文化融匯：賦數學課堂以深度生長

☉李 倫

數學教育本質上是數學文化的教育。對于課程編撰者而言，數學課程需要梳理數學知識產生歷程的脈絡，合理取舍社會生活應用、數學史、科學技術、數學美學等數學文化內容。對于數學教育專家而言，數學教育需要彰顯數學文化價值，擴大受教育者的數學視野，弘揚人文精神，尋繹數學學術形態通達教育形態的文化向度。對于數學教師而言，數學教學需要根植文化沃土，用數學文化的視角審視現實世界，助推學生理解數學、應用數學，培育數學精神。

一、互鑒：以《大數的分級和分節》為例

蘇教版小學數學四（下）的《認識多位數》和人教版小學數學四（上）的《大數的認識》兩個章節對《數的分節和分級》相關數學文化知識都進行了介紹。

一般而論，數位的讀法因民族傳統文化不同而呈現差異樣態。基于漢語的漢藏語系數位基數為四，即“四位一級”。個、十、百、千（個級計數單位）；萬、十萬、百萬、千萬（萬級計數單位）；億、十億、百億、千億（億級計數單位）……由此可知，個、萬、億、兆相對應的數位為第1、5、9、13，差值為4。其讀法為幾兆幾億幾萬幾。而基于拉丁語的印歐語系數位基數為三，即“三位一節”。個、十、百（第一節計數單位）；千、十千、百千（第二節計數單位）；百萬、十百萬、百百萬（第三節計數單位）……其中個、千、百萬、十億所代表的數位分別為第1、4、7、10，差值為3。其讀法為幾十億幾百萬幾千幾。兩種規則下的讀法不同，用符號寫數則一致。可見，利用數位符號的數字系統留存了語言符號系統的合理內核。

蘇教版和人教版都將三位分級法編入教材，作為教學四位分級法的補充與參照。但是，以“千”“百萬”為基礎的國際單位，與中國以“萬”“億”為單位的固有文化傳統之間存在對應沖突。教師在教學長度單位（千米與米）、質量單位（千克與克）和容積單位（升與毫升）進率時，能否關聯國際通用的數的三位分節與以“千”為單位的進率進行反思［1］？為消弭學生思維困惑，能否探尋出一條讓我國傳統文化與國際規則接軌、互鑒的路徑，以實現數學文化更順暢的銜接和融合？

二、向度：由史學形態轉化為教育形態

基于教材中《大數的分級和分節》個案分析，可見傳統文化中的度量衡制與國際公制接軌有其現實的必要性，亟須剖析數學文化的本質內涵來觀照其表現形態。數學文化涵括學術形態數學文化、課程形態數學文化和學習形態數學文化三種。要發揮數學文化的育人價值，必須將數學家研究的學術形態轉化為數學教育專家編撰的課程形態和學生可以接納重組的學習形態［2］。

（一）學術形態數學文化

在數學發展進程中，數學家創建數學結構的原始記錄及歷史形態，稱為學術形態數學文化。其研究主體為數學家，凸顯真實性。數學內部發展形成的危機和社會生產實踐遭遇的難題往往是促進數學發展的源泉。學術形態數學文化就表現在數學家創設數學結構過程中對這些難題的具體破解和危機的逐步化解，以及從中映射出卓絕探索的精神品格。

學術形態數學文化還兼具嚴謹性與客觀性特征。數學的發展，是遵循一定范式，在原有基礎上進行嚴格推理產生的。遵循范式就能演繹出相同的結論，不會因人而異，因時而變。而推理必須邏輯自洽、無懈可擊。邏輯自洽展示數學客觀性的一面，這就是數學確定性特質。

（二）課程形態數學文化

按邏輯體系陳述于教材上的數學知識，抑或發表在數學雜志上的研究成果，稱為課程形態數學文化。其研究群體為課程專家，凸顯教育性。在課改進入深水區的當下，課程建設顯得格外重要。課程形態的數學文化需要重新定位課程目標價值指歸，聚焦數學核心素養培育，并依托數學課程來承載數學文化。

課程形態數學文化還兼具接受性與理解性特征。需基于學生的知識背景和年齡特點，恰當甄選教學內容，思忖呈現方式，直觀形象地推介數學的思想方法、問題與觀念等。例如蘇教版教材中精選的65 處“你知道嗎”，就易于學生理解和接納，能有效激發其好奇心與學習興趣。

（三）學習形態數學文化

基于師生理解學習的視角，在課堂及教室等特定教學時空內發生的數學文化傳遞活動，稱為學習形態數學文化。其研究樣本為師生，凸顯動態性。教師依托現實學情，通過深入解讀課程形態數學文化開展教學設計，課程內容的甄選靈活自主，內容的設計亦可融入智慧再創造。

學習形態數學文化還兼具開放性與情境性特征。教師需將課程形態數學文化轉化為適合課堂教學的學習形態數學文化。數學學習受典型數學問題與特定問題情境影響，而創設教學情境可以支撐學生理解數學問題。學生對相同問題及情境的判斷或建構迥異，源自知識背景和生活經驗的差異［3］。

數學文化的三種形態關系，其中學術形態數學文化是根基，為課程形態數學文化與學習形態數學文化提供支撐，能夠幫助學生“感受數學家治學的嚴謹”。課程形態數學文化是中間紐帶，聯結學術形態數學文化與學習形態數學文化的兩端，能夠“激發學生學習數學的興趣”。而學習形態數學文化則是終極目標，是學術形態數學文化和課程形態數學文化的實踐指南，能夠促進學生“欣賞數學的優美”，進而“幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用”。

三、變式：數學文化融入教學的螺旋之階

數學文化唯有滲透在課堂教學中，才能敞亮文化韻味，彰顯育人價值。我國傳統數學教育以“雙基”見長，而注重“變式”教學則是“雙基”教學的一個關鍵特征。《九章算術》流露出“問題解決”的現實主義數學文化特質，根據問題“以類合類”進行編排，強調不變元素（雙基）和變易元素（變式）的設計模型，滲透在文化上則可以追溯到《易經》。簡易、變易和不易，詮釋了“易”的三種不同質態或層級，蘊含變與不變的哲學思辨。

（一）簡易——一題多解，變中求不變

大道至簡，簡易蘊含問題本質。在日常數學教學中，教師需回歸原點設計最基本的數學問題，即數學原型問題，引導學生聯系條件與問題，概括數量關系，聚焦題目中隱含的“不變量”（單位量），最終找尋出解決問題的不同策略。

【教學片段】

（1）教學例2。

學生自學例題，思考問題。

提問：這道題的已知條件與所求問題分別是什么，你能嘗試通過列表表示出來嗎？

引導：同學們，誰說一說表中的數量排列存在怎樣規律？

明確：每2 小時水位下降12厘米，即每小時水位下降6 厘米。水位下降的速度保持不變。

（2）歸納數量關系。

要求：小組合作，聯系條件與問題分析題意，概括數量關系，并列出算式。

分組匯報解題思路與算法：

從條件想起或從問題想起：12÷2 ＝6（厘米），120÷6 ＝20（小時）；

比較水位下降的關系：120÷12 ＝10，2×10 ＝20（小時）；

參照數據排列規律：按數據的內在規律列舉下去，可得水位下降120 厘米需20 小時。

列表整理信息凸顯了“化繁為簡”的數學思想。復雜問題簡單化，學生便能清晰地發現“每2 小時水位下降12 厘米”這一關鍵信息。伴隨“時間”變化，“水位下降”也相應變化。在此過程中，學生能感知并探尋出“時間”與“水位下降”之間隱藏的不變規律，即緊緊把握住“水位下降的速度”不變這一本質，并且圍繞“不變”達成“一題三解”的目標。

（二）變易——一題多變，不變應萬變

變易是“易”的核心，彰顯應用的廣泛性。在原型問題上循序漸進地變換非本質特征，如問題或條件，使之形成新的數學問題，就是“變式”。變式教學是我國數學文化教學的傳統特質，以“一題多變”促進學生思維發展，以簡馭繁，舉一反三，實現認知順向遷移的預期。立足原問題嘗試創設新問題，搭建“以舊引新”的去路；同時，將新問題歸結為已解決的原問題，連通“以新歸舊”的回路，實現問題解決的完整閉環。

【教學片段】

（1）完成“想一想”。

出示“想一想”問題。

啟發：求經過12 小時水位一共下降多少厘米，很明顯這道題是例2 的變式，請聯系條件思考一下，如何解題？

學生列式計算。

討論：說一說式子中每一步分別表示什么？怎樣快速辨別數量之間的聯系？

小結：列表整理條件和問題，并將兩者對應聯系進行分析，數量關系便一目了然。結合所學例題，易知先求什么，再求什么。

（2）比較異同，感知聯系。

提問：回顧兩題的解答過程，誰來比較一下它們的異同？

問題由“水位下降120 厘米，一共要放水多少小時”變化為“經過12 小時水位一共下降多少厘米”，實現了“變式”。學生在解決問題時，巧妙運用類比推理與轉化策略，能從變的現象（所求問題變化）中，明晰不變的本質（已知條件不變）；也能從不變的本質（水位下降的速度）中，探究出變的規律（每2小時水位下降12 厘米），從而順利攻克新問題，做到“以不變應萬變”。

（三）不易——多題一解，萬變不離其宗

不易，即恒常不變，它是萬物運行的基本法則和公理。在教學中，教師需引導學生廣泛觸及各類問題，辨析、歸納出同類問題的共性特征，洞悉不變的本質，形成問題解決模型，刪繁就簡，實現“多題一解”。這也是變式教學中的歸類，如將數學問題歸為植樹問題、行程問題等類別。

【教學片段】

（1）完成“練一練”第1題。

啟發：從問題想起，求小軍使用的元數與小麗購買的本數，需先明確什么信息？

學生按每人的本數和元數整理并交流。

提問：你覺得題目中哪個數量是不變量？

學生解答并板演：18÷3 ＝6（元），5×6 ＝30（元），42÷6＝7（本）。

交流解答過程與算法。

（2）完成“練一練”第2題。

學生讀圖并交流數量關系。

討論：這道題哪個數量是不變量？

利用除法先求出不變的“單位量”，再以此為標準考量其余條件求出結果。該類問題在數學上有固定模型，稱為“歸一問題”，而解決歸一問題的關鍵在于秉持“單位量”不變，視不變的“單位量”為“宗”，所謂千變萬化，九九歸一，萬變不離其宗。

在教學過程中，“什么變，什么不變”的哲問是永恒的問題主線。學生習得這些不變的特性，需踐行“變式”練習，規避死記硬背。通過“變化的問題”來體現“不變的特性”，從“一題多解”邁向“一題多變”的臺階，然后回歸到“多題一解”的平臺，周而復始，方可促使學生的數學認知形成螺旋上升的通途。

綜上，變式教學脫胎于我國傳統的數學文化教學實踐，“易”則根植于我國古典文化《易經》，兩者貌似無關，在哲理上卻一脈相承。所謂世間萬物運行，其道簡易，其形變易，其理不易。因此，只有堅守“不變”的數學文化教學理念，才能凸顯“變”的文化自信與育人自覺，真正賦予課堂以深度生長的力量。