如何在“方程”教學(xué)中驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

鄭蓓 王艷君

［摘 要］在“方程”教學(xué)中，通過運(yùn)算、測量、統(tǒng)計(jì)、推理、模型、運(yùn)用等學(xué)習(xí)方式和操作活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法和技能經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生能用這些思想方法和技能經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行更有廣度、更有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］方程；深度學(xué)習(xí)；數(shù)與代數(shù)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）17-0067-03

教學(xué)中經(jīng)常會(huì)看到學(xué)生能夠通過模仿解決同類問題，但他們在面對變式題時(shí)卻束手無策。這種現(xiàn)象說明了：知道事實(shí)不等于理解，會(huì)背概念不等于理解，會(huì)做題不等于理解。基于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的特征，以及高學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，筆者結(jié)合“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中富有挑戰(zhàn)和探究意義的“方程”內(nèi)容，探尋驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)策略。

一、整體把握，融通知識(shí)，建立知識(shí)體系框架

梳理不同學(xué)段“方程”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)（見表1）后發(fā)現(xiàn)，若能將這些知識(shí)有效梳理與合理整合，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，就能使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)整體化，學(xué)生不僅得到知識(shí)鏈，還能提升數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)新能力、綜合運(yùn)用能力。

只有厘清不同學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)，從整體上把握知識(shí)間的邏輯關(guān)系，才能在教學(xué)中找準(zhǔn)前后知識(shí)的連接點(diǎn)，明確知識(shí)的表現(xiàn)形式有何區(qū)別，明確哪些知識(shí)是互通的，又是怎樣關(guān)聯(lián)的，才能為學(xué)生的深度學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。因此，教師要從整體上把握并整合教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建完整的知識(shí)體系框架，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)、再感悟、再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)探究過程，進(jìn)而將相關(guān)知識(shí)“串成線，鋪成面，形成體”。

二、操作體驗(yàn)，內(nèi)化數(shù)感，助力抽象概括

“方程”內(nèi)容本身比較抽象，學(xué)生缺乏相關(guān)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)該內(nèi)容時(shí)，教師需注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，創(chuàng)設(shè)能促進(jìn)學(xué)生觀點(diǎn)分享、激發(fā)學(xué)生思考的情境，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

[教學(xué)片段] 認(rèn)識(shí)方程

1.加法的方程

師（出示天平圖： 180克蘋果+120克的香蕉=300克；圖略）：請說出圖中的等量關(guān)系。

師：取下180克的蘋果，天平變成什么樣？用式子表示這個(gè)現(xiàn)象。

師：現(xiàn)在將一個(gè)未知重量的蘋果放入盤中，天平可能會(huì)出現(xiàn)什么情況？

生1：x+120=300。

生2：x+120<300。

生3：x+120>300。

2.乘法的方程

師（出示天平圖；圖略）：放入2個(gè)重量相等但未知重量的蘋果，天平平衡。

師：看圖說等量關(guān)系，并用式子表示。

生4：2×1個(gè)蘋果的質(zhì)量=300（克），2x=300。

3.乘加混合

師（出示天平圖；圖略）：（）+40=100。放入3個(gè)重量相等，但未知重量的核桃，天平會(huì)出現(xiàn)幾種情況？請用式子記錄。

生5：3x+40=100。

生6：3x+40<100。

生7：3x+40>100。

……

【教學(xué)思考】通過創(chuàng)設(shè)學(xué)生感興趣的現(xiàn)實(shí)情境——調(diào)天平、寫式子，從已知到未知，引導(dǎo)學(xué)生猜想所有結(jié)果，并經(jīng)歷看一看、擺一擺、說一說、寫一寫等活動(dòng)過程，使學(xué)生借助加法、乘法、乘加混合三個(gè)層次的等量關(guān)系，明確等式與不等式的區(qū)別，初步感知方程。學(xué)生最終能夠獲得操作經(jīng)驗(yàn)和感性認(rèn)識(shí)，達(dá)到了深度學(xué)習(xí)的基本要求。

三、剖析探究，數(shù)形結(jié)合，發(fā)展形象思維

學(xué)習(xí)是一個(gè)漸進(jìn)的過程，教師要遵循學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展過程。教師設(shè)計(jì)的每一個(gè)探究環(huán)節(jié)都要起到引領(lǐng)的作用，特別是在“式與方程”此類抽象知識(shí)的教學(xué)上，探究體驗(yàn)的必要性顯得更為重要，因?yàn)樗芤龑?dǎo)學(xué)生根據(jù)信息從數(shù)學(xué)角度提出合理的問題和得出有價(jià)值的結(jié)論。

[教學(xué)片段]認(rèn)識(shí)方程

1.第一次分類：等式、不等式

師：黑板上貼滿了在研究天平環(huán)節(jié)記錄的許多相等或不相等的式子，嘗試自主分類。分類標(biāo)準(zhǔn)為一類相等，另一類不相等。

2.第二次分類：含有未知數(shù)、沒有未知數(shù)

師：這些等式都是以前我們學(xué)習(xí)中常見的嗎？請?jiān)俜诸悾从袩o未知數(shù)來分。

3.總結(jié)概念，得出結(jié)論

師：什么是方程？請小組討論。

師：動(dòng)手試一試，尋找方程與等式之間的關(guān)系。你可以試著將所有等式和方程分別圈起來。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？（明確：方程與等式之間的關(guān)系與區(qū)別）

師：判斷這些式子是不是方程。a-20，2x=16，5M+32=47，5x＞10，6x÷9=4。

……

【教學(xué)思考】方程的概念，以及方程與等式的關(guān)系對學(xué)生來說是非常抽象的知識(shí)點(diǎn)。課堂上師生之間的交流與對話，學(xué)生上臺(tái)自己將等式和不等式分類擺放后圈出方程式，都是用“表象”來幫助學(xué)生深度學(xué)習(xí)。兩次分類活動(dòng)沒有刻意的安排，沒有 “陷阱”，顯得真實(shí)而自然，但細(xì)細(xì)琢磨，是通過層層推進(jìn)的探究過程推動(dòng)學(xué)生一步一步走向知識(shí)的深處。學(xué)生在這樣的探究過程中，能夠發(fā)展形象思維能力。

四、深度表達(dá)，激發(fā)思考，形成應(yīng)用意識(shí)

課堂上所有互動(dòng)的目的都是為了促進(jìn)學(xué)生的思考與表達(dá)。經(jīng)歷“數(shù)量關(guān)系引領(lǐng)—發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)量關(guān)系—分析數(shù)量關(guān)系”的過程，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量關(guān)系有準(zhǔn)確性的評判。學(xué)生在相互交流的過程中，可以不斷修正、完善自己的認(rèn)知策略和思考方法，從多角度重新審視和思考自己的認(rèn)知結(jié)果。

數(shù)學(xué)知識(shí)總是密切關(guān)聯(lián)的，教師要以知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系設(shè)計(jì)有梯度和深度的問題串，以問題串為切入口，促使學(xué)生由此及彼，將未知轉(zhuǎn)為已知，全方位理解知識(shí)的內(nèi)涵；教會(huì)學(xué)生觀察分析、抽象概括、歸納演繹，以幫助學(xué)生在解決問題時(shí)能更清晰地將學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化成自身能力，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言表達(dá)出來。

[教學(xué)片段]用方程解決問題

師：（1）楊樹有30棵，楊樹棵數(shù)比柳樹2倍少10棵，柳樹有多少棵？（2）柳樹有20棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹2倍少10棵，楊樹有多少棵？

生1：我是用列算式的方法解這兩道題。

生2：兩道題都用列方程法解決。

生3：第（1）題用列方程的方法，第（2）題用列算式的方法。

師：你比較贊同誰的想法？請和同桌說說你的理由。

……

【教學(xué)思考】教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，主動(dòng)選擇用方程解決問題的學(xué)生是極少數(shù)。原因有二：一是學(xué)生不能非常順暢地運(yùn)用新知識(shí)，原有的算術(shù)思維根深蒂固，代數(shù)思維又還未與自身的思考方式融合，學(xué)生需要一定的內(nèi)化時(shí)間；二是學(xué)生目前遇到的問題比較簡單，用算術(shù)方法做起來也沒什么難度，所以學(xué)生體驗(yàn)不到方程的優(yōu)勢。本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生對比分析不同的方法，通過“你比較贊同誰的想法？說說你的理由”引導(dǎo)學(xué)生對不同方法進(jìn)行辨析，讓學(xué)生中在對比中體會(huì)到方程的優(yōu)勢，幫助學(xué)生由“算術(shù)思維”向“代數(shù)思維”的轉(zhuǎn)變。這樣，從自己不理解、不確定的地方找原因，從新舊知識(shí)的聯(lián)系、比較上找方法，從數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程上提升思維。學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力必然會(huì)逐步增強(qiáng)，問題意識(shí)、創(chuàng)新能力、邏輯思維能力也得到發(fā)展。

五、構(gòu)建模型，策略遷移，優(yōu)化思維方法

在不斷經(jīng)歷知識(shí)的“再創(chuàng)造、再升華”的過程中，學(xué)生慢慢學(xué)會(huì)用自己的方式理解方程知識(shí)，在整理與反思中構(gòu)建知識(shí)體系，面對“用方程解決問題”時(shí)（不論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)還是百分?jǐn)?shù)），都能準(zhǔn)確運(yùn)用合適的策略解決問題。因此，教師要讓運(yùn)用合適的策略解決問題成為學(xué)生的思考方式，并讓這樣的思維方式常態(tài)化。比如，可利用單元整體知識(shí)，讓學(xué)生的思維走向自主建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化；引導(dǎo)學(xué)生在思維碰撞中逐漸獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將其融入自己的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生接觸的零散的、粗糙的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)得以條理化。長此以往，學(xué)生才會(huì)自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去思考問題、分析問題、解決問題。

[教學(xué)片段]用方程解決問題的變式練習(xí)

師：你是根據(jù)什么列出第（1）題的方程的？

生1：根據(jù)“楊樹的棵數(shù)比柳樹的2倍少10棵”列出方程。

師（出示變式練習(xí)，略）：對這兩道題的解法，你有什么想說的嗎？

師：長方形的周長是60厘米，其中長是寬的2倍，長和寬各多少厘米？

師：你會(huì)根據(jù)什么列出方程的？

生2：利用周長公式列方程。

師（出示變式練習(xí)，略）：對這兩道題的解法，有什么想說的嗎？

……

【教學(xué)思考】學(xué)生知識(shí)的獲得過程是一個(gè)再創(chuàng)造的過程。學(xué)生根據(jù)題意表達(dá)出來的各種數(shù)量關(guān)系將解題的策略分為兩大類：抓關(guān)系句、利用公式。借此結(jié)論，學(xué)生遇到類似問題時(shí)，就能很快選擇合適的策略來分析與思考，然后用符號(hào)將相關(guān)聯(lián)的事件聯(lián)系起來，列出方程，解決問題。學(xué)生在這個(gè)過程中提高了解題能力，使思維結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

由此可見，深度學(xué)習(xí)不是掌握簡單的解題能力，也不是學(xué)習(xí)具體的某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)技能，它是一個(gè)累積深化、應(yīng)用創(chuàng)造的過程，是數(shù)學(xué)方法、思想、經(jīng)驗(yàn)等方面的綜合學(xué)習(xí)。隨著學(xué)生認(rèn)知水平和自身能力的不斷發(fā)展，不同學(xué)段的深度學(xué)習(xí)也是不一樣的。在中高學(xué)段，可借助抽象、推理、模型的數(shù)學(xué)思想來豐盈，那么能體現(xiàn)這些數(shù)學(xué)思想的“式與方程”板塊的知識(shí)就成了這個(gè)階段學(xué)生需掌握的核心知識(shí)。

總之，以上幾點(diǎn)策略，旨在突出學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)探究過程成為有效、主動(dòng)的建構(gòu)過程，提高學(xué)生多角度、多方位尋求分析問題和解決問題的能力，通過準(zhǔn)確表達(dá)自己的觀點(diǎn)，形成創(chuàng)新意識(shí)。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)獲取技能與方法，以及思維能力和創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)生最終掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)才是鮮活的、可遷移的，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才是有價(jià)值的，這樣才能實(shí)現(xiàn)真正的深度學(xué)習(xí)。

（責(zé)編 金 鈴）