基于思維進階的初中數學深度教學設計

李齊榮

［摘要］ 以一節試題講評教學過程設計為例，探索思維進階策略，通過預設問題，鋪設臺階，經歷過程，引導學生思維由淺表向本源進階；通過追問啟發，一題多解，引導思維由應用向分析進階；通過引導學生利用從特殊到一般地解決問題，引導學生思維深度進階；通過歸納思想，深度學習，引導學生思維從分析到創新進階，發展學生數學核心素養，讓創新意識的培養貫穿數學教育的始終。

［關鍵詞］ 深度學習；數學思維進階；創新意識

弗賴登塔爾在《作為教有任務的數學》中提出了“再創造”這一數學教學思想。筆者認為，學生的“再創造”應該從思維進階開始。教師在平時的教學活動中，要以實例引導學生利用數學符號建立方程、不等式、函數等，表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義；再使用類比、歸納、從特殊到一般、從一般到特殊等邏輯方法將問題一般化，探索規律，培養興趣，促進學生主動學習、深度學習、思維進階，幫助學生脫離題海，形成模型思想和應用意識，激發創新思維，發展數學學科核心素養。本文以泰州市姜堰區2021-2022學年度第一學期期末測試九年級數學最后壓軸題的教學設計為例，闡述嘗試引導學生思維深度進階的方案。

如圖1，已知點P是拋物線y=-x²+1的頂點，矩形ABCD中，頂點A、B在該拋物線上（其中點A在第一象限），頂點C、D在x軸上，連接線段BD、PD、BP，DP、AB交于點E。

（1）若點D坐標為（m，0），則點A、B、P坐標分別為A（▲，▲）、B（▲，▲）、P（▲，▲）。

（2）①求證：∠BPD=90°；②連接PA，求證：PA²=PD·PE。

（3）解決完以上問題后，小明不禁自問：是不是只有拋物線y=-x²+1才有（2）中的結論呢？善于思考的小明將y=-x²+1作一般化處理，并提出了如下兩個問題：①如圖1拋物線y=-ax²+c（a＜0）中字母a、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，并說明理由；②如圖2拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）中字母a、b、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，請直接寫出結論。

一、教學分析

（一）題目分析

新課標指出，發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。本題主要考查學生對二次函數、銳角三角函數、相似三角形、勾股定理等知識點的綜合運用能力，以拋物線為載體，以點的坐標為橋梁，以坐標的幾何意義為媒介，建立數與圖形之間的聯系，領會數形結合、方程、函數等數學思想，指向數學運算、直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養。同時，出題者希望借助本題再次引導學生回顧蘇科版初中數學教材“二次函數圖像及性質”中的探究方法，突出對學生閱讀分析能力、推理探究能力的考查；引導學生不要只顧埋頭刷題，要抽空抬頭靜思，從特殊到一般地進行探索、推理、實踐，培養學生的自主探索、推理、實踐能力和創新思維。

（二）學情分析

本題整體得分率較低，存在的主要問題有頂點坐標寫錯、過程中計算出錯、時間不夠未能答全等。對此，給出的解決方法有：一先想后算，審清題目，理清思路，避免中途更改；二多想少算，解法優化，擇優書寫，少走彎路，完整過程不丟分。

（三）目標分析

一是經歷自主探究的過程，培養學生獨立探究和分析問題的能力。二是經歷合作探究過程，培養學生合作意識和創新能力。三是經歷類比、猜想、論證的數學思維過程，讓學生體會從特殊到一般、從一般到特殊的歸納演繹推理過程，培養學生的數學思想方法和數學建模能力。四是經歷這些數學問題探究過程，讓學生感受數學的神奇魅力，提高學生學習數學的興趣。

（四）重點與難點

二次函數、銳角三角函數、相似三角形、勾股定理等知識點的綜合運用能力及擇優書寫解題過程的辨析能力培養；從特殊到一般、從一般到特殊的歸納總結建模，促進思維進階，進行深度學習。

二、教學過程設計

（一）鋪設臺階，經歷過程，思維由淺表向本源進階

問題1：抓住關鍵詞，特殊引入，回答下列問題：

（1）點P是拋物線y=-x²+1的頂點，則P（___，___）。

（2）矩形ABCD中，頂點A、B在該拋物線上（其中點A在第一象限），頂點C、D在x軸上，若點D坐標為（1/2，0），則點A、B、P坐標分別為A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（3）指出（2）中A、B、C、D四點坐標間的關系。

（4）①在滿足（2）的情況下，求證：∠BPD=90°；②連接PA，求證：PA²=PD·PE。

【設計意圖】從特例引入。

問題2：（1）若點D坐標為（m，0）（由點A在第一象限，隱含m﹥0的條件），則點A、B、P坐標分別為A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（2）對比各點坐標間關系，哪些有變化？哪些不變？

（3）①求證：∠BPD=90°；②在此基礎上，連接PA，求證：PA²=PD·PE。

（4）上面用的方法在這里可以同理應用嗎？

【設計意圖】由特殊定點到動點，對比歸納，類比學習。

問題3：善于思考的小明將y=-x²+1作一般化處理為y=-x²+c（c﹥0），當c滿足什么條件才能使得∠BPD=90°，并說明理由。

【設計意圖】引入一個參量，讓函數逐步走向一般。

問題4：如圖1拋物線y=ax²+c（a＜0）中，字母a、c滿足什么條件，才能使∠BPD=90°，并說明理由。

【設計意圖】再引入一個參量，讓函數更加一般化，引導學生思維逐步進階。

問題5：拋物線y=ax²+bx+c可否化為拋物線y=ax²+c的形式？

【設計意圖】為解決下面問題鋪設臺階，引導學生思考二次函數y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c間的關系，課本中是如何探索這類問題的，引導學生思維進階。

問題6：如圖2拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）中字母

a、b、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，請直接寫出結論。

【設計意圖】從二次函數的特殊形式到一般式，引導學生由特殊到一般，層層進階。

筆者在引導學生思維進階前了解到，蘇科版數學九年級下冊《教師教學用書》中提出“第5章第2節，從描點法畫二次函數y=x2的圖像開始，用運動、變化的觀點，由特殊到一般運用數形結合的思想逐步探討二次函數y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c的圖像和基本性質，這是二次函數的核心內容，也是應用二次函數知識解決相關問題的基礎”。本題命制的主導思想亦是如此。由具體二次函數及具體數解決問題，只是淺顯的應用，其本源要深度追溯到在一般式中的應用。因此，筆者預設問題，層層深入，讓學生親身體驗知識的發生、發展過程，最大限度地引導學生投入觀察、思考、操作、推理、抽象的活動中，引導學生思維由表及里進階，由簡單識記條件的反射式思維向理解實踐的應用型思維進階，在活動中讓思維自由生長。

（二）追問啟發，一題多解，思維由應用向分析進階

問題1中第（4）問，筆者通過追問引導學生思考一題多解，啟發學生思維由應用向分析進階。

追問1：求證：∠BPD=90°有哪些常用方法？

生：勾股定理的逆定理。（這是這次考試中用得最多的方法）

證法1（生分享證明思路）：如圖3，當點D坐標為（1/2，0）時，則點A（1/2，3/4）、B（-1/2，3/4）、P（0，1）、

M（0，3/4）、C（-1/2，0）。

基于以上求得的坐標，在Rt△ODP、Rt△BCD、在Rt△BPM中，利用勾股定理，可求得PD²、BD²、BP²，又因為PD²+BP²=5/4+5/16=25/16，且BD²=25/16，所以PD²+BP²=BD²，則∠BPD=90°，證畢。

追問2：上圖3中，除熟悉的平面直角坐標系、拋物線、矩形外，你能找出一些我們常見（考）的組合模型嗎？（讓學生用不同筆色畫出來，投影分享，主要有圖4和圖5兩種情況）

追問3：如圖4，由題意知∠BMP=∠POD=90°，

若已知∠BPD=90°，則可得出哪些結論？

生：△PBM與△DPO相似。

追問4：如圖4，若已知∠MBP=∠OPD，可否證出

∠BPD=90°？如何證明？

生：可證。由∠BMP=90°，可知∠MBP+∠BPM=

90°，又∠MBP=∠OPD，則∠OPD+∠BPD=90°，即∠BPD=90°。

追問5：又該如何證明∠MBP=∠OPD？

生：由圖5，由OP//AD得∠OPD=∠ADP，由“八字型”模型得∠ABP=∠ADP，故∠MBP=∠OPD。

追問6：“八字型”中∠BPD=90°可用嗎？

生：不能。

追問7：又該如何證明∠MBP=∠OPD？∠MBP、

∠OPD可分別置于哪兩個三角形中，它們特殊嗎？三邊可以表示嗎？可以表示這兩個角的三角函數嗎？兩個角的三角函數相等，則這兩個角相等嗎？

生：（討論、交流）證法2：

通過正切函數的連等變換不難得出∠MBP=

∠OPD，再由∠BMP=90°，知∠MBP+∠BPM=90°，又有∠MBP=∠OPD，則∠OPD+∠BPM=90°，即∠BPD=90°。

追問8：比較各種解法優劣，歸納總結：方法1引入字母后運算量更大，解題時許多學生因運算量大，做一半就放棄了，有的運算出錯了；方法2中引入字母后，邊OD、OP、PM、BM均可表示，且運算量不大。

至于問題②連接PA，求證：PA2=PD·PE，正確率較高，在講解中略去。

學習的意義在于學習者學到越來越多認識事物的程序，認清事物之間的聯系，主動建構認知圖式的過程。因此，筆者以如何證明直角的追問，引導學生對所學內容進行橫向與縱向聯結化思考，從而提高學生應用知識解決問題的能力。并且，筆者并不僅僅停留在知識應用及問題解決上，還通過一題多解，引導學生在感受解決問題多樣化的同時，分析、比較、總結，優化了解題方法。這樣不僅培養了學生分析問題和解決問題的能力，還培養了學生的辨析思維、判斷能力和辯證思維。同時，優化解決問題方案的過程又是引導學生思維走向深度的過程，是引導學生由簡單實踐應用型思維向分析、辨析優劣的辯證思維進階的過程。

（三）歸納思想，深度學習，思維從分析到創新進階

問題1涉及當m=1/2時的特殊點，問題2涉及滿足條件的任意一點，用含m的代數式表示動點A、D、B的坐標及線段BM、PM、OD等信息。計算tan∠OPD、tan∠PBM屬于一般問題，適合用類比特殊情況的解題思想去完成，學生完成情況較好。

問題3開始將二次函數一般化，要使∠BPD=90°，只要∠MBP=∠OPD，即有tan∠PBM=tan∠OPD即可，此處訓練了學生在圖形和函數兩個維度下切換思維的能力。

問題4則引導學生類比自主解決，當a、c滿足ac=-1時，能使∠BPD=90°。

問題5的設計意圖是，筆者了解到學生對問題6無處入手，只知道y=ax²+c是y=ax²+bx+c當b=0時的特殊形式，只注意到表面的“形”，而沒能將y=ax²+c看成頂點式y=a（x+m）²+n中m=0這種特殊情況的“實”。部分學生甚至說“老師這里若寫出提示，我就能想到了?！边@也從側面說明學生關注“形”，側重形象性思維，思維需要進階。而學生知道拋物線y=ax²+bx+c可化為拋物線y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a線的形式，又知道函數y=ax²+4ac-b²/4a的圖像與函數y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a圖像間的平移關系，問題6就能迎刃而解。再類比問題4知，當a·4ac-b²/4a=-1時，即b²- 4ac=4時，即可使∠BPD=90°。

這道試題，命題者參照教材中二次函數圖像及性質的學習經歷而命制，考查了由特殊到一般、數形結合的數學思想，解決問題時考查了學生閱讀、探索、觀察、思考、操作、推理、抽象、概括等數學思想方法及關鍵能力。筆者深刻體會到：具體內容的教學與數學思維的教學應有效結合，可最大限度地體現教學的價值，促進學生高階思維的發展需要。本題作為壓軸題，時間短，探究跳躍大，難度明顯增大。這啟發筆者，今后的教學不能就題講題，要注重變式、拓展與創新；要注重引導學生從低階思維向綜合、拓展、創新型高階思維進階，真正落實課程標準中“創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終”。