初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探

作者簡介：付京廣（1985～），男，漢族，安徽宿州人，安徽省淮北市人民路學(xué)校，研究方向：初中數(shù)學(xué)。

摘 要：傳統(tǒng)的概念課教學(xué)模式一般為概念的引入、形成、鞏固和發(fā)展。在概念的教學(xué)中，我們一般采用的是接受學(xué)習(xí)，學(xué)生很少參與概念的形成中，部分的一線教師有的只看重怎么去解題，而忽視解本題用到的基本的定義的想法。定義的產(chǎn)生、定義的來源及如何被人們認知和概念的本質(zhì)等方面來說明概念教學(xué)的重要性。其次闡述忽視數(shù)學(xué)概念教學(xué)所產(chǎn)生的弊端以及尋找忽視的原因來說明數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性，并提出在教學(xué)中如何重視“概念”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；概念教學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)；重要；弊端

中圖分類號：G633.6

文獻標識碼：A

文章編號：1673-8918（2023）32-0088-04

一、引言

學(xué)生有沒有良好的數(shù)學(xué)思想，有沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天然大腦，如何提高孩子的數(shù)學(xué)思維能力，這些問題都應(yīng)從領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念入手。因為數(shù)學(xué)概念是表達數(shù)學(xué)思想方法的中介和載體，平時的教學(xué)中，讓學(xué)生多看定義，仔細認真地研究透徹學(xué)習(xí)知識的定義，把定義是如何來的，怎么用的，解決的是什么樣的實際問題，這些都搞懂搞會，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵所在。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展的高度和維度也與對定義概念的掌握的透徹度和廣度有著很大的關(guān)系。因此數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有舉足輕重的作用。在平時的教學(xué)中，要夯實定義，定理，概念。老師要充分重視起來，先把這些基礎(chǔ)知識搞懂學(xué)精，方可解題做題。萬丈高樓平地起，打好基礎(chǔ)，樓才能蓋得高，蓋得穩(wěn)。因此，必須重視數(shù)學(xué)中的概念的教學(xué)和研究。

二、數(shù)學(xué)當中定義的產(chǎn)生和進化

數(shù)學(xué)中定義是如何產(chǎn)生的？是怎么來的？在平時的教學(xué)中有時間和余力的老師最好給孩子講清楚，可以是故事的形式老師自己進行表述，也可以讓同學(xué)們以興趣小組的形式，查找文獻，討論交流。比如負數(shù)是如何產(chǎn)生的，可以讓學(xué)生思考實際生活，比如孩子熟悉的天氣預(yù)報里面的城市氣溫，如哈爾濱，沈陽等城市的氣溫；還有生活中坐電梯時，電梯按鍵有負一樓；以及家里的氣溫計等。還有生活中還有具有相反意義的量，比如前進和后退，左和右，上和下，盈利和虧損，對這些具有相反意義的量在數(shù)學(xué)中如何進行表示；還有生活中有這樣的疑問4-6=？這樣就會和學(xué)生在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生了認知沖突，從而可以激發(fā)孩子學(xué)習(xí)的興趣和探索的欲望；還有生活中有對數(shù)的排序：0，1，2，3……由于空位和沒有就產(chǎn)生了0，由于要分東西，測量從而產(chǎn)生了分數(shù)，在現(xiàn)實生活中有很多具有相反意義的量，該如何表示呢？帶著這些問題和疑問，都可以讓學(xué)生很清楚地了解到定義的產(chǎn)生和運用離不開實際生活，是從生活中產(chǎn)生的。學(xué)習(xí)這些知識也是來源于生活并且服務(wù)于生活的。隨著生活質(zhì)量的提高和科技的進步，這些知識會慢慢地被修改和完善的，以便大家容易理解與接受，更重要的是更好的提高現(xiàn)代人的思維和服務(wù)于人們的生活。更好地為現(xiàn)代科技服務(wù)，這樣知識就發(fā)生了質(zhì)的變化，完成了進化。

三、深化理解對定義，概念的產(chǎn)生

讓孩子認清熟悉定義的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始，怎么才能產(chǎn)生，會對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。在平時的教學(xué)中，不能直接地給出定義和概念，要從概念和定義是如何產(chǎn)生的，為什么這樣產(chǎn)生，給孩子一個合理并且符合實際的說法，讓學(xué)生想去發(fā)現(xiàn)和發(fā)掘這部分內(nèi)容，從而愿意主動地去學(xué)習(xí)，也更有利于孩子對知識的掌握和理解。如何更好地讓孩子對定義或者概念的產(chǎn)生，有一個更好的理解和接受呢？方法很多，其中創(chuàng)造一個有利于知識產(chǎn)生的故事，使問題蘊含其中，就是一個很好的方法。

（一）使數(shù)學(xué)概念蘊含在故事中

教育學(xué)和心理學(xué)當中提到，學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)的動力。有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動機，這樣學(xué)生就更能主動地去學(xué)習(xí)，學(xué)生的心理和大腦就處于一個對學(xué)習(xí)渴望的最高值。此時在獲取知識的時候效果就最好，最有效，學(xué)生的主動性和積極性就最強，課堂氣氛也是異常活躍的階段。例如：在我國古代一部數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中就提到了負數(shù)這個概念，而且還提出了正負數(shù)這一名詞，就是正數(shù)和負數(shù)加減法則。我國數(shù)學(xué)家劉徽，在公元3世紀，公元236年對負數(shù)的出現(xiàn)也有解釋，即“兩算得失相反，要令正負以名之”。這簡單的一句話正式給出了負數(shù)的定義。元代的朱世杰在他的著作《算學(xué)啟蒙》一書中也給出了解釋：同名相乘的正，異名相乘的負；同名相除的正，異名相除的負。對有理數(shù)的四則運算也給出了總結(jié)和概括。通過這些數(shù)學(xué)史話。這些古代有趣的數(shù)學(xué)故事的講解，激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動其對新知識的渴望。我們老師在這個時候就可以發(fā)問：孩子們，想不想知道什么是負數(shù)？有理數(shù)的運算法則是什么？從而引出本節(jié)課題，繼而很自然地開始學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。

（二）理論聯(lián)系生活實際，深化對定義的理解

數(shù)學(xué)當中的概念和定義都是在實際生活中提煉出來的。比如，負數(shù)，絕對值，一次函數(shù)，線段，角等都是在生活和生產(chǎn)中由于需要產(chǎn)生的。給學(xué)生講清楚這些知識的由來，會讓學(xué)生更加自覺和主動地去學(xué)習(xí)知識，更易接受和理解。

1. 著重定義的導(dǎo)入

例如：在上課時提出：再去拉薩的一段路段中，假如汽車有凍得土的一段路段時要x小時，這輛汽車通過不是凍土路段需要（x-0.4）小時，有凍土的路段的速度是98 km每小時，不是凍土的路段速度是130km每小時。提出問題路全長為［98x+130（x-0.4）］千米，又給出兩路段相差［98x-130（x-0.4）］千米。上面兩個式子都帶有括號該如何去化簡呢？啟發(fā)學(xué)生利用分配定律去嘗試，從而引出去括號法則。還有例如在上課時，可以用幻燈片放出某省某市中學(xué)生進行足球比賽，勝一場得4分，平一場得2分，市第三中學(xué)在足球比賽的12場中，獲得了全勝的好成績一共得36分，提出問題該足球隊贏了幾場？又有幾場打平？對學(xué)生進行發(fā)問，大家能列出一元一次方程嗎？學(xué)生開始討論交流，最后學(xué)生給出一個初步答案，老師再進行細化總結(jié)。接著又問大家能列出二元一次方程嗎？學(xué)生開始討論交流，最后學(xué)生給出一個初步答案，老師再進行細化總結(jié)。

老師在引出定義或概念的時候，不要著急去做練習(xí)，不要一下子講解清楚，要一步一步來，按照孩子的認知水平逐步加深，要符合學(xué)生學(xué)習(xí)的循序漸進的規(guī)律。

2. 著重定義的有效分析

對定義要進行切中要害有效的分析與處理，不要過早或者過晚地下定義，無論是過早還是過晚都會造成學(xué)生對知識的茫然，從而影響孩子對知識的渴望與學(xué)習(xí)。應(yīng)當在故事或者情境中對引入進行及時的處理與總結(jié)，在最恰當和孩子情緒最好的時候給出要講知識的概念，此時才是最佳授課時機。

3. 著重對定義的全方位的解釋

比如數(shù)軸的概念，一是理解數(shù)軸的概念，可以用數(shù)軸來去表示數(shù)；二是在數(shù)軸上的距離給出一個數(shù)具有絕對值的定義，進而認識相反數(shù)。還要理解好數(shù)軸具有的三要素是學(xué)習(xí)數(shù)軸的關(guān)鍵，原點是基準，對應(yīng)0這個數(shù)字，也是計量的起點；正方向規(guī)定了正負性；單位長度是計量單位。這三要素具有一定的相對性。不過，三要素一旦規(guī)定之后，每個數(shù)在數(shù)軸上的位置就確定了，不能改變了。必須將這三點聯(lián)系起來，缺一不可。還要知道，每一個有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與它對應(yīng)。有理數(shù)的個數(shù)是無限個的，因此數(shù)軸上也是有無數(shù)個有理數(shù)點的，但是無論有理數(shù)的點有多密集，在數(shù)軸上都有無數(shù)個點不是有理數(shù)，那這些空隙代表無理數(shù)，進而說明數(shù)軸的強大性，有理數(shù)和無理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示出來。只有把這些有關(guān)數(shù)軸的知識全方位立體地掌握和理解才能更好地學(xué)習(xí)數(shù)軸的概念。

四、著重抓住概念的實質(zhì)，進行研究

在慢慢形成概念的過程中，總會有一些無關(guān)的干擾的特性，從而影響著學(xué)生的理解。這就要求老師在平時的上課中，幫助學(xué)生去偽存真，把重點和實質(zhì)很明顯地呈現(xiàn)在孩子面前。減少無關(guān)因素，看到問題的實質(zhì)。

（一）定義必須講透

比如：在講誤差時候。近似值與他的準確值的差，叫作誤差。誤差是近似值減去準確值，不能顛倒。誤差既有可能是正數(shù)也有可能是負數(shù)。都是可以的。誤差的絕對值越小，近似值就越接近準確值，近似程度就越高。是誤差的絕對值越小而不是誤差的值。這個在講解新課時候必須講清楚，講透徹。

（二）凸顯概念中的關(guān)鍵字句

在講解單項式的概念中，單項式的概念是在代數(shù)式中，都是數(shù)與字母的積，像這樣的代數(shù)式叫單項式。關(guān)鍵字是積。不是和，不是差，也不是商。而且是數(shù)與字母的積。字母這個關(guān)鍵字，要對其強化理解，其中Π圓周率就不是字母，它表示一個數(shù)。

（三）抓住概念當中內(nèi)，外聯(lián)系做文章

在幾何中講到關(guān)于直線的基本性質(zhì)，教材中是通過一個點、兩個點，并結(jié)合實際生活中把晾衣架固定的事實進行有效的說明。讓學(xué)生嘗試去畫直線和對實際生活思考，不難理解這個基本事實：經(jīng)過一點有一條直線，并且只有一條直線。但是學(xué)生對文字的表述不是太熟悉。這就要求老師把內(nèi)涵和外延表述清楚。基本事實包含兩個意思：一是存在性，經(jīng)過兩點是有一條直線的；另外一層意思是唯一性，經(jīng)過兩點只有一條直線。對于此基本事實的內(nèi)涵即內(nèi)在聯(lián)系要講清楚，同時這個基本事實的外在表述也得明確。這就是要抓住概念的內(nèi)涵和外延的問題。

五、升華概念，聯(lián)系實際生活

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為實際生活服務(wù)的，數(shù)學(xué)中的概念的學(xué)習(xí)更是如此。一定要理論聯(lián)系實際，把知識和概念運用到實際生活中去，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的。

（一）多方位考查概念

比如，對無理數(shù)的理解與掌握，有以下幾個問題：

1. 無理數(shù)就是開方開不盡的數(shù)；2. 無理數(shù)就是無限小數(shù)；3. 無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負無理數(shù)；4. 無理數(shù)可以用數(shù)軸上的數(shù)表示；5. 實數(shù)中，不是有理數(shù)就是無理數(shù)。6. 無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)；7. 分數(shù)是無理數(shù)；8. 帶根號的數(shù)是無理數(shù)。

通過以上問題對無理數(shù)的概念進行多方面全方位的考查。

（二）針對易混易錯概念進行對比練習(xí)

在學(xué)習(xí)了平方根和算術(shù)平方根之后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易搞混這兩個概念下面有幾題放在一起進行對比：如下列語句正確的有：

（1）4的算數(shù)平方根是2；（2）4的平方根是2；（3）-4的平方根是2；（4）-4的算術(shù)平方根是2；（5）只有正數(shù)才有平方根；（6）一個正數(shù)的平方根有兩個；（7）負數(shù)和零沒有平方根；（8）零的平方根和算數(shù)平方根都是本身；（9）算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0和1。

通過這些問題式的練習(xí)，學(xué)生在不知不覺中在糾錯中在對比中就掌握了平方根和算術(shù)平方根的概念。

六、輕視概念的理解的弊端及其原因

概念是一門學(xué)科形成和發(fā)展的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)學(xué)科同樣如此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識體系的重要結(jié)點，讓學(xué)生理解與掌握數(shù)學(xué)概念應(yīng)該始終成為數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標。而在現(xiàn)實教學(xué)中，不少老師忽視概念課的教學(xué)，現(xiàn)就此問題談?wù)剛€人的幾點看法。

（一）忽視數(shù)學(xué)概念教學(xué)造成的弊端

我們常看到課標要求、教學(xué)目標中提到掌握和理解某個數(shù)學(xué)概念，可見數(shù)學(xué)概念是相當重要的。忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必然導(dǎo)致教師在教學(xué)過程中，重結(jié)果，輕教學(xué)過程，忽視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生邏輯混亂。不少教師認為學(xué)好數(shù)學(xué)就是要將概念、定理、公式記熟。誠然，這種做法可能對考試成績暫時有用，但對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卻留下了后遺癥。例如，在初中不少學(xué)生在求二次函數(shù)y=ax²+bx+c最值時都熟知當x=-b/2a，y有最值4ac-b²/4a，但卻不會配方法，這在高中的后繼學(xué)習(xí)中造成極大的困難。如果在初中教學(xué)中，教會學(xué)生二次函數(shù)的配方法，讓學(xué)生理解為什么當x=-b/2a有最值，到了高中教學(xué)就水到渠成了。由于部分教師的原因和學(xué)生眼高手低的毛病，沒有對概念的理解和掌握得到應(yīng)有的重視，只是簡單地背誦或是朗誦，沒有吃透概念的真正意義，大而化之，不重視對概念認真推導(dǎo)證明，直接去記憶一些定理和公式用于解題，以為記住了概念就掌握了概念，這導(dǎo)致學(xué)生沒有真正地理解知識，最終也限制了解題的正確性。

（二）忽視數(shù)學(xué)概念教學(xué)的原因

多年來，由于應(yīng)試教育的影響而形成一套傳統(tǒng)的、滯后的教學(xué)模式，導(dǎo)致部分教師都不注重概念的教學(xué)，只要學(xué)生會解題就可以。在考試的指揮棒下，部分教師多年來已經(jīng)習(xí)慣于你考什么我教什么。在初中，數(shù)學(xué)知識點較少，因此通過初三經(jīng)一二個月的強化訓(xùn)練、題海戰(zhàn)術(shù)，很多學(xué)生的中考成績都很優(yōu)秀。這樣的結(jié)果，難免讓學(xué)生、老師進入“題海”誤區(qū)，不在乎過程的教學(xué)。但不少這些中考高分學(xué)生升入高中學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)成績出現(xiàn)了明顯的下降，這說明了我們初中數(shù)學(xué)教學(xué)及考試模式存在一定的弊端。在高中，為了留有更多時間進行高考總復(fù)習(xí)，有些老師在概念課的教學(xué)中，只是輕描淡寫地提出概念，然后就是講例題，做練習(xí)。完全不重視對概念的“挖掘”和“剖析”。

七、在教學(xué)中如何重視概念教學(xué)

（一）在教學(xué)中注重激發(fā)學(xué)生探究定義的激情

每個定義，每個概念的產(chǎn)生都是實際生活應(yīng)有的寫照和需要，學(xué)生和老師必須明白為什么學(xué)習(xí)這個知識，為什么學(xué)習(xí)這個概念，這個概念存在的意義是什么，這個概念的產(chǎn)生是為了解決什么問題。讓學(xué)生理解概念產(chǎn)生的必要性。例如，在數(shù)系的擴充過程中，為什么要引入無理數(shù)？我們可以這樣解釋：在解方程x²=2時就沒有有理數(shù)解，但它的解卻是客觀存在的，正方形的對角線長與邊長之比就是這個方程的解，但這個比不能用有理數(shù)表示，因此就添入無理數(shù)，這促使數(shù)的范圍擴大到全體實數(shù)。

（二）講清每個概念的內(nèi)涵和外延

理解概念的內(nèi)涵是指知道這個概念包括哪些對象，還要知道它不包括哪些對象。概念的外延是指這個概念的適用范圍以及一些邊界條件。教師在講解概念時要根據(jù)概念不同特點，采取不同教學(xué)手段，真正讓學(xué)生理解每個概念的內(nèi)涵和外延。在課堂上要給孩子留有充分的思考時間和空間，把課堂學(xué)生的主體地位還給學(xué)生，善思善想才能理解和掌握，不能強行灌輸，機械講解，要把知識聯(lián)系實際生活，最好是孩子最貼近的學(xué)生生活中的實例。只有這樣學(xué)生方能用語言表達出來。如：要利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義解較難的綜合題目時，有些同學(xué)就很難找到切入點，我認為就是對單調(diào)性和奇偶性概念的充要性體會不好，即：對任意的x₁和x₂，x₁2?f（x₁）2）或者x₁2?f（x₁）>f（x₂），又f（-x）=f（x）（或者-f（x））。概念強調(diào)的是自變量和函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化。

八、結(jié)論

當然，如何更好地進行概念教學(xué)我們還要繼續(xù)研究，但是無非是指導(dǎo)這些概念從什么地方產(chǎn)生，為什么產(chǎn)生，對我們的實際生活有什么影響與幫助。這些才是學(xué)習(xí)概念的關(guān)鍵。可以把概念結(jié)合數(shù)學(xué)故事在課堂上娓娓道來；也可以放在實際生活問題中，激發(fā)孩子的學(xué)習(xí)熱情。這才是實現(xiàn)知識傳授和能力培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)，是提高教學(xué)質(zhì)量的一個重要方面。因此，我們不能忽視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

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