興趣引領優化設計反思錯解

楊帥

【摘要】應用題教學是數學教學的難點，教師在教學中可以從學生熟悉的生活場景出發引入應用題，也可以從舊題入手，重新變式，或者反思錯解，歸納解題策略，從這幾個角度進行教學設計，降低了學生思考問題的起點，幫助學生戰勝應用題。

【關鍵詞】應用題教學；興趣引領；優化設計；反思錯解

初中數學中的應用題即是用語言敘述一件生活問題，其中含有很多個數量關系，要求學生利用已知條件求其中某個數量關系。應用題不僅考查了學生對數學基礎知識、基本方法的掌握程度，還考查學生發現問題及解決問題的能力，而初中生很難全部具備，就造成了他們在考試中應用題得分率不高。教師在教學中該如何幫助學生突破應用題這道難關呢？筆者在這方面進行了一些思考和實踐。

一、興趣引領，打開“應用”大門

教師要突破應用題教學，首先要讓學生對應用題描述的生活情境感興趣，這樣才能拉近學生與應用題的距離，降低學生對應用題的厭煩和恐懼心理，所以選取題目時應首選貼近學生實際生活的問題，可以先挖掘數學教材上出現的應用題。如上海教育出版社出版的初中數學教材七年級上冊第九章“整式”中有這樣一道例題：學校在運動場上舉行200米賽跑，每條跑道的寬為1.22米，比賽的終點相同，由于不同跑道上的運動員要經過不同的彎道，因此他們不應該從同一起跑線上起跑，問其他跑道上運動員的起跑線應相隔多遠才比較公平？

一上課就把這道題展示給學生，先讓學生獨自審題3分鐘，不出所料，學生一臉茫然。于是教師開始提問一連串的問題：前些天我們學校剛舉辦過運動會，運動場大家都不陌生，題中每條跑道寬1.22米，在圖中是哪段距離？100米賽跑要經過彎道嗎？為什么？上次運動會哪些同學參加過200米賽跑？你與其他跑道上的運動員有前后位置的距離差嗎？這個距離差是裁判員隨便指定的嗎？

這些問題有的起點很低，使同學們陷入了思考，七嘴八舌地回答問題。表面上有些問題對于這道題的解答是無效問題，但是真正提問下去，你會發現以前在數學課上總打瞌睡的學生都在積極地思考和回答，這些問題引起了他們的興趣，而“興趣是最好的老師”，激發了他們對這道題的深度思考和討論。這道題有了全體同學的分析參與，效果特別好，便可繼續拓展下去：如果進行400米賽跑，相鄰兩個跑道的運動員的起跑點應相隔多遠呢？運動會上的4×100米接力賽中，在第一棒起跑處相鄰的兩道運動員的起跑位置一樣嗎？有前后的位置差嗎？第二棒呢？毫無疑問，從學生熟悉的生活場景出發引入應用題，同時給學生留出充足的思考時間，給他們參與解決問題的機會，才能讓學生的思維活躍起來。

二、舊題變式，優化教學設計

在教學中，如果教師把以前做過的問題重新變式，引出新的知識點，效果將事半功倍。例如：上海教育出版社出版的數學教材八年級上冊第十七章“一元二次方程”有這樣一道題：

某建筑工程隊，在工地一邊的靠墻處，用120米長的鐵柵欄圍一個占地面為長方形的臨時倉庫，鐵柵欄只圍三邊。按下列要求，分別求長方形兩條鄰邊的長。

1.長方形的面積是1152平方米；

2.長方形的面積是1800平方米；

3.長方形的面積是2000平方米。

這是八年級教學中經典的“圍欄問題”，在九年級講二次函數的概念和應用時，可將其重現，并做如下變式：

某建筑工程隊，在工地一邊的靠墻處，用120米長的鐵柵欄圍一個占地面為長方形的臨時倉庫，鐵柵欄只圍三邊。如果設長方形垂直于墻的一邊為x米，長方形的面積記為y平方米，試寫出y關于x的函數解析式及其定義域，并求y的最大值。當八年級的一元二次方程問題變式為九年級的二次函數問題，這兩個知識點之間是否有一定的聯系呢？教師在此處從舊問題變式，上升為新問題，節省了問題引入的時間，優化了教學設計，讓學生通過舊題的發展和完善過程，感受到新知識的學習是對舊知識的再認識、再創造和深度學習，理清新知識產生的背景，了解新知識的來龍去脈，認識到學習新知識的必要性，從而對新的實際問題不再抗拒，是從原有的問題出發向前繼續探索。這樣按照知識本身的內在邏輯關系引入新問題，將分散在各處的知識和方法串聯起來，最終會在學生大腦中構建立體的知識網絡，內化常用的數學思想方法，從而用這些方法解決同類的實際問題。

三、反思錯解，歸納解題策略

每次考試后教師分析試卷，不僅要分析學生的平均分、優秀率等數據，更要分析學生在試卷上的答題思路和錯誤，歸納學生產生錯誤的原因，如審題不清、思路混亂、計算錯誤等，這樣講評試卷才能有針對性和有效性。如2018年上海市金山區中考二模第22題：某演唱會購買門票的方式有兩種。

方式1：若單位贊助廣告費10萬元，則該單位所購門票的價格為每張0.02萬元；

方式2：下圖所示，設購買門票x張，總費用為y萬元。

（1）求方式一中y與x的函數關系式（總費用=廣告贊助費+門票費）。

（2）若甲、乙兩個單位分別采用方式1、方式2購買本場演唱會門票共400張，且乙單位購買超過100張，兩單位共花費27.2萬元，求甲、乙兩單位各購買門票多少張？

這道題采用文字與圖形相結合的方式呈現問題，使得問題簡明、生動、較為集中地考查了函數的實際意義，同時此題的解答需要結合圖形對簡單實際問題的函數關系進行分析。但近三分之一的學生在問題（2）中出錯了，錯解如下：

數據是4，而不是10，產生錯誤的原因是什么呢？這就要回到最初的概念生成過程，斜率k的實際意義就是方式二中當購買票數大于100張時，每張票價為0.06萬元，當設乙單位購買門票m（m>100）張，則乙單位花費為4+0.06m元，4才是所求的初始花費，而不是學生錯解中點A的縱坐標10，其幾何意義是什么呢？可以從圖中反向延長線段BA，與y軸相交的點的縱坐標（截距）就是其幾何意義，從圖像中可以看出，截距必然小于10。既然說到斜率k，可繼續研究圖像，可以看出線段OA的斜率為0.1，即每張票花費0.1萬元；射線AB的斜率為0.06，即每張票花費0.06萬元。

“一次函數的應用”是歷年中考的高頻題，教師只有引導學生準確理解表格或圖象的信息，充分展示錯解并幫助學生分析錯誤原因，層層設問并追問，才能使學生更好地理解一次函數的本質。最后再適時地提煉正確的思想方法，歸納解題策略，讓學生找到最優解的道路。

通過對應用題教學后的反思，不難發現，若應用題引入得適當，教學設計巧妙，這無形中引導了學生用數學的眼光去觀察世界，用數學知識分析和解釋周圍的實際情景，提高了他們對數學的應用意識。應用問題的提出增強了數學這個工具學科的實用性，而應用問題的解決使教師和學生獲得進一步的成就感，這個成就感推動他們在數學的學習道路上繼續前行！

【參考文獻】

[1]繳志清，馬云鵬.初中數學教學關鍵問題指導[M].北京：高等教育出版社，2016.