC的距離，利用三角形面積等底同高的的方法可以找到兩個(gè)點(diǎn)。如何確定這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)呢？直接去求點(diǎn)D到直線BC的距離，可能行不通，能否換個(gè)角度去思考問(wèn)題。如圖12可引導(dǎo)學(xué)生從直線DP與y軸的交點(diǎn)N入手，從而確定直線BC到直線DP向下平移了幾個(gè)單位。這樣只要把直線BC向上平移相應(yīng)的單位數(shù)就可以了。

黃東坡曾經(jīng)在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中指出要從分析出發(fā)，從數(shù)學(xué)知識(shí)方法出發(fā)，使得每步之間都是思維行動(dòng)的自然進(jìn)發(fā)，這也是提高解題能力的關(guān)鍵。由形定數(shù)，由形思數(shù)，由數(shù)解形，巧妙地進(jìn)行“數(shù)”與“形”的結(jié)合。學(xué)生在解題的過(guò)程中無(wú)形地滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想，提高了學(xué)生解題的能力，獲得了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

問(wèn)題3：點(diǎn)P是直線BC下拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積取到最大值？

由圖9可知拋物線上點(diǎn)D、P到直線BC的距離相等，直線還可以向下平移，并且能夠做到直線與拋物線相交于一個(gè)點(diǎn)Q（如圖13），即直線與拋物線相切。此時(shí)在直線下方的拋物線上，點(diǎn)Q離直線BC的距離最大，點(diǎn)P只要移到Q點(diǎn)，△PBC的面積就能取到最大值。這樣動(dòng)態(tài)的點(diǎn)就可以確定下來(lái)了，引導(dǎo)學(xué)生借助方程組解的唯一性求得直線的表達(dá)式，進(jìn)而求得方程組的解，最后得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。也可以讓學(xué)生動(dòng)手在圖中找出使△PBC的面積達(dá)到最大值的點(diǎn)Q，那么如何求出確定的點(diǎn)坐標(biāo)呢？借助圖10求△PBC的面積的啟發(fā)，把動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為動(dòng)態(tài)的坐標(biāo)，借助二次函數(shù)的最大值求得相應(yīng)的x的值。

四、教學(xué)的反思

問(wèn)題的設(shè)計(jì)摒棄了傳統(tǒng)的以題論題，由淺入深，由易到難。讓學(xué)生親自動(dòng)手操作畫(huà)圖，通過(guò)精確的數(shù)據(jù)計(jì)算，進(jìn)行合理的猜想，形成有效的數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生運(yùn)用模型去解決問(wèn)題，有力地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功樂(lè)趣。

層層變式，逐步深入，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。我們期望通過(guò)有效的數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)擺脫單純的“題海戰(zhàn)術(shù)”。這就需要我們結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)數(shù)學(xué)思考；并能充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)；在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

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