2023年新高考Ⅰ卷第22題解法探究

李園園 (江蘇省蘇州市吳中區蘇苑高級中學 215128)

2023年新高考Ⅰ卷第22題考查了軌跡問題以及內接矩形周長范圍問題,該題體現了課標的要求:掌握拋物線的定義、標準方程,會用坐標法推導拋物線的方程,突出理性思維的考查;回歸數學本源,突出學科基礎性．本文從圓錐曲線知識與函數、不等式、參數方程等知識綜合的視角,給出該題的多種解法,并提出若干教學建議．

1 問題呈現

圖1

(1)求W的方程;

2 解法探究

反思 將拋物線頂點平移到原點,可以簡化計算．將AB,AD用k表示出來后,利用參數k與x0的關系合理放縮,消去x0得到k的函數結構,再通過導函數求出最值．放縮這一步是難點,在教學過程中遇到類似的情況,教師要正確合理地引導學生理解和運用．

證法3(平移、雙變量之主元變量法、“尖底鍋”型)我們先來認識一些絕對值函數有關最值的模型:

反思 雙變量之主元變量法是我們解決函數最值、恒成立問題等的通法,對于“尖底鍋”型模型的學習和運用可以正確地理解函數最值情況,再結合配湊三元基本不等式可以有效地解決最值．

圖2

3 方法活用

下面我們解決一個類似的問題:

(1)求拋物線E的方程;

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1>

4 教學建議

數學重在培養學生的邏輯推理能力．2023年高考數學命題打破常規,改變了相對固化的試題模式．出題者更加注重考查內容的全面性,引導教師依標施教;試題突出對學科概念、原理的考查,強調知識點之間內在聯系,引導學生形成學科知識系統;更加注重本原性方法,淡化特殊解題技巧,強調對通性通法的深入理解和運用,促進學生將學科知識納入自身的知識體系．雖然命題趨勢不定,但是重視基礎概念和掌握通性通法不會改變,教學的著力點應放在數學素養和創新能力的培育上．

(1)數學素養

新高考Ⅰ卷設計現實性和綜合性問題,實現對邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學抽象、數學建模、數據分析六大素養綜合考查．學生在系統掌握基礎知識、基本技能、基本方法上,不可以脫離課本,在復習的過程中應學會串聯概念、定理和公式．平時要求學生讀題、審題時了解涉及哪些概念,可以得到哪些結論或者還缺少哪些條件等,解題后多引導學生反思,舉一反三、觸類旁通．

(2)創新能力

應對新穎性題型的策略是要根據數學“萬變不離其宗”的特點,圍繞基礎知識、基本技能、基本方法,通過問題的變式,掌握透過現象看本質的本領．不管命題方向如何變化,邏輯分析推理能力至關重要,從試題信息找到聯系并列出關系,根據線索發現破題方法．

教師一方面要正確引導學生掌握基本功,夯實基礎,另一方面要鼓勵學生不要有畏難情緒,敢于聯想,敢于挑戰,以提升學生學習數學的信心和能力．