在初中數學教學中融入分類思想的有效路徑研究

【摘要】從理論與實踐兩個層面論述在初中數學教學中融入分類思想的有效路徑，對分類思想的概念進行解讀，介紹韋恩圖、象限圖、思維導圖、邏輯樹圖四種分類思想訓練工具，分析初中數學教學現狀，探討在初中數學教學中融入分類思想的重要意義，結合案例深入研究在教學中融入分類思想的有效策略，以期提升初中生的思維品質，助力其創新發展。

【關鍵詞】初中數學；分類思想；教學策略

作者簡介：袁魁（1981—），男，江蘇省南通市北城中學。

初中數學教學活動主要圍繞學生在學習數學的過程中遇到的難題展開，教師的作用在于幫助學生解決問題，提升其數學學習能力。現階段，初中數學教學中存在學生理解抽象知識困難、教學缺乏創新等問題。為改變教學現狀，初中數學教師應當靈活運用分類討論思想，將數學知識重難點化整為零、積零為整，揭示數學知識的內在規律，幫助學生掌握不同的解題方法，提高學生舉一反三的能力。新課程改革強調轉變教學觀念，充分尊重學生的主體地位。教師應當明確傳統教育的弊端，積極尋找分類思想與教學活動的融合切入點，著眼于學生的綜合素質發展，助力學生學習進步。

一、分類思想的概念

（一）基本概念

分類思想是指根據數學本質屬性的相同之處和不同之處，將研究對象劃分為不同種類的數學思想。相關分類以比較為基礎，因為比較是分類的前提，分類則是比較的結果。分類思想貫穿于整個數學教學活動中。由引起分類的原因入手分析，可以將分類思想概括為概念分類、定理分類、問題結果分類、變量分類等［1］。

（二）基本原則

1.不重不漏

分類思考并非隨心所欲地思考，而是需要遵循不重不漏原則，即分類結果要同時具備互斥性和完備性。以有理數為例，在分類的過程中不能忽視“0”的存在，也不能將整數與“0”歸為同一類。

2.統一標準

運用分類思想要堅持按統一標準劃分的原則。以三角形的分類為例，分類思想提倡按照明確的標準將不同類型的三角形進行分類，而非直接將三角形分為銳角三角形、直角三角形、等腰三角形。

3.逐級分類

運用分類思想應當遵循逐級分類原則，即在分類結果的基礎上再次進行分類時，要逐級進行分類。以有理數為例，可以將有理數先劃分為正有理數、0、負有理數三類，在此基礎上再進行細分，分為正整數、正分數、負整數、負分數。

二、分類思想訓練工具

（一）韋恩圖

韋恩圖是訓練學生分類思想的工具，也被稱為溫氏圖，是在所謂的集合論數學分支中，在相對寬松的條件下用以表示集合的一種直觀圖示。韋恩圖的優勢在于能清楚揭示不同種類事物之間的交集關系，使使用者能夠明確不同“類”之間的關系。換言之，韋恩圖揭示了不同種類事物之間的互相排斥性，能夠作為一種分類思想訓練工具，降低問題分析難度，促進學生的思維品質提升。

（二）象限圖

象限圖也叫增長-份額矩陣圖，本質上是由散點圖與橫豎垂直的直線分成四個相等的部分，常用于價值分析，便于使用者了解相關事物的優勢與薄弱點。在分類思想訓練中，利用象限圖呈現需要并行考慮的條件，可以輔助學生思考，從而鍛煉學生分類思考的準確性。

（三）思維導圖

思維導圖是一種呈現發散性思維的圖形工具，近幾年開始得到廣泛應用，獲得了廣大教師的一致認可［2］。思維導圖的優勢在于同時呈現不同的分類標準，其可以作為分類思想訓練的關鍵工具，幫助學生梳理思路，也能夠將各個層級的主題關系用圖形表現出來，幫助學生建立記憶鏈接，促進學生分類思想的形成。

（四）邏輯樹圖

邏輯樹圖與麥肯錫邏輯樹分析法息息相關，其可以作為分類思想訓練的輔助性工具，保證解決問題過程的完整性。邏輯樹圖的繪制方法與思維導圖近似，各個主題之間更有邏輯相關性。這一工具側重于輔助思考，主要通過“是什么、為什么、怎么做”三個分支來解決問題。利用邏輯樹圖訓練分類思想，可以提升學生理論聯系實際的能力，有助于學生掌握分類思想的應用技巧。

三、初中數學教學現狀分析

在數學課程改革不斷深入發展的新時期，教師的教學理念和教育方式在悄然發生變化，這將促進學生學習方式的轉變，在一定程度上可以鞏固改革成果，讓學生不斷進步。但在講解抽象數學知識時，一些學生未重視運用分類思想進行思考，導致難以理解所學知識，數學抽象思維得不到發展，不利于加深對抽象知識的理解和印象，容易影響學習效率和質量的提高。為了改變這一教學現狀，教師有必要從分類思想的培養入手，指導學生分類討論問題，提高學生的學以致用意識。

四、在初中數學教學中融入分類思想的意義

（一）為抽象思維發展鋪平道路

分類思想可以反映學生的思維、能力發展水平，在促進學生邏輯思維能力發展上發揮著重要作用。分類是指對客觀內容進行分析和比較，在此基礎上，發現并歸納相關內容的一般特點與本質屬性。學生在運用分類思想進行判斷的過程中，需要具體判斷數學內容的相同和不同之處，立足相關內容的共性進行思考，這有助于促進其抽象思維發展。所以，在初中數學教學中融入分類思想可以發展學生的抽象思維。

（二）為深入理解知識指明方向

分類的優勢在于將復雜的問題簡化，分類思想與數學教學融合，能夠幫助學生把握數學內容之間的共性，深入認識不同類別事物的作用。在運用分類思想進行思考的過程中，學生可以經歷由特殊到一般的研究過程，結合實際學習內容，重新理解分類的意義，從而提高學習效率。因此，在初中數學教學中融入分類思想能夠為學生深入理解數學知識指明方向。

（三）為高階思維發展奠基固本

初中階段學生正處于思維發展的關鍵時期，積極運用分類思想指導學生思考問題，可以為學生的高階思維發展奠定基礎。加涅的智慧技能學習過程的層級關系是“辨別—具體概念—定義性概念—規則—高級規則”。分類活動由辨別開始，學生在抽象出具體概念和定義性概念后，能夠生成規則與高級規則。所以，分類思想有助于為學生的高階思維發展奠基固本。

（四）為促進認知發展提供動能

心理學研究表明，認知結構對于學生的認知發展至關重要。運用分類思想指導學生有條理、有序地歸納和整理所學數學知識，能夠助力學生構建完善合理的知識結構，從而發展學生的組織能力，使學生掌握運用分類思想對所學知識進行有序分類、整理概括的技能，促進學生學習遷移能力的提升，為其認知發展提供動能。

五、在初中數學教學中融入分類思想的有效策略

（一）初體驗—指導分類，提升學生思維品質

“學而不思則罔，思而不學則殆。”作為一種獨特的邏輯思考方法，分類思想可以憑借其特殊屬性，讓學生體會分類是認識事物、建構概念的基本方法［3］。初中數學教師應當利用簡單的數學問題指導學生初步體驗分類，使其了解分類思想，為進一步學習探索做準備，促進學生的思維品質提升。

比如，在講解新人教版初中數學“平行線及其判定”一課的過程中，教師可以呈現生活中的高鐵軌道、運動雙杠等圖片，鼓勵學生分析同一平面內兩條直線之間的關系，由此引入新課，介紹平行及其表示方法a//b。接著，教師可以指導學生畫出a、b、c三條平行線，思考三條直線中任意兩條直線之間的位置關系，初步體驗分類思想，明白“過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”。然后，教師可以總結a//b、c//a、b//c，讓學生直觀了解“與第三條直線平行的兩條直線存在互相平行的關系”。為了提升學生的思維品質，教師可以圍繞核心議題“任意一條直線截兩條直線”，探討平行線的判定方法。最后，教師可以圍繞“平行線的判定”提出分類問題，幫助學生鞏固所學知識，使其能夠初步體驗分類思想，加深學習印象，提升數學思維品質。

（二）再嘗試—趣味分類，培養良好學習習慣

葉圣陶曾言：“積千累萬，不如養個好習慣。”在保證分類標準科學性的前提下，運用分類思想進行學習，有助于學生養成良好的學習習慣。初中數學教師應當為學生提供分類的方法，進行思想滲透，讓學生不斷嘗試運用分類思想解決問題，培養其良好的數學學習習慣，讓其在實踐中深刻理解分類思想的重要性。

比如，在講解新人教版初中數學“一次函數”一課的過程中，教師可以先呈現象限圖，揭示其與平面直角坐標系的關系，讓學生按照“列表、描點、連線”的步驟繪制正比例函數y＝2x的圖像，利用分類思想訓練工具來增強學生分類思考的意識。然后，教師可以趁熱打鐵，引出一次函數相關概念知識，讓學生以繪圖競賽的方式，在同一直角坐標系內，運用列表法繪制一次函數y＝-2x＋１的圖像，激活學生的分類思考意識，提高數學課堂教學的趣味性。在繪制圖像的過程中，學生能夠經歷從特殊到具體的探索過程，在理解正比例函數圖像性質的同時進行分類思考。最后，教師可以利用象限圖展示一次函數經過的象限，讓學生在直觀圖示的幫助下，分類思考一次函數y＝-2x＋１的圖像位置與自變量、因變量的關系，使學生明確分類思考的重要性，養成良好的數學學習習慣。

（三）勇探索—獨立分類，提高自主學習能力

在教學中融入分類思想，指導學生獨立進行分類思考，可以讓其獲得新知識，提升其自主學習能力［4］。初中數學教師應當充分引導學生將所學知識進行細致分類，獨立完成相關分類任務，使得相關數學研究對象盡可能具象化，在加深學生學習印象的同時，促進其自主學習能力的提升。

比如，在講解新人教版初中數學“解一元二次方程”一課的過程中，教師可以先運用思維導圖呈現與一元二次方程相關的概念知識，要求學生運用換元法解方程（ x－3 ）2＝4，并說出解答過程，其間滲透分類思想，讓學生分析x＝3±2，使之能夠得到兩個解，即x1＝5，x2＝1。然后，教師可以將方程（ x－3 ）2=4變為一元二次方程x2－6x＋5＝0，讓學生通過觀察，發現其中的規律，使之掌握配出一個含未知數的一次式的完全平方式的方法。接著， 教師可以介紹并總結用配方法解一元二次方程的步驟，使學生明白解形如a2＋b＋c＝0（a≠0，b≠0，c≠0）的一元二次方程，需要按照“移項、加一次項系數平方、配方、解方程”的步驟進行。最后，教師可以在學生初步掌握用配方法解一元二次方程步驟的基礎上，指導學生運用分類思想分析方程解不唯一的特點，使其能夠獨立進行分類求解，從而掌握用配方法解一元二次方程的技巧，提高自主學習能力。

（四）終內化—合作分類，優化數學學習氛圍

以羅杰斯等為代表的人本主義心理學及教育學家首次提出合作教育思想，改變了教育思想僵化的格局。分類思想在一定程度上可以成為學生的一種思維習慣，其作用不僅局限于解決特定的問題，還能夠讓學生自覺運用分類思想建構知識體系，從而解決不同類型的問題。初中數學教師應當注重優化學習氛圍，指導學生進行合作分類，營造有利于學生分類思考的學習氛圍，促進教學質量提升。

比如，在講解新人教版初中數學“用列舉法求概率”一課的過程中，教師先圍繞“足球拋硬幣開球”案例分析同時擲兩枚質地均勻的硬幣會出現的結果，激發學生分類思考的興趣。接著，教師再介紹邏輯樹圖的繪制方法，運用分類思維訓練工具指導學生合作分析“硬幣正面向上”與“硬幣反面向上”的概率，講解樹狀圖的畫法，讓學生初步理解概率知識。然后，教師可以讓學生繪制樹狀圖，運用表格整理相關的概率數據，提示學生在填寫表格的過程中注意數對的有序性，提高其分類討論意識，使其明白運用分類思想需要堅持有序性原則。在此基礎上，教師可以鼓勵學生展示合作研究成果，營造積極的課堂教學氛圍，讓學生理解運用樹狀圖和表格解釋“足球拋硬幣開球”的意義，明白硬幣“正面向上”與“反面向上”的概率都是，用拋硬幣的方式決定開球方比較公平。最后，教師可以為學生提供骰子、乒乓球，讓學生自主設計概率實驗，運用樹狀圖和表格分類討論“隨機擲骰子”“暗袋摸球”中的概率知識，使其掌握概率分析方法，懂得分類思考可以避免重復或漏記結果。

結語

在初中數學教學活動中融入分類思想，可以提高初中數學教學質量，提升學生的思維品質，使其能夠多角度、全方位地看待問題，利用高效的方法來解決問題，掌握學習數學的方法，由此提高教學實效。分類思想是一種重要的數學思想，應用分類思想解決問題時，需要堅持不重不漏、統一標準、逐級分類原則。初中數學教師要采取適宜的方法，在數學教學中融入分類思想，不斷提升學生思維的縝密性、條理性，助力其學習進步、創新發展。

【參考文獻】

［1］路詠禎.關于分類討論思想在初中數學教學中的應用［J］.科學咨詢（教育科研），2020（7）：223.

［2］馬萬山.思維導圖在初中數學課堂教學中的研究［J］.教育觀察，2019，8（42）：54-55.

［3］韓武紅.學生數學思維的簡化、質化與活化途徑探討［J］.教育理論與實踐，2020，40（17）：57-59.

［4］姬梁飛.分類討論思想方法在數學解題中的應用［J］.教學與管理，2018（28）：40-42.