高等數學教學的思考及探索

郭曉珍

［摘? ? ? ? ? ?要］? 高等數學是本科院校的一門公共基礎課，在理工、經管等專業占有舉足輕重的地位，成為學生專業課學習、未來工作及后續進行科學研究的重要基礎。山西能源學院是山西省應用型本科試點院校，在人才培養模式上對“學教做合一”有較高要求。因此，教師在高等數學教學中需要不斷反思和探索，使學生在高等數學知識扎實的基礎上，對各專業課程有深入的理解和研究，真正做到學以致用。高等數學在教學中依然有需要改進的方面，以山西能源學院為例，從線上教學、教學的完整度、知識的銜接性和應用等方面探索改進教學的方法，讓學更有趣、更深刻、更有用，讓教更有意義。

［關? ? 鍵? ?詞］? 線上教學；教學完整性；知識延伸和應用；師生關系

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號］? 2096-0603（2023）16-0０45-04

當前，互聯網快速發展，其對數據的快速處理是建立在數學理論基礎上的。在動力學分析、圖像處理及數字信號處理等方向，數學理論都起到了決定性作用。因此，培養學生良好的數學理論基礎對學生的發展起著重要的作用，高等學校培養能夠適應社會的應用型人才，數學教學尤為重要。山西能源學院作為全國地方高校“產教融合”建設試點院校，要實現“產教融合”，就要提高人才培養質量和科學研究水平，而高等數學作為學校的基礎課程，改進其教學能夠為人才培養質量和研究水平的提升起到重要的作用。

一、高等數學教學現狀

高等數學作為學校的一門基礎課程，在整個學科體系中具有基礎性和工具性的作用，許多專業課程知識及結論需要用高等數學來解決。如大學物理的學習離不開高等數學的基礎，材料力學計算各種變力大都需要學生有積分基礎，電工電子技術中電路中存在電容或電感時，計算交變電流和電壓需要用微分方程的知識等，因此完善高等數學教學對理工科學生影響重大。但目前的高等數學教學并不完善，許多方面值得反思和探索。在教學過程中總結出幾個需要改進的方面。

高等數學教學的反思：（1）線上教學的效果有待提升。（2）教學的完整性需要改善。（3）與其他課程的銜接需更加緊密。（4）知識的延伸和應用欠缺。基于以上反思，提出幾個探索方向。

二、高等數學教學的探索

（一）線上教學的效果需提升

近年來線上教學快速發展，突破了時空限制，讓知識獲取更便捷，同時使大眾均衡地享受優質教育資源，成為未來學習的一種趨勢。線上教學應用在高等數學教學中將大大促進數學教學的發展。盡管線上教學優點很明顯，但線上教學仍存在一些不足。如學生雖進入課堂，但互動時無人應答；師生視覺易疲勞、交流不便、教學平臺功能不完善；網絡擁堵；教學效率低等問題存在。基于以上種種原因造成線上教學效果與滿意度不夠理想[1]。

提升線上教學效果可以嘗試從以下幾方面出發。（1）換位教學。教師作為課堂的引導者，但“主播”改為學生[2]，教師要適當糾正和引導，讓課堂順利進行的同時保證學生的參與。當然，要選擇合適的知識點讓學生來講解，內容選擇上要有所甄別。（2）線上互動作為平時成績的一個考評機制，由話題討論的積極參與度、問題回復的準確度等方面結合測驗結果進行綜合考量。（3）做好線上教學設計。在開展線上教學的過程中，教師應以學生自主學習能力培養為核心目標，圍繞學生自主學習開展教學設計。（4）課件設計更靈動，改變傳統的數學課件設計方式，增加富有實際意義的案例，激起學生的興趣。線上教學過程中可以逐步探索，以求教學效果更理想。（5）教師也要進行網絡知識的學習，提高對網絡教學的應變能力。積極參加學校組織的培訓活動，并進行相應的實際操作。

（二）教學的完整性需改善

高等數學教學過程中，很多內容比較抽象，還有些內容高中時學生沒有選修，大學課本又沒有相關知識點，導致學生知識斷層，不易吸收和理解，且記憶性的知識增多，做題方法單一，從而學習興趣減弱。總之，高等數學教學在課程引入、推導證明、教學銜接等方面有待提升。

1.改善課程引入

課程引入對一節課的教學效果有著極大的影響，好的引入能增強學生的學習興趣和對內容的持續關注度，并對所學內容印象更深刻。在新工科、新文科培養目標要求下，以及網絡課堂的影響下，高等數學的課程引入必須做相應的改善。高等數學作為一門理論性較強、知識點較多的課程，課程引入應從學生容易接受、知識銜接流暢的角度去改善。以拉格朗日中值定理的講授為例，改善課程引入。

若直接給出定理和結論并進行證明，那么會很枯燥，學生容易轉移注意力，而且對知識點所體現的數學思想理解不深刻。如果以實際問題的方式引入：假如在某一時段，駕駛員駕車行駛的平均速度超過了該路段的限速，那么該駕駛員被開罰單是否合理？實際生活中我們理所應當地認為這是合理的，因此可以繼續發問：某一時段平均速度超過限速，能說明某一時刻超速嗎？進而將這個問題轉換為一個數學問題就是：區間上的函數平均變化率和某點處的瞬時變化率能相等嗎？通過問題的層層遞進，將數學問題展現出來的同時潛移默化地講解了拉格朗日中值定理的數學意義，在數學問題提出之后還可以在此處教學生透過現象看本質的學習方法。

在拉格朗日中值定理證明時也可通過曲線旋轉引入。通過復習羅爾中值定理以及幾何意義得到圖1，拋出問題：將圖1中曲線和直線旋轉45°之后（圖2），切線和曲線端點連線有什么關系呢？顯然學生能得到它們的關系是依然平行，根據平行則斜率相等，就得到了拉格朗日中值定理的結論，接下來根據圖形特點進行理論證明。這樣引入一方面使課程銜接自然，另一方面引發學生的思考并產生學習興趣。

根據對這一問題的思考，那么又會得到怎樣的一般性結論呢？很自然地引出柯西中值定理。

2.適當的推導證明

數學本就是兼具邏輯性和嚴謹性的一門學科，教師傳授給學生的除了知識、能力，更是思維的培養。在高校的高等數學教學中，由于非數學專業生的原因，經常課時被壓縮得很少，導致部分知識只有結論，忽略證明過程，數學技巧學生會用但來源卻不知，只是記住了結論，不會推導，同時一些定理的證明也只是拘于課本，這不利于學生嚴謹性思維的培養，也不利于發散性思維的培養。因此，在教學過程中，適當的推導證明和補充證明必不可少。

3.教學銜接更流暢

高中數學與高等數學存在一定的銜接問題。首先，高等數學中需要用到的極坐標及平面曲線的極坐標方程、反三角函數、坐標變換等基礎知識，在高中數學中部分學生并未進行選修學習，這是需要進行銜接教育的，否則學生難以進行高等數學的學習。

其次，考慮高等數學與其他大學課程的銜接性。如大學物理同樣是一門重要的基礎課程，但其中涉及向量積、積分、高斯定理等知識，因此，其課程安排應該在高等數學學習之后，或者是高等數學課程章節安排上進行相應的調整，高等數學下冊可先進行“空間解析幾何”這一章的講解，其涉及向量、向量積的知識，從而做到與大學物理上冊相銜接。同時，在高等數學學習多元隱函數求偏導和向量積時用到行列式的知識，在學微分方程時用到線性相關和線性無關的知識，這就需要學生具有線性代數的知識，因此，在學習高等數學知識之前，學生需要具備相關的線性代數知識。

在教學上的銜接需要教師在備課中多鉆研，用恰當的方法對學生進行銜接教育。在課程上的銜接則需要結合各專業實際情況，進行適時的聯合備課，因材施教在教學效果上才能有所突破。

（三）重視知識的延伸與應用

高等數學作為一門基礎課，其基本知識點教師都能掌握，但在應用型本科背景下，對學生知識要求更全面，不僅需要學生掌握知識點，更要掌握其應用。要達到這樣的目標，一方面教師自身知識水平要高，另一方面學生需要會“學”和“用”。

1.數學軟件的應用要強化

高等數學雖是各學科基礎，可以應用到學科知識中，但這些知識要想產學研用最終還是要通過軟件來實現。而高等數學教學中，很多知識點的講解可以通過數學軟件來模擬，從而達到強化數學軟件學習的作用。例如常用的數學軟件MATLAB，它具有強大的繪圖功能，方便學生理解二元函數的極限不存在、偏導數、方向導數幾何意義等，借助MATLAB數學軟件還可用于算法開發、數據可視化、數據分析及數值計算[5]。而且很多課程隨著考研學生的增多，絕大多數的理工科學生將來要在研究生生涯中做課題或者項目，就需要實現模型，利用數學軟件去做。數學軟件還可以用于學生數學建模，這對學生技能的補充是有益的。數學編程軟件的使用可以將抽象的數據變得具體形象，同時為學生跟隨科技發展提供便利條件，因此，教學中數學軟件使用的補充是必要的。

2.引導學生學習

學生從高中階段跨越到大學階段，數學學習剛開始是不適應的，不同于高中知識點的簡單易懂，高等數學的內容相對抽象。因此，要及時調整學生的學習方法，引導學生思考，將聽課的內容與思考內容相結合，在其基礎上去鞏固和練習。

3.教師需要不斷學習

教師進行知識的補充和延伸，一方面可以改進教學，與時俱進，另一方面對學生進行自主探索和科學研究是有益的。在學生基礎知識掌握的情況下，教師可以進行適當的知識延伸。如在用等價無窮小替換求極限時，可以給學生補充在商的極限中，當分子分母為和、差項時，替換的條件[6]；在學習二次曲面時，曲面方程較多易混，可以通過幾種曲面的漸變[7]，讓學生對二次曲面加深理解，產生聯系，如方程+k1=k2，設k1、k2初始值都為1，則為橢球面，當k1由1變為-1時，橢球面變為單葉雙曲面，此時再將k2由1變為-1，單葉雙曲面變為雙葉雙曲面，由一個方程中系數的變化建立了橢球面、單葉雙曲面、雙葉雙曲面的聯系。這個過程學生既能感受其中的聯系引發深入思考，又加深了對曲面方程的記憶。

4.各專業學科上的應用更深入

高等數學教學中雖有簡單的知識點實際應用舉例，但缺少與各專業課相結合的例子，使學生不能很好地理解知識點的應用。針對知識應用的欠缺，可以從以下兩方面改進：（1）與學生對應的專業課教師進行聯合教研，相互探討，使教學目的更明確，針對不同專業學生可以進行不同的應用舉例。（2）從數學建模的實例中讓學生看到知識的應用，不僅加深對知識的理解，還讓學生對數學軟件產生興趣，在今后的建模競賽中得心應手。

（四）改善師生關系

不同于初高中階段學生每天都有數學課，與教師的聯系相對緊密，在大學階段，數學課程一周兩到三次，因此學生對教師有疏離感，但教學是不能脫離學生而獨立存在的，因此學生對課堂要有歸屬感，對教師的教學方法要有認同感，才能使教學效果更好。

大學校園師生關系的建立又與初高中階段師生關系不同，大學階段學生已經成年，師生關系應建立在平等對話的基礎上[8]，用親近、關愛、啟迪、欣賞和交談的方法構建良好的師生關系。

1.增加師生交流互動

增加師生交流互動一方面可以讓教師對學生的學情有所掌握，另一方面減弱學生對教師的疏離感。從對學生課前的親近、課中的交流、課后的指導過程中，讓學生對課堂有歸屬感，重視課程的學習。

適當的課前活動，調動課堂氛圍，例如探討當下熱門的問題；授課過程中，適當的停頓、提問和交流；課后，教師可以通過網絡建立班級，方便師生隨時聯系，及時溝通，學習問題能及時解決。

2.欣賞和建議

“弟子不必不如師”，教師要有廣闊的胸襟[9]，真誠欣賞學生在學習上的突破，給予鼓勵，樹立學生的自信心。同時，教師作為一個指導者，應該發揮引路人的作用，對學生的理解偏差和錯誤及時提出建議和糾正，以達到學生對教學方法的認同，對知識的渴求。

良好的師生關系對課堂影響較大，因此教師應積極改善師生關系，提高學生對課程的認可度和學習效率。

通過對日常教學的反思與不斷完善，提出以上四個方面的教學設想和探索。高等數學作為一門基礎性課程，雖然在內容編排以及教學上已經比較完善，但也需要不斷革新教學方式和方法，才能為應用型人才的培養奠定基礎[10]。

參考文獻：

［1］劉燚，張輝蓉.高校線上教學調查研究［J］.重慶高教研究，2020，8（5）：66-78.

［2］宋楊.疫情期間線上教學模式與線上教學效果提升研究［J］.赤峰學院學報（漢文哲學社會科學版），2021，42（5）：105-108.

［3］翟麗麗，羅寧，白梅花，等.du=ln|u|+C中絕對值符號在微分方程求解中的處理方法［J］.科學技術創新，2018（21）：41-42.

［4］同濟大學數學系.高等數學［M］.北京：高等教育出版社，2014.

［5］衛軍超，丁嘉昕，常在斌.MATLAB軟件與高等數學課程深度融合［J］.科技與創新，2019（7）：5-7.

［6］冉金花.用等價無窮小替換求極限使用條件的探討［J］.科技資訊，2019，17（27）：222-223.

［7］宋偉杰，高鵬翔，劉哲.利用漸變技術溝通典型二次曲面之間的聯系［J］.高等數學研究，2021，24（4）：69-71.

［8］宋德發，荊瑩瑩.“師生關系十分融洽”：西南聯大導生融洽相處的表現、實質和現實意義［J］.學位與研究生教育，2022（3）：63-68.

［9］任羽中.“從游”與“同游”：大學里追求的師生關系［N］.中國社會科學報，2021-10-22（008）.

［10］于立新，郭宜明.應用型大學建設背景下的數學專業基礎課程教改探索：以數學分析課程為例［J］.大學教育，2021（8）：82-84.

◎編輯 魯翠紅