一道2021年全國適應性考試題的多角度探究

鐘國城

(廣東省梅縣東山中學,廣東 梅州 514017)

題目已知拋物線y2=2px上三點A(2,2),B,C,若直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析此題以直線與圓、拋物線的位置關系為背景,重點考查處理解析幾何問題的思想——“設而不求”,以及學生的計算能力[1].對于此題,可以從三個視角入手求解,一是引入切線方程,利用切線與圓、拋物線的位置關系,求出點B,C的坐標,從而求得直線BC的方程;二是引入點B,C的坐標,尋找坐標之間的關系,最終求出直線BC的方程;三是引入直線BC的方程,根據題設條件求得斜率與截距,故而得到直線BC的方程.本文基于以上三個視角給出七種解法,并得到兩個推廣,以期對大家有所幫助.

1 解法探究

視角1引入切線AB,AC的方程.

解法1由題可知,拋物線的方程為y2=2x,且過點A的切線斜率存在.

設過點A的切線方程為y-2=k(x-2),

即kx-y+2-2k=0.

所以不妨設切線AB,AC的方程分別為

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0,故選B.

注視角1為解決解析幾何問題的常規做法[2],此法運算量較大,尤其考驗學生的計算能力.

視角2引入點B,C的坐標.

即2x-(y1+2)+2y1=0.

因為直線AB與圓(x-2)2+y2=1相切,

即3x1+6y1+4=0.

同理,3x2+6y2+4=0.

故點B,C在直線3x+6y+4=0上.

所以直線BC的方程為3x+6y+4=0.

故選B.

即2x-(y′+2)+2y′=0.

即3y′2+12y′+8=0.

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0.

故選B.

圖1 解法4示意圖

故∠DAM=∠EAM=30°.

則直線AB,AC的傾斜角為60°,120°.

所以直線BC的方程為

3x+6y+4=0.

故選B.

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0.

故選B.

所以直線BC的方程為

即3x+6y+4=0.

故選B.

注視角2抓住拋物線上的點的坐標,利用坐標和題設條件,轉化出坐標之間的等式關系,根據關系最終求得直線BC的方程,此法充分體現了解決解析幾何問題的思想——“設而不求”.

視角3 引入直線BC的方程.

設直線BC的方程為x=ty+m,

即3x+6y+4=0.

故選B.

注視角3根據拋物線的特點引入直線BC的方程,結合坐標之間的等式關系,求得直線BC方程中的參數值,從而求得直線BC的方程.

2 解法反思

波利亞說:“掌握數學就意味著善于解題.”在學習數學知識的過程中,不能僅止步于解決問題,應該學會從不同的角度去分析問題,尋找解決問題的不同方法,通過一題多解體會不同知識之間的聯系與轉化,提高解題能力.通過以上7種解法的探析,不僅可以鞏固學生所學知識, 又有效鍛煉了學生思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創新性,提升思維能力,最終達到提升學生數學核心素養的目的.