從整體到局部,從具體到抽象的原則

張國林

摘 要：新的課程結構對老師“教”和“學”的作用很大，通過對比研究，明確了教材編排的基本原則：整體到局部再到整體.空間想象力是學習立體幾何的基礎和關鍵.很多學生對立本幾何“望而生畏”，其根源在于對空間的想象力不足，導致“事倍功半”，效果不佳.作為教師，應該在平時的教學中進行積極的探究和深思，使學生能夠更好地發揮自己的想象力.文章以“直線與平面垂直的判定定理”為實例，探討了由整體到局部，由具體到抽象的編排原理.本文旨在通過對高中生的空間想象力的培養和提高，使其能夠充分利用和發揮課程結構優勢.

關鍵詞：立體幾何；空間想象能力；能力培養；高中

《普通高中數學課程標準》提出了“以圖形為基礎，以幾何直覺、空間想象力為核心的發展”的概念.教材是教師“教”、學生“學”的載體.所以，作為一名數學教育者，必須仔細閱讀教材，把握教材的編寫與編排，準確把握課程結構，實現從“教材知識”到“教學知識”的轉換.這有利于學生實現從“教學知識”到“學習能力”的轉化，從而促進數學的學習和想象力的發展.要改變教學大綱，就必須修改章節的次序，并修改特定的內容.“直線與平面垂直的判定定理”是立體幾何中的一個重要命題，然而，由于種種原因，一些學生對“直線與平面垂直的判定定理”的認識有一定的困難，更別提合理、巧妙地運用了.長期這樣下去，對學生的數學能力、技巧的培養是不利的.立體幾何是高中數學中最難的一部分，它需要學生有一定的想象力，不然學生很難掌握和運用這一領域的知識.因此，在教師的立體幾何教學中，如何培養學生的空間想象力是至關重要的、根本的問題.

1 直線與平面垂直的判定定理的教學初識

在教授直線和平面的垂直定義時，一般都是通過多媒體來進行示范.在實際生活中，有許多直線和平面之間的關系被稱為“垂直”.問題在于如何正確地確定直線和平面的垂直.在教學中，有些教師采用了指導學生歸納概括的方式來進行精確的界定.我們可以規定，當一條直線與一個平面上的所有直線都垂直時，它就是垂直于這個平面的；也可以說，當一條線垂直于一個平面上的兩條線時，它就是垂直于該平面的.眾所周知，這兩個條件其實是對等的，能夠互推出來.因此，兩個方案都是可行的，但經過對比之后，他們認為前者更有道理［1］.

2 直線與平面垂直的判定定理的教學策略

2.1 挖掘教材，精準定位

認真挖掘課程標準以及教材，厘清教材的思維方式，是正確把握教學的中心和主題.課堂教學是為了提高學生的學習能力、思考能力和問題解決能力.為了使課堂教學具有目的性和針對性，亟需意識到教科書的不可取代性.要對教材進行仔細的研究，厘清教材的編排原理，使其符合學生的認識規律，從而達到較好的教學效果.

直線與平面的垂直是一種特殊的直線與平面的關系，是空間中直線與直線的垂直關系的擴展，也是平面與平面的垂直的基礎.在進行學習研究直線與平面垂直的判定定理時應當以直觀、抽象的方式讓學生進行理解、學習，進一步提高學生的空間想象力、幾何直覺、邏輯推理、使用圖形語言進行溝通的能力，同時讓他們體會和領悟轉換的數學思維［2］.

比如，關于“直線與平面垂直的判定定理”的編排.從轉動的直角三角板教具開始，再提出了“怎樣判定一條直線與一個平面垂直”的問題，使教師和學生能清楚地了解這一章節的教學目的，有利于教師和學生能夠明確地、有針對性地實施教學活動.它不僅可以有效地改善課堂教學效果，而且符合高中學生的認知規律，能夠激發他們的學習熱情.在閱讀教科書時，我們會發現，“怎樣判定一條直線與平面是垂直的”這個問題是有一定難度的.為簡化這一問題，選取了教師和學生比較熟悉的正方體ABCDA′B′C′D，把問題分為兩個情況：第一種情況如圖1：b、c為平面ABCD中的兩條直線（平面ABCD簡記為平面α），并于B點相交.直線a垂直于直線b、c即a⊥b，a⊥c，如此可推導出a⊥α.第二種情況如圖2：平面BB′C′C（即平面α）內的兩條直線b、c相互垂直，但平面α與直線a并不垂直.

問題的中心內容是“直線與平面垂直的判定定理”.利用數形結合思想，把問題分成兩個部分，把抽象的問題具體化，并將“整”轉化為“零”，使其更符合目前高中學生的認知規律和學習能力，對提高學生的空間想象力有一定的幫助.

2.2 借助小組合作，深化知識印象

師：大家能不能從直觀形象的角度，來界定直線和平面的垂直？每個人都要先考慮自己的觀點，然后將自己的觀點與同學們進行溝通.

組1：一條直線與平面內的一條直線垂直，它就與這個平面相垂直.

組2：一條直線與一個平面上的無數條線垂直，這條線就是垂直于一個平面的.

組3：兩個都不是，必須是一條直線和一個平面上的任何直線，這樣就可以獲得一條直線和一個平面的垂直.

師抓住機會問道：一條線還不夠？為何要垂直于一個平面上的任何一條直線？

同學們可以就地取材，如果一根鋼筆所處的線a與另一根鋼筆所處的線b相垂直，那么a線可能不會與b線所在平面相垂直.如果一根鋼筆所處的線與桌子上幾根平行的鋼筆所處的直線相垂直，那么該線也可能不會與桌面保持垂直.

老師：學生的分析非常有意義.只要一條直線和一個平面上的任何一條線都是垂直的，就可以確定這條線是垂直于一個平面的.這樣確定是對的嗎？我們可以通過操場上的一根旗桿來分析一下，這條線和地上的旗桿的陰影是怎么回事？大家可以得到怎樣的結果？

生：直線BC與BC在地上的陰影相交.盡管太陽的高度一直在變化，這種垂直關系依然存在.

師：BC在地上的投影和BC線是何關系？

生：為垂直關系.

師：因此，大家對直線和平面的垂直定義是正確的.最后我們可以得出：如果一條直線和一個平面內的任意兩條相交直線垂直，則該直線與平面垂直.

在新課改中，立體幾何的教學目標出現了較大的改變，具體表現為：對判定定理的論證需求日益減弱，對學生的直觀感知、理性推理和空間想象力的需求在不斷增加.教材是教師“教”、學生“學”的載體，因此，作為教學一線的教師，必須認真分析教材，在此基礎上，應根據學生的心理、認知特性，進行有針對性的、有目的性的教學，培養學生的觀察、推理、想象、歸納等數學能力.關于“直線與平面垂直的判定定理”的編寫，可以分為“問題提出”與“抽象概括”兩個部分.“問題提出”部分已經在前文中表達，下文將對“抽象概括”的部分加以重現.數學學習不是一朝一夕就能完成的，而是要依靠學生的接受程度和能力逐步提升.自主探究，讓學生掌握好課堂.教師的工作僅僅是為學生自主學習做準備，其重點在于培養學生的邏輯思維［3］.

2.3 利用多媒體探究，強化概念運用

師：經過前面的學習和練習，請大家利用已學的知識辨析以下命題：

若一條直線垂直于平面內所有直線，可推出此直線與該平面為垂直關系.

若一條直線垂直于平面內的無數條直線，可推出此直線與該平面為垂直關系.

生：第二個命題是錯誤的，無數條直線不等同于所有直線，如果是無數條平行直線，就難以證明該平面與直線是垂直關系.

現代多媒體技術的發展與運用，極大地方便了課堂教學，是提高教學效果的重要途徑.高中立體幾何題需要較強的抽象和空間想象力，并具有較多的變數，特別是載體復雜、變量多的問題.學生雖然對基礎知識有了一定的了解，但在解決問題時常常無法把握問題的關鍵點，從而難以順利地完成題目.究其原因，是因為學生缺乏動態想象力，不能將所學的知識活學活用.而利用現代多媒體技術的靈活應用，可以極大地解決這個問題.由于這種方法可以非常方便、清楚地顯示出特定的立體結構，而且可以很容易地將某些重要的幾何變化過程進行動態地顯示，這樣就可以在動態演化的過程中，培養學生的空間想象力.例如可以在教學“三垂線定理”的過程中使用多媒體制作的立體投影.讓學生慢慢地旋轉，多角度地觀看、體驗，進而在動態的立體演變中，獲得對理論的深刻認識.在此基礎上，培養了學生的動態想象力.因此，多媒體技術在立體幾何教學中有著廣闊的應用前景，它不但能將相關的幾何圖形進行立體的再現，而且還能使學生對幾何元素的位置、特征、相互關系進行動態的觀察與分析.在空間幾何要素的位置變化時，采用投影法進行展示更為形象、生動.因此，在中學立體幾何課上，要充分運用現代多媒體技術，從而實現對學生的動態想象能力的培養.當然，凡事都有雙面性，不能過度運用多媒體技術，否則會導致學生分心，從而產生事與愿違的效果［4］.

2.4 利用形象物體，加深鞏固記憶

師：從上一節課中，我們可以回憶起在空間中的直線和平面之間的哪些位置關系？

生：平面內的線、線垂直于面、線平行于面、線與面相交.

師：通過學習，我們掌握了線面平行的哪些知識？

生：關于線面平行的定義及性質，將線與面的平行轉換為線與線的平行.

師：根據研究的先后次序，我們要先研究一下直線和平面的交點，然后再討論一些特殊的關系，你覺得哪一種比較特別？

生：線面的垂直關系.

數學思維通常源自于求解現實問題或者是數學本身的發展需求.在其理論、規則、方程式等冷冰冰的表象下，潛藏著原始而生動的教學思想.所以本課的第一步就是建立一個研究問題的構架，體現在對問題的研究次序和問題的轉移上.另一方面，再通過感知生活，將抽象具體化.

師：舉例說明日常生活中與我們所學有關的例子.

生：教師墻角所在的直線與地面垂直、桌椅的腿與地面垂直、操場上的旗桿與臺面垂直……

在新課改的指導下，教師應積極轉變傳統的教學理念，將“生活化”的教學理念融入小學數學，使其成為一種高效的教學方式［5］.將數學與日常生活相結合，讓學生在生活中學習，提高對數學的興趣，并培養他們的邏輯思維和創新能力.同時，學生在進行獨立思考的時候，也能感受到數學與生活的關聯，能夠運用所學到的知識，發現問題、提出問題、解決問題.將數學與實踐有機地聯系在一起，達到了靈活應用，激發了學生的求知欲，創造了一個良好的學習氛圍.除此之外，立體的空間感覺是空間想象力的重要組成部分，高中新教材中清楚地規定，學生要有轉化幾何、三視圖、展開圖等的基本能力.教學實踐證明，缺乏立體的空間感覺，不能在頭腦中實現立體造型與幾何造型的轉換，是造成學生空間想象力不足的重要原因.在三維幾何教學中，這是一個很大的障礙.最實際、最行之有效的方法，就是充分運用數學模型，讓學生在學習過程中，充分體會到模型的制作和運用.在教學實踐中，教師對學生進行適當的指導與指點，讓學生逐漸形成對空間概念的認識，培養他們的空間想象力.因此，由學生自己制作或加工立體模型，其最大的優點是直觀，學生能夠由象征性的思考向抽象的思考轉變，進而培養出更強烈的立體感［6］.

3 結束語

教科書是教學的主要載體，但通過對教科書的比較，可以看出新舊教科書在編排上的不同，新的教科書的編排結構可以歸納為“整體到局部再到整體”.從本質上看，舊版的課程體系是“直線式”的，而新的教科書則是“螺旋式”和“直線式”的.它的嚴密性和邏輯性，有利于教師進行教學，但與學生的認知、心理結構不符.而教科書則是以學生為主體的學習活動，服務于學生的學習.因此，在編寫教科書時，應充分考慮到學生的發展特點、發展規律，從而實現從知識結構到認知結構的轉變.

參考文獻：

［1］ 李美熊.數學核心素養下高中立體幾何教學研究［D］.海南師范大學，2021.

［2］ 呂綠.高二學生線面相交學習現狀的研究［D］.河北師范大學，2019.

［3］ 李坤.基于直觀想象素養下的高中數學立體幾何定理教學研究［D］.西華師范大學，2019.

［4］ 馬藹琳.高中生立體幾何學習障礙及對策的研究［D］.上海師范大學，2011.

［5］ 王維銀，戚加國.空間中直線、平面位置關系判斷的途徑［J］.考試（高考數學版），2008（Z6）：2227+109110.

［6］ 孔小明.“直線與平面垂直的判定（一）”教學設計［J］.中小學數學（高中版），2008（4）：2225.

［7］ 章建躍.利用圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律——“空間向量與立體幾何”內容分析與教學思考［J］.數學通報，2021，60（6）：16.

［8］ 許榮好.分形幾何在高中數學中的滲透［J］.數學之友，2022，36（1）：5859.

［9］ 魯和平.構造余弦定理模型解題［J］.數學之友，2022，36（1）：6870.