小學數學教學中數形結合思想教學模式的創新與應用

作者簡介：林小娟（1994～），女，漢族，福建福清人，福建省福清市瑞亭小學，研究方向：小學數學教學。

摘 要：小學數學教師注重數字圖像分析中針對數形結合思想的教學與應用，在依托數形結合思想進行數學教育的時候，還需要注意兩者間的結合，要告知學生，數不可缺形，這樣問題就缺少直觀性，形不能缺數，這樣問題會變得復雜，只有將兩者結合起來，問題才會變得簡易且直觀。而這種辯證性的思想也證明了數形結合在數學教育中的重要價值。作為一種思想方法，數形結合是一種思維，用來認知、處理、解決數學問題的思維，一旦學習者把握數形結合的思維意識，對學習者來說，就不單是一時的知識解答價值，而是長期性的思維轉換價值。即便不再針對考試中的問題應用數形結合思想，這種思想也對學習者的未來實際應用起著極為重要的作用。基于此，文章從數形結合的概念出發，以思想的重要性為關鍵，分析小學數學教學中創新與應用數形結合思想教學模式的有效策略。

關鍵詞：小學數學；數形結合思想；創新應用；有效策略

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2023）18-0084-05

在數學學科的教學過程中，數與形是其中最基本也是最原始的探究對象。如同美國圖論學者哈里所說，圖像的價值大于千言萬語。為此，數學教師在進行學科教學時，就要明晰學科的特征，重視數字圖像的分析教育。又因為數形結合思想是數學當中的一個重要思想方法，其不僅能夠讓復雜的數學問題變得簡單，還能夠使抽象化的問題變得相對具象。對小學數學教師來說，如若要針對新課程標準進行教學實踐，其除了要轉換理念，逐步形成注重數學思想教育思維，還要不斷升華自身數學層面的專業素養，只有這樣，才可以完善地踐行“四基”目標。立足數學學科所自帶的學科特性，“數形結合”思想在其中占據極為重要的地位，單看幾何圖形，其具備形象且直觀的特征，但代數是抽象化的，學習者在初步認知代數時，會難以把握代數問題的本質，一旦如此，其解答問題的過程，就會呈現得相對比較古板。而將代數問題和幾何圖形結合起來，代數問題就會變得相對直觀，學習者在解答問題的時候，就可連接圖形思維，迅速得出代數問題的答案。

當然，除學科本質呈現的重要性，基于對當前課堂現狀的分析，也能夠看出教師忽視這一思想應用的弊端。例如，小學數學教師在教授“10以內的數字認知”時，部分教師會融合計數器、小棒等能直觀體現數字的教學工具，指導學生認知1～9的數字，但在了解10以后的數字時，小棒這一直觀用具會變得瑣碎，學生也沒能思考數字與數字之間的關系。比如，認知10時，教師就不會引導學生思考10與0～9之間的區別。這一簡單的數字認知問題，其實包含著教師對數形結合思想的教育重視程度，假設教師引導學生把10根小棒捆在一起，那么學生在了解10的時候，就會聯想到10根零散的小棒，這種思想的連接也會促使教師在接下來的“十進制”教學中變得簡易。由此可見，數形結合思想在小學數學教育中的積極價值，為發展學生的數學思維，推動學生的持續性成長，小學數學教師應該立足新課程標準，重視數形結合思想的應用實踐，以此促進數學學科的教育改革，并有效完善學生的數學核心素養。

一、 概述“數形結合思想”

（一）內涵

1. 內涵

“數”與“形”的概念起始于古代，數代表的是計數，形代表的是形狀，當前“數”的概念定義為數量，形的概念定義為空間。歐幾里得的一生都奉獻給了數學，他用自己的滿腔熱血，完成了“體現數形轉化資料”的巨著，即《幾何原本》。幾乎每個數學家在探討數學概念的過程中，都會對數形結合理念表達自己的看法，但綜合闡述數學家的看法，幾乎無一認定數形是割裂的。

再將“數”與“形”放置在“數學”的基本概念當中，數歸屬在抽象化的思維范疇當中，是人左腦的產出，而形通常表示的是幾何圖形，歸屬在形象化的思維范疇當中，是人類右腦的產出。由此來看，數學中的“數”與“形”似乎是矛盾的，但仔細看來，也能看出兩者的統一性。即每個圖形都能連接到其展現出的數量關系，相反，很多數量關系也可經由幾何圖形做出針對性的映照和闡述。讓人的大腦思維得到綜合性發展。人們也可以在融合性的應用中，獲取全面且深層的思維能力發展。

數形結合有兩個方面的具體文字呈現：一是以數解形；二是以形助數。在應用的時候，通常會展現出兩種狀況：其一，依賴形彰顯出的生動化和直觀化，來解析和明確數與數之間的關聯，即形是解題方式，數是解答目的，比如，通過對函數圖象的應用，來直接性展現函數性質；其二，依靠數的準確和嚴謹來說明形的屬性，即數是解題方式，形是解答目的，比如，通過橢圓方程的應用來精準地表明橢圓幾何性質等。

2. 概念闡述

（1）數形結合思想

數形結合思想是一種解題意識，即學習者可通過“數形結合思想”來面對抽象化的數量關系問題和圖形判定問題。也就是說，學習者要將復雜化的數量關系和直觀化的圖形關系聯合起來探究問題。這種將兩者關聯起來的思維意識，是引導人們處理數學學科問題的導向。

（2）數形結合方法

根據相關數學學者的思考探究，方法指的是人類為獲取某個目標而進行實踐的路徑和手段，亦是策略與途徑的整合。由此來看，數形結合方法指的是：人們在探究和獲取數學問題答案的進程中，結合精準化的數量和直觀化的圖形，整合思考所進行實踐的便捷問題而得到的處理的手段、策略及方法。

（3）數形結合思想方法

單獨來看數形結合思想，其是融合數量關系和空間形式解答問題和處理問題的思維。但把這種思維運用到具象化的問題處理過程中，就被公認為指導方法。所以，數形結合思想方法實質是指：人類在研究某些數學問題時注意到了兩者呈現的數學價值，進而獲得形象和邏輯思維統一的數學思想方法。

在學生學習的過程中，這種方法應用得很普遍，這一應用包含三個方面的實踐，除去“以形助數”和“以數解形”，還包括“數形互助”，而學習者不管選取哪一方法進行解題實踐，都會將復雜的問題簡易化、抽象的問題具體化。且學生的數學思維能力也會基于解題過程中的方法運用，得到不間斷的發展。讓數形間的優勢互相填充彼此的劣勢，有助于學生的素養提升和學科知識汲取。

（二）特征

所謂“數形結合”，其實就是依照數學問題給出條件和結論中的內在連接，不僅解讀代數價值，又解讀直觀幾何，讓精確性的數量和形象性的空間有效地融合在一起，繼而通過兩者的融合，找尋簡易且容易操作的解題路徑。核心目標是讓形的優勢特征和數的優勢特征同時發揮出來。

1. 形的化抽象為具體

在數學學科的各項知識當中，部分數量關系的呈現是復雜且抽象的，學生不易直接理解這些數量關系。而數形結合教學，能夠讓與數量關系相關的抽象問題具體化，讓本來結合抽象意識才能夠獲取解題思維的問題，可依靠形來簡易問題，獲取答案。學習者可透過形把難懂的代數言語，轉化成直觀的幾何圖象，不必再用復雜的數量關系推算答案，依賴具體的圖象，就可協助學習者了解和明確這些難懂且冗雜的數量關系。立足新課程標準要求，教材也依據學生思維的提升進行了轉變。以小學數學人教版教材三年級上冊內容“分數的初步認識”為例，這一課程當中，就出現了圖形與數量的融合展現，之后三年級下冊的“除數是一位數的除法”、五年級上冊的“位置”也都依靠了圖形的展現來解答復雜化的數量關系。

2. 數對形的精準定位

根據對數學學科的定位，可以說數學學科是一門求取精準性的學科，也可以說數學是一門嚴謹且縝密的學科，需要人們具備發散性、精準性的思維意識。但對小學階段的學生來說，其思維本就在成長階段，會有非嚴謹的階段，思考問題的時候，也不會將統一性的知識融合一起，進行對應解答。假設學生可以在解讀圖形的過程中，把一些比較容易搞混的數據標準，對應在圖形的精準位置上，其在解答問題的時候，就會直接性地看到數量間的復雜關系。這種直觀性的展現和定位，有利于深化學生的數學思維。

特別是在學習幾何圖形的時候，學習者如若只靠兩眼間的觀察與判斷，是無法準確理解圖形的規律和特點的。因此，在解答此類問題，或是探討圖形類性質和特征的時候，學生就要融合代數內容進行分析和解答。可充分結合圖形性質與幾何意義，選取圖形給出的隱藏條件，精準地將圖形量化出來。而在判定一些圖形性質的時候，其就可依據數量的精準和嚴謹來判定問題的準確性，比如正方形的四邊相等。如若只靠手量，不能確保答案的正確性，但依據正方形四邊數量的相等，即可判定這一圖形為正方形。也就是說，結合這一判定來思考幾何問題，能夠促使學生的思維變得嚴謹，且可以有效推動學生的數學判定能力。

二、 在小學數學教學中創新性應用數學結合思想的積極價值彰顯

（一）有助于教師踐行課程標準要求

小學階段的數學課程標準中明確提出，數學課堂不僅要學生內化基礎的數學概念和技能，而且要注重學生抽象意識和推理能力的成長，以此實現每個學生都可得到有效數學教育、不同層級的學生得到相應的數學教育的發展目標。基于對小學數學教學內容的探究，可看出每一章節內容都被分成三個階段的目標，而核心展現在“知識技能層面”，即要學生通過日常生活中數的抽象提取形成數需用形來助力解答的思維、通過實際物體中形的抽象提取形成數來精準判定圖形標準的意識。由此來看，數學思想蘊含數形結合的數學思維，所以，在小學數學教學中創新性應用數學結合思想，有助于教師踐行課程標準要求。

（二）有助于學生邏輯思維能力的提高

經由對大腦的研究證明，大腦的兩側擁有差異化的功能，左邊側重邏輯性思維，如運算、推理、歸納等，右邊側重形象思維，如創造、想象等，數形結合是對兩腦側重思維的融合，所以，能夠有效地同時發展學生的形象思維能力和邏輯思維能力。這也恰恰證明了數形結合的思維鍛煉作用。

在小學數學教學過程中，教師可通過數形結合思想的應用，促進學生形象思維和抽象思維的有機融合，這樣一來，學生不僅可以同步發展這兩種思維，其辯證思維能力也會得到相應的深化。

在應用數形結合的過程中，教師還要有意識地協助學生分層次、多視角地探究和解決問題。這樣學生在解決問題的過程中，就會擁有多向思維處理問題的優良習慣。

除此之外，教師在結合數形結合思想引導學生思考問題的時候，還要注重變靜為動的思維轉換，即讓學生用運動且變化的思維去思考問題，將數形各自看作運動過程中的某個瞬間的相對位置，融合動態性的意識方法解決教學材料中的問題，可以明確知識確立的發展方向，借此發展自身的辯證思維能力，有效地掌握事物內在特質。

（三）有助于促進教育目標的實現

1. 有助于促進知識技能層面的目標實現

在小學時期，幾何知識內容是高年級的主要構成部分，學生要從低年級所學習的平面圖形中，進行立體圖形上的思維變換。教師在教學的過程中，通常會發現部分學生在用平面圖形的知識內容處理立體圖形的問題，這其實是將數學立體幾何內容復雜化了。但在這個時候，教師如若借助形的引導，輔助學生解決立體圖形問題，學生就能夠簡易化立體圖形問題，并快速理解圖形特征，明確圖形性質。

以小學數學人教版五年級下冊第三章“長方體和正方體”為例，教師在引導學生探究和解答立體圖形的表面積和體積時，就要以形助數，促使學生結合形的直觀呈現，簡易且準確地解答出對應的圖形問題。

比如，一個長方體，增高了4厘米，就成了一個正方體，此時表面積相比原本的長方體增加了112平方厘米，那原來長方體的體積為多少？

此時學生雖然已經懂得熟練應用表面積和體積的計算公式，但在處理圖形問題時，僅靠公式是會復雜化這一問題的。為搞清原本和現有立體圖形的關系，教師要指引學生繪制圖形，并標記出題目上所給出的對應數量關系，進而融合圖形進行探討，這一融合能夠有效啟發學生的解題思路，即本來長方體上下兩個平面就是正方形，所以面積是恒定不變的，而增加了4個一模一樣的長方形之后，這4個長方形的寬是4厘米，面積的和是112平方厘米，判定完這些內容，學生就能夠快速地解答此題了。

基于上述案例可以知道，抽象化的圖形問題，對學生來說，僅僅依靠數量關系的公式內容去解決，是無法精準解答的，且過程會變得復雜，既浪費時間，也不一定能夠得出準確的答案。為此，教師應該注重數形結合思想的應用，只有這樣，學生的邏輯思維能力才能夠在數形結合的觀察分析下得到有效提升。

2. 有助于促進數學思考能力層面的目標實現

在小學階段的數學教育中，對數形融合的運用，除去能夠升華學生的知識理解能力和基礎知識掌握能力，還能夠發散學生的學習思維，提升學生處理問題的水平，強化學生的數學學科素養，對教師來說，課堂氛圍也可通過數形間的融合營造輕松且和諧的氛圍，學生的學習興趣也會在求知欲旺盛的背景下得到提升，當數學教學充滿趣味性時，課堂就會變得十分有效。如若教師對數形結合思想進行了巧妙性的應用，學生一定會慢慢喜歡上數學學科，并提高主動學習數學知識的意識，快速進入數學課堂的預習、復習和知識汲取當中。

以小學數學五年級下冊第五章“圖形的運動（三）”為例，教師在合作探究中，引導學生思考問題時，就可帶領學生融合數形結合思想解決問題，使其能夠理解數無法離開形的助力，形無法離開數的解讀，學生要用形獲取數、用數來證明形。比如，在思考梯形如何轉變平行四邊形和三角形時，就可將這幾類圖形的面積運算結合起來，明確這些圖形和數量。

為讓學生能夠快速且準確地明晰這些圖形和面積計算之間的關聯，教師還可延展上述問題，提出思維延伸性的探討。比如，在計算三角形和梯形面積的時候，是否能夠用平行四邊形的面積公式進行對應的運算。學生對這一問題進行了思考，也就加深了自身對兩者圖形面積關系的思考。

除去上述案例，小學數學課堂上有部分邏輯性思考的抽象問題，學生在面對這些問題的時候，很容易鉆牛角尖。找尋其根本緣由，就是學生沒有解決這些抽象問題的經驗與方法，不知道該從何做起，也不知道如何分析題干上所給出的信息。但如果教師引導學生融合圖形解決抽象的數量問題，那學生的學習效率就會得到快速提升，教學效果也會得到相應的提高。簡而言之，教師可以通過數形結合思想的有效應用，促進學生思考能力提升的目標實現。

三、 基于教材內容，創新應用數形結合思想

以小學數學人教版五年級上下冊教材內容為例，其是基于課程標準理念和學段目標進行的符合學生當下發展的整改。內容偏向針對學生的發展，重視學生的思維提升和實踐體驗。內容編排上也比較豐富，看重學生的知識構成進程，學生可在教材內容的學習和延伸下，懂得從多個角度、多個方位去看待問題、解決問題。而教師在結合這一教材內容進行教學的時候，就要重視學生學習方式的改變，通過方法應用的多元化，提高學生邏輯思維能力，培育學生創新思維意識。

（一）“用形助數”的內容展現和應用

根據“用形助數”的特征，可看出教材中的“整數乘法運算定律推廣到小數”“一個數除以小數”“可能性”“方程的意義”“解方程”“長方體和正方體”“分數的意義”等都隱藏著“用形助數”的思想。

其中“整數乘法運算定律推廣到小數”這一章節，借助表格讓信息和數據變得更加直觀化和清晰化，學生能夠通過表格有效地了解數量關系。“解方程”這一章節根據天平平衡原理，借助實際物品，幫助了學生厘清解答問題的思路，給學生具體直接地明確題干意思提供了一定的便捷性。除此之外的章節內容，都根據圖表或是圖形進行了引入，而學生亦可借助這些圖形，簡易化解題過程，具象化基本概念。

小學時期的數學知識大多源于現實生活，學生因為思維發展的幼稚性，很難依靠實際生活案例，去明確抽象化的知識概念，這種困境，讓學生的學習過程出現了發展層面的阻礙。而教師依靠“用形助數”的思想方法，除了可以讓抽象化的概念直截了當地展現在學生面前，還能夠從理解的角度出發，助力學生學習能力的提升，學生也能夠從中感知到形為代數問題所帶來的解答便捷。

（二）“用數解形”的內容展現和應用

根據“用數解形”的特征，可看出教材中的“平行四邊形的面積”“長方體和正方體的表面積和體積”“分數加減混合運算”等隱藏著“用形助數”的思想。

其中“平行四邊形的面積”就是通過反復測量的數據，協助學生在對比探索中把握平行四邊形面積的運算策略；“長方體和正方體的表面積和體積”是從數量的視角出發，依據長方體平面、棱線、頂點之間的關聯，理解運算公式；“分數加減混合運算”則是以表格的形式展現數據，依托對數據的解讀，指導學生理解表格內涵，進而設計出符合問題含義的式子解答對應的問題。

綜合上述內容，可以看出“用數解形”思想方法能夠填充“用形助數”的缺陷。所以，在小學數學的教學過程中，教師要適當地結合“用數解形”的方法，依靠數的精準性特征，把形的問題轉化到數的層面，繼而基于學生的學習特點，用簡易化、精準化的教學，促使學生明確“形”的概念性質和特征，推動學生自主通過數的呈現，解決形所展現出的計算規律，以此形成辯證的邏輯思維，并提高學生的數學理解能力。

四、 結語

在小學數學教學過程中，數學思想一直都是其中的核心與精髓。作為小學時期經常使用的思想，數形結合思想十分重要。隨著新課程改革的發展進程，數形結合思想在數學教學中的思維發散價值越來越高。新課程標準明確提出，教師要重視數學學科上學生思維能力的發展，教師要重視數形結合思想在數學教學中的運用。而在運用的過程中，教師還要懂得創新，比如結合教材上的內容，做好數形結合思想方法的有效問題引導。只有這樣，教師才能夠讓數形結合思想的運用得到有效性實踐，學生才可通過教師的引導，形成有邏輯的數學思維，并有效完善自身的數學學科素養。

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