一道解析幾何試題的溯源及推廣*

廣東省惠州仲愷中學 (516229) 陳偉流

江蘇省南京市棲霞中學 (210046) 蘇倩倩

高考命題堅持“以核心價值為引領”,“以學科素養為導向”,“以關鍵能力為重點”,“以必備知識為基礎”四大原則為理念,以“四翼”為考查要求解決了數學怎么考的問題,這就要求一線課堂中要充分發揮教師的主導性和學生的主動能動性,以培養學生良好的思維模式及解題習慣,促進有意義的學習;本文以2023屆T8聯考試題為例,淺談對學生解題,對課堂教學提質增效的些許思考與嘗試.

1 試題呈現

2 試題分析

2.1 內容分析

本題以拋物線為情景,有機融合了解析幾何中常見的面積最值,直線過定點,斜率和(積)定值為等熱門題型,知識覆蓋面廣,難度系數較大,滲透了數形結合,函數與方程,轉化與化歸,分類討論等數學思想和數學運算,邏輯推理,數學建模,數學抽象等核心素養的考查,充分體現了高考評價體系中“以核心價值為統領”、“以學科素養為導向的”命題理念,體現三新背景下高考的新時代特點,有效呼應了高考試題的教育、評價和導向功能.

2.2 溯源分析

在試題背景的挖掘上,本題可追溯到2019人教A版選擇性必修第一冊習題3.3的第6題;人教B版選擇性必修第一冊習題2-8B第2題,03復習題第16題,第25題以及2020年山東高考第22題,歸屬于解析幾何中“弦張直角過定點”的類型,始終圍繞著曲線上的定點,弦過定點,兩垂直弦這三要素為條件或結論進行有序排列命題,可進一步深度推廣為更一般的手電筒模型[1],具備極大的研究價值.

3 解法分析:通法通解引領,明確運算方向

評注：以直線的橫截式為切入,即有效避開了點斜式的分類討論,又精簡優化后續的運算過程.教學時教師要帶領學生從不同形式的直線方程切入解題,在不同情景中領悟直線及曲線方程在消元中的利與弊,簡與繁,如定點在x軸上時選擇橫截式可規避斜率討論,精簡運算結構;在定值,定點問題中常以斜率不存在為特殊引領,將思維歷程有效化歸為先猜后證的解題邏輯,讓學生辯證性地認識直線方程在解題中的媒介作用,培養最值解題動機與策略,提升數學運算素養.

4 變式提升:探討運算策略,優化解題過程

思路2：在思路1上平移建系的基礎上,因點M,N是雙直線lEM,lEN與拋物線的交點,又是雙直線與動直線l的交點,故M,N兩點具有地位上的唯一性與一致性,即兩點是三曲線的共同交點,又同在拋物線上,從這兩個特征出發可多角度建立關于雙直線斜率的二次方程,即斜率同構法.

評注：解法1,2從曲線外部出發,通過解讀兩點結構特征,聯立方程組抽象斜率的母方程;解法3的直線設法和定點求法分別源于人教A版選擇性必修一習題2.2的第11題和習題2.3的第16題,從曲線內部出發,活用“1”的代換抽象斜率的母方程.無論從哪個角度進行同構方程,都需充分認識點M,N在題干情境的本質特征屬性,才能把握同構法的邏輯根源,形成有論據、有條理、合乎邏輯的辯證解題策略,從而提升數學抽象和邏輯推理素養.

評注：重新編排曲線上的定點,直線過定點,斜率積為定值三要素的邏輯結構和相關幾何條件,通法解題時學生不僅能鞏固“特殊引領,先猜后證”和坐標系平移的思想方法;而且再次認識到三要素間的嚴密的封閉性與等價性,有助于發現問題并提出問題,形成“弦張直角過定點”的數學模型并把握模型本質,培養思維品質和理性精神,從而再次提升數學運算,邏輯推理和數學抽象的核心素養.

5 推廣應用

將拋物線方程,定點E及弦張直角的性質一般化推廣,有

結論1 已知E(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)的定點,不過E的動直線l與拋物線交于兩點M,N,若雙直線lEM,lEN的傾斜角分別為α,β,斜率分別是k1,k2[2],則

將拋物線推廣到圓錐曲線體系,有

評注：對于雙曲線的相關結論,只需將橢圓結論中的b2替換為-b2即可;同時對于定點E在圓錐曲線內或外,以及三種圓錐曲線進一步更統一的結論及其證明,詳細見文獻[3],不再贅述.