一道模考題的逆問題及推廣

重慶市銅梁二中 (402560) 田 飛 李 波

某校的高三模擬試卷中,解析幾何題目如下:

已知點P(4,4)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,直線l:y=kx+2與拋物線C有兩個不同的交點.(1)求k的取值范圍;(2)設直線l與拋物線C的交點分別為A,B,過點A作與C的準線平行的直線,分別與直線OP,OB交于點M,N(O為坐標原點),求證:|AM|=|MN|.

1.一般化及逆問題

筆者發現:(1)直線l過定點K(0,2);(2)直線KP恰好是拋物線C在點P處的切線.抓住這兩個特點,考慮將第(2)問一般化.

性質1 如圖1,過K(0,a)(a≠0)作拋物線C:y2=2px(p>0)的異于y軸的切線交C于點P,過K的另一直線l與C交于A,B兩點,過點A作與y軸平行的直線分別交直線OP,OB于M,N,則|AM|=|MN|.

圖1

在性質1中,“KP為切線”是關鍵的條件,自然的問題:性質1的逆是否成立?

性質2 過K(0,a)(a≠0)作直線l交拋物線C:y2=2px(p>0)于A,B兩點,過點A作y軸的平行線交OB于N.設M是線段AN的中點,直線OM交C于點P,則KP是C的切線.

另一方面,拋物線C在P處的切線方程為yyP=p(x+xP),即px-2ay+2pa2=0.顯然,點K在此切線上,即KP是拋物線C的切線.

2.推廣

為了從更高的數學觀點考察性質1,需要預先準備以下知識.

定義1(極點極線的幾何定義)如圖2,點P不是圓錐曲線Γ上的點,過P引兩條割線依次交Γ于E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點P對應的極線.

圖2

引理1 如圖2,當點P在圓錐曲線Γ外時,過P引Γ的兩條切線PA,PB,則切點弦AB所在的直線為P對應的極線.

引理2 如圖2,MN為點P對應的極線,若過P的直線交MN于K,交Γ于G,H,則P,G,K,H四點構成調和點列.

在性質1中,KO,KP都是拋物線C的切線,由引理1知,OP是點K關于C的極線. 圓錐曲線的許多性質都能統一起來,那么,性質1能否推廣到一般情形,橢圓和雙曲線上是否有相似的結論?針對這個問題,下面將在橢圓上給出肯定的回答.

性質3 如圖3,設點K是橢圓L外任意一點,K關于L的極線交L于P,Q兩點,過K作直線l1交L于A,B,過A作直線l2//KQ交PQ,QB于M,N,則|AM|=|MN|.

圖3

當點K在橢圓L內時,有

性質4 如圖4,設橢圓L內任意一點K關于橢圓L的極線為l,過K的直線交l于點T,交L于A,B兩點,過T作L的切線且切點為P,過A作平行PT的直線且分別交BP,KP于N,M,則|AM|=|MN|.

圖4

由于K的極線l上任意一點關于橢圓L的極線必過點K,且切點P是T關于L的極線上的點,故KP是T關于L的極線. 因此T,A,K,B構成調和點列. 從而,性質4仿照性質3的證明得到.

如果我們認為,雙曲線兩支的中間部分是雙曲線內,兩邊是雙曲線外,那么雙曲線上也有與性質3和性質4平行的結論.

性質5 設雙曲線L外任意一點K關于橢圓L的極線為l,過K的直線交l于點T,交L于A,B兩點,過T作L的切線且切點為P,過A作平行PT的直線且分別交BP,KP于N,M,則|AM|=|MN|.

性質6 設點K是雙曲線L的內任意一點,K關于L的極線交L于P,Q兩點,過K作直線l1交L于A,B,過A作直線l2//KQ交PQ,QB于M,N,則|AM|=|MN|.