“隨機事件的概率”教學設計及體會

李軍文

一、課標要求

（1）結合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型模型中簡單隨機事件的概率。

（2）通過實例，理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則。

二、基本情況分析

教學目標：（1）理解等可能基本事件的意義；（2）通過實例，理解古典概型及其概率計算公式；（3）會用列舉法寫出樣本點和樣本空間并計算出隨機事件的概率。

教學重點：（1）理解古典概型的兩個特征；（2）掌握用列舉法寫出樣本點和樣本空間，并進行古典概型的概率計算。

教學難點：（1）會判斷一個試驗是否是古典概型；（2）正確計算古典概型中隨機試驗的樣本空間及隨機事件包含的樣本點數。

三、教學過程

（一）在問題情境中認識古典概型

問題1 “拋擲一顆骰子，結果向上的點數為偶數”，記事件A，怎樣求P（A）的值？

生1： 3除以6就可以了，即概率是[12]。

師：能給出理由嗎？

生2：本試驗的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}，樣本空間中每一樣本點發生的可能性應該相同。事件A={2，4，6}含3個樣本點，所以P（A）=[36=][12]。

問題2 一枚均勻硬幣拋擲兩次，求兩次都出現正面的概率。

生3：一枚均勻硬幣拋擲兩次，有4個樣本點：（正正），（正反），（反正），（反反）。所以樣本空間為Ω={（正正），（正反），（反正），（反反）}。

生4：我覺得生3說法不對，樣本空間應該是Ω={（正正），（正反），（反反）}，樣本點應該是3個。

師：（對著全班）誰的理解更準確？

生眾：熱烈討論交流。

生5：我覺得生3說法對，應該有4個樣本點，這樣保證每一個樣本點發生的可能性相等，如果樣本空間是Ω={（正正），（正反），（反反）}，樣本點：（正反）發生的可能性就更大了，違反了公平性（笑）。

生眾：點頭認同。

師：很好！如果記“兩次都出現正面”為事件B，P（B）多少？

生6：因為事件B={（正正）}，含1個樣本點，所以P（B）=[14]。

設計意圖：選擇貼近學生實際生活的問題，通過問題1和問題2的分析，讓學生感受古典概型的特征和計算方法。

問題3 豌豆的黃綠色性狀的遺傳由一對基因決定，其中決定黃色的基因記為D，決定綠色的基因記為d，則雜交所得第一代的一對基因為Dd，若第二代的D，d的遺傳是等可能的，求第二代為黃色的概率，只要有基因D就是黃色，只有兩個基因都是d才顯現綠色。

師：由于第二代的D，d的遺傳是等可能的，故來自父方的配子D，d與來自母方的配子D，d可隨機組合，會有多少個樣本點呢？

生7：有4個，列舉如：DD，Dd，dD，dd。所以樣本空間為Ω={DD，Dd，dD，dd}，每一樣本點發生的可能性都是相同的。

師：好！如果記“第二代為黃色”事件C，則事件C包含幾個樣本點？

生8：C={DD，Dd，dD}，有3個樣本點，所以P（B）=[34]。

師：在一次試驗中可能出現的每一個樣本點都稱為一個基本事件，所有樣本點的集合就是一個樣本空間，請指出上述三個問題中樣本空間里的樣本點（基本事件）有何共同點？

設計意圖：引出“基本事件”的概念，并進一步引導學生對比發現、歸納出隨機實驗中樣本點的特點，揭示出古典概型的基本特征。

（二）在歸納對比中構建古典概型

生眾：（交流討論）上述三個問題的樣本空間的樣本點有有限個，每一個樣本點發生的可能性也相同，且計算方法都是使用了除法。

師：很好！具有上述問題特征的概率模型我們稱之為古典概型。

（板書）上述三個問題具有以下兩個特點：（1）樣本點有有限個；（2）每一個樣本點發生都是等可能的。

滿足上述兩個特點的隨機試驗概率模型稱為古典概型。

如果一次試驗的樣本空間中有n個樣本點，那么每個樣本點發生的概率都是[1n]；如果某個事件A包含了其中m個樣本點，那么事件發生的概率為[mn]，即P（A）=[事件A包含的樣本點數樣本點總數]。

設計意圖：問題的設置要有啟發性和準確性，讓學生去探究問題的共性，充分發揮學生的主體作用，提高課堂效率。

四、在應用中計算古典概型

例1 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球、2只黑球，從中一次摸出兩只球。

（1）寫出樣本空間。（2）摸出的兩只球是一白一黑的概率是多少？

生9： 3只白球分別標記為a、b、c，2只黑球分別標記為1、2，現從中一次摸出兩個球，樣本點有10種，列舉如：ab、ac、a1、a2、bc、b1、b2、c1、c2、12。所以樣本空間Ω={ab、ac、a1、a2、bc、b1、b2、c1、c2、12}，每一個樣本點發生的可能性都是相同的。

生10：“摸出的兩只球是一白一黑”，記事件A={a1、a2、b1、b2、c1、c2}有6個樣本點，所以P（A）=[610=35]。

設計意圖：突出古典概型中樣本點是等可能的這一特征，讓學生在自主探討中思考，培養理解能力。

變式1 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，不放回地從中摸出兩只球，則摸出的兩只球至少一只是黑球的概率是_______。

分析：直接法，3只白球分別標記為a、b、c，2只黑球分別標記為1、2，樣本空間Ω={ab、ac、a1、a2、bc、b1、b2、c1、c2、12}，兩只球至少一只是黑球含7個樣本點，故P=[710]，也可以間接法1-P（都是白球）=1-[310] = [710]。

變式2 一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，第一次從中摸出一只球后放回，第二次從中再摸出一只球，則摸出的兩只球顏色不同的概率是_______。

分析：樣本空間Ω={aa、ab、ac、a1、a2、ba、bb、bc、b1、b2、ca、cb、cc、c1、c2、1a、1b、1c、11、12、2a、2b、2c、21、22}共25個，兩只球顏色不同有12個，所以P=[1225]。

設計意圖：讓學生理解有放回抽樣和不放回抽樣的樣本點總數是有差異的，但等可能性和有限性是不變的，即古典概型的甄別問題要準確。

例2 同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數，問：（1）寫出試驗的樣本空間Ω所包含的樣本點。（2）點數之和是2的概率？（3）點數之和是6的概率？（4）兩數之和是3的倍數的概率是多少？

師：第一次拋出1點，第二次拋出3點，我們可用（1，3）來表示這個樣本點，本試驗共有多少個呢？

生11：（1，1），（1，2），（1，3）…（6，5），（6，6）共36個基本事件。

（有些同學露出了迷茫的神情，看來他們是不知道怎樣計數，老師在黑板上進行示范。）

師：可以一一列出.Ω={（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）}。

生12：記“兩點數之和是2”為事件A，則事件A={（1，1）}含1個樣本點，所以P（A）=[136]。

生13：記“兩點數之和是6”為事件B，則事件B={（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）}含5個樣本點，所以P（B）=[536]。

生14：記“兩數之和是3的倍數”為事件C，則事件C={（1，2）（1，5）（2，1）（2，4）（3，3）（3，6）（4，2）（4，5）（5，1）（5，4）（6，3）（6，6）}含12個樣本點，所以P（C）=[13]。

設計意圖：列舉法是計數的基本方法（編號→列表或畫樹狀圖），并進一步鞏固古典概型概率的計算方法.在此基礎上，教師給出了如下變式題。

變式1 某地新冠疫情防控中，發現A，B，C，D，E這5人是密切接觸者，要將這5人分成兩組，一組2人，另一組3人，分派到兩個酒店隔離，則A，B兩人在同一組的概率_________。

分析：將A，B，C，D，E按要求分成兩組，（AB，CDE），（AC，BDE），（AD，BCE），（AE，BCD），（BC，ADE），（BD，ACE），（BE，ACD），（CD，ABE），（CE，ABD），（DE，ABC），共有10種情況，其中A，B兩人在同一組的共有4種，所以A，B兩人在同一組的概率為[410=25]。

變式2 袋中裝有5個白球和若干個紅球（每個球除顏色外都相同），某位學生從袋中任意摸出一個球，恰好是紅球的概率為0.75，則袋中紅球的個數為_______。

分析：設袋中紅球的個數為χ，根據題意得[χχ+5]=0.75，解得χ=15，經檢驗χ=15是原方程的解，所以紅球15個。

設計意圖：在學生的思維發展區變式引申，訓練思維的廣闊性，以達到少教多學的目的。

師：歸納古典概型解題步驟（強調規范書寫）：

（1）判斷試驗是否為古典概型；

（2）計算樣本空間包含的樣本點總數n；

（3）計算隨機事件A包含的樣本點個數m；

（4）利用公式P（A）=[事件A包含的樣本點總數（m）樣本點總數（n）]計算事件A的概率。

五、在練習反饋中鞏固古典概型

鞏固練習（限時5分鐘）

1．據人口普查統計，育齡婦女生男生女是近似等可能的，如果允許生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是___________。

2．已知集合A={-3，-1，0，2，4}，在平面直角坐標系中，點M的坐標為（x，y），其中x∈A，y∈A，且x≠y，則M在第二象限的概率____________。

3．將一顆骰子先后各拋擲1次，向上的點數之積為偶數的概率____________。

4．在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是__________。

設計意圖：用多媒體顯示鞏固練習，以期提升課堂容量和速度。幾分鐘的精選練習，旨在鞏固本節課內容，反饋學生存在的問題，為進一步教學做好準備。

六、在總結反思中掌握古典概型

師生合作，主要圍繞以下幾方面進行總結：

（一）知識脈絡（如圖）

特征←古典概型→計算公式

↓

解題步驟

（二）思想方法：在運用觀察、比較方法得出古典概型計算公式的過程中，主要運用了哪些數學思想方法？

（三）解題方法：如何判斷一個實驗是否是古典概型？計算古典概型的隨機事件概率的步驟是什么？

七、教后反思

（一）創設合理的問題情境

教師創設恰當合理的問題情境，選取貼近學生生活實際的問題或情境，以便引起學生的興趣，使學生知道數學與日常生活實際的緊密聯系，明確研究數學問題的意義和價值，在興趣和疑惑中思考問題，進一步激發學生學習數學的熱情，發展學生的思維能力。

（二）發揮教師的主導性

數學教學的實質是教師通過設置有效的問題引導學生經歷從具體事例中抽象出數學概念，并在運用中逐步理解概念的本質。在本節課的教學中，最讓學生感到困惑的是古典概型的特征以及如何在一個個實際問題中去甄別此問題是否是古典概型。在本課中，教師采用設置情境→問題引導→探究發現→歸納概括→應用拓展→變式鞏固的方式推動教學進程，并且引導學生通過觀察、類比、思考、探究、概括和歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出，鼓勵學生在思維和行為上積極參與到教學活動中，發現數學的規律和問題解決的途徑。

（三）重視學生的自主性

在數學教學中，學生應該主動參與到數學活動中，并且生成和建構數學概念。教師使用自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，發揮學生學習的主動性，使學生的數學學習成為“再發現，再創造”的過程。通過引入日常生活中的大量實例，教師明確了本節課要解決的問題，學生在教師的引導下自主探究、合作交流，“再創造”，讓學生充分發表自己的見解，展示自己的思考成果，培養表達能力和自信心。

（四）提升課堂教學的有效性

有效教學是課程改革中一個重要課題，是提升教學質量、實現教育目標的重要內核。設置有效問題是有效教學的一個重要抓手，在知識構建過程中去發展學習能力，在課堂上老師要能突出重點、化解難點、點撥疑點，整堂課的教學要圍繞教學重點逐步展開，激發學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力。