用數(shù)學(xué)的歷史 講數(shù)學(xué)的道理

浙江余姚市江南新城小學(xué)（315400） 顧 遨

小學(xué)生擁有旺盛的好奇心，喜歡刨根問(wèn)底。對(duì)于一些問(wèn)題，教師需要借助與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史才能把道理說(shuō)清。同時(shí)，教師借助數(shù)學(xué)史還可以把數(shù)學(xué)道理講得深入淺出、生動(dòng)易懂，幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)的難度，促進(jìn)學(xué)生理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

一、知典明理——說(shuō)清歷史典故

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的“為什么”。例如，對(duì)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，教材就編排了如圖1所示的內(nèi)容。

圖1

教學(xué)了該內(nèi)容后，教師還可以出示史料：在我國(guó)，分?jǐn)?shù)概念產(chǎn)生于商代，西周時(shí)出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的專用量名。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，銅器銘文上出現(xiàn)了“半斗”“四分”等符號(hào)。而分?jǐn)?shù)的記法在晚周青銅器銘文中的形式為“母”數(shù)，次“分”字，次“子”數(shù)，這已經(jīng)與現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)記敘法相近了。公元前五世紀(jì)《孫子兵法》中的“則三分之二至”（《謀攻篇》）和“殺士三分之一而城不拔”（《軍爭(zhēng)篇》）等，非常接近現(xiàn)在的“幾分之幾”的記敘形式。

在探索歷史的過(guò)程中，學(xué)生不但明白了分子、分母名稱的由來(lái)，以及分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生的，而且開闊了視野，對(duì)分?jǐn)?shù)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

二、溯史尋理——道明來(lái)因去果

概念與定義的教學(xué)是數(shù)學(xué)課程中的重要一環(huán)。一種觀念是怎樣形成的？一個(gè)定義是怎樣得出的？教材對(duì)于某些觀念和定義的講解只是給出一個(gè)結(jié)果。然而，數(shù)學(xué)史中蘊(yùn)涵著豐富的內(nèi)容，對(duì)這些知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行梳理可以把道理講得更加清晰。

例如，教學(xué)“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”時(shí)，有學(xué)生提問(wèn)：“為什么質(zhì)數(shù)基本上是奇數(shù)，偶數(shù)基本上是合數(shù)，只有2既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)呢？”其他學(xué)生各抒己見。

有學(xué)生說(shuō)：“這個(gè)是古代數(shù)學(xué)家們定好的，我們只要記住就行！”

也有學(xué)生說(shuō)：“這只是湊巧而已，不需要去理解它。”

還有學(xué)生說(shuō)：“因?yàn)? 是最小的偶數(shù)，因數(shù)只有1 和它本身，而其他偶數(shù)除了1 和它本身還有其他因數(shù)，所以只有2這個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)。”

這是一個(gè)向?qū)W生展示數(shù)學(xué)史的絕佳機(jī)會(huì)。教師可以引入質(zhì)數(shù)和合數(shù)的由來(lái)：“在古希臘時(shí)期，開始只有整數(shù)，而整數(shù)都可以用點(diǎn)來(lái)計(jì)數(shù)，點(diǎn)又可以擺成各種圖案，聰明的古希臘數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)用整數(shù)點(diǎn)可以擺成直線和方形（如圖2）。也就是說(shuō)，數(shù)字1不能擺成直線和方形，它只是一個(gè)點(diǎn)，所以1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；像2，3，5，7 這樣的數(shù)，只能擺成一條直線，叫作質(zhì)數(shù)；其他數(shù)，如6、21 等，既可擺成直線，又可擺成方形（正方形和長(zhǎng)方形），叫作合數(shù)。

圖2

學(xué)生聽后紛紛表示：“原來(lái)是這樣，這太有趣了！”“我們對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)又有了進(jìn)一步的理解。”

三、研史得理——論述方法技巧

教材中公式的推導(dǎo)方法和定理的證明方法，真的只有一種嗎？翻開歷史畫卷，可以看到精彩紛呈的思想方法。對(duì)教師而言，這些思想方法既是教學(xué)內(nèi)容，也是講解道理的輔證材料。孤證不立，多種方法指向同一個(gè)結(jié)果，才能讓人更加信服。比如圓的面積公式的推導(dǎo)需要學(xué)生理解極限思想，而讓學(xué)生理解這背后的道理極為不易。僅僅依靠教材中的講解是不夠的，教師可以結(jié)合歷史上的各種方法（見表1），讓學(xué)生在豐富多樣的方法里體會(huì)“化圓為方”的道理。

正確數(shù)學(xué)認(rèn)知的形成，需要不斷的積累，學(xué)生需要不斷在應(yīng)用中理解道理，從而將極限思想滲透進(jìn)頭腦中。

四、觀史悟理——闡釋思想脈絡(luò)

中醫(yī)有云：“通則不痛，痛則不通。”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是這個(gè)道理，只有梳理好知識(shí)發(fā)生的脈絡(luò)，才能把道理講通。美國(guó)數(shù)學(xué)家M.克萊因也指出，數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南，學(xué)生遇到的學(xué)習(xí)障礙，也是歷史上數(shù)學(xué)家遇到的困難。當(dāng)數(shù)學(xué)歷史的脈絡(luò)與教材上的數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)同頻時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)道理的理解才會(huì)水到渠成。

例如，學(xué)生在五年級(jí)學(xué)習(xí)“正方體和長(zhǎng)方體”后，要到六年級(jí)才學(xué)習(xí)“圓柱的體積”。這一時(shí)間跨度比較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)圓柱體積的過(guò)程中可能會(huì)遇到一些學(xué)習(xí)障礙：“為什么可以用底面積乘以高來(lái)計(jì)算圓柱體積呢？”其實(shí)從歷史的脈絡(luò)來(lái)看，教學(xué)缺少了對(duì)一類直柱體體積的探索。因此，在這個(gè)過(guò)程中，教師可以安排一組練習(xí)，以彌合這兩個(gè)知識(shí)之間的斷層。

筆者先引導(dǎo)學(xué)生回顧推導(dǎo)三角形面積公式的過(guò)程，也就是割補(bǔ)法（如圖3），再讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家劉徽對(duì)于“塹堵”的探索后親身探究直三棱柱的體積計(jì)算方法。

圖3

劉徽之術(shù)，因以出入相補(bǔ)。出入相補(bǔ)者，割而補(bǔ)之，以為眾所周知之形，而廣大不易也。劉徽之術(shù)，因以立體（將“出入相補(bǔ)”原理推廣到立體圖形，如長(zhǎng)方體），斜分兩柱（斜分成兩個(gè)直三棱柱），為直角三隅，古謂之“塹堵”。

（1）請(qǐng)你用所學(xué)知識(shí)，嘗試推導(dǎo)直三棱柱（塹堵）的體積計(jì)算方法。

（2）如圖4-1 所示，把長(zhǎng)方體容器平放于桌面，在容器中裝滿水，然后如圖4-2 所示那樣斜放，水流出1350 mL，這時(shí)AB的長(zhǎng)度是多少？

圖4-1

圖4-2

其實(shí)，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，直柱體體積公式的推導(dǎo)并不是特別困難。在掌握長(zhǎng)方體體積計(jì)算方法后，只要教師一點(diǎn)撥，大部分學(xué)生都能夠推導(dǎo)出直柱體的體積公式，這也為后面學(xué)習(xí)圓柱的體積埋下了伏筆。

這樣，數(shù)學(xué)史自然地融入教學(xué)內(nèi)容中，達(dá)到有機(jī)融合、潤(rùn)物無(wú)聲的效果。

五、學(xué)史拓理——趣讀數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)繪本、數(shù)學(xué)家的傳記、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等數(shù)學(xué)課外讀物是數(shù)學(xué)史的優(yōu)質(zhì)載體。通過(guò)閱讀，學(xué)生能感悟數(shù)學(xué)的真諦，體驗(yàn)有歷史的數(shù)學(xué)，感受有文化的數(shù)學(xué)，進(jìn)而形成理性精神。

如教學(xué)“三角形”后，教師可以讓學(xué)生閱讀帕斯卡三角（楊輝三角）的相關(guān)材料，還可以讓學(xué)生閱讀下面的材料：

很久以前，一種動(dòng)物常常吊掛在呈三角狀的樹杈上，引發(fā)了人們的思考：這種動(dòng)物為何不選擇其他形狀的樹杈，而是選擇三角形的呢？經(jīng)過(guò)重重檢驗(yàn)，人們終于發(fā)現(xiàn)：三角形比菱形、方形等形狀的物體穩(wěn)定性更強(qiáng)。后來(lái)，一位數(shù)學(xué)家路過(guò)這里，聽了這個(gè)探索過(guò)程，就將其記入隨身攜帶的筆記本中。于是，三角形具有穩(wěn)定性的性質(zhì)便在世界范圍內(nèi)傳播開來(lái)。

這樣的閱讀能潤(rùn)澤學(xué)生的認(rèn)知體系，讓學(xué)生不但能完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且能感悟數(shù)學(xué)中的道理。

數(shù)學(xué)是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要“知其然，更要知其所以然”，除了了解露出海面的冰山（數(shù)學(xué)知識(shí)），還要了解冰山下巨大的根基（數(shù)學(xué)史）。