數與代數領域中幾何直觀的培育策略
——以小學三年級數學“比大小”為例

2023-09-25 00:43:46范宇馨徐燕剛

教育科學論壇 2023年28期

●范宇馨，徐燕剛

幾何直觀是義務教育階段學生不可或缺的能力。小學階段的知識雖然簡單且基礎，但以圖形表征作為解決問題的手段不可被丟棄，教師必須重視圖形直觀能力在日常教學中的有機滲透[1]。培育學生的幾何直觀，是借助學生身邊熟悉的具體事物，潛移默化地讓他們通過類比與聯想，結合新舊知識形成問題解決的培養策略。培育的重要性在于它是思維直觀的全過程參與，能夠激發學生的探究、發現與創造性，是學生抽象化思維的基礎。培育學生的幾何直觀策略既能幫助學生增長知識，又能幫助學生增長智慧，還能為數學內容生活化增加趣味性和可能性。目前，小學進行幾何直觀的培養路徑仍處于探索階段。因此，準確理解幾何直觀的價值和必要性，深入研究當前小學數學課堂教學中幾何直觀的應用，適當探討幾何直觀的培育策略，具有一定的現實意義[2]。

一、創設情境問題，建立直觀聯系

幾何直觀蘊含在現實的情境中，它來源于現實，又反映出現實，是生活現實數學化的重要表現之一。將生活化的現實問題遷移到學生的課堂中，不僅能夠激發學生探索生活現象，促使學生對數學有日常感知，還能增強學生潛意識層對幾何直觀的理解。

在課堂引入環節，教師可以采用生活現象疑問法、生活問題解決法、生活事件對比法等方式開始教學活動，培養學生的幾何直觀。創設情境化的課堂，其意義在于生活與學生息息相關，以學生的生活經驗為切入點構建知識體系，能有效搭建數學與生活的知識橋梁，有助于教師對直觀的培育。

教師在課堂授課過程中要把握好數學問題的解題思路、數學方法的具體操作、直觀圖形的結果陳述三方面的內容，實現所有環節都能從現實經驗中著手，建立起科學的數學的直觀思維。

例如，在同分母分數比大小的教學活動中，教師可以將課堂聚焦到分蛋糕的問題上，采用現實情境作為趣味引入。

首先，教師出示一個完整的蛋糕圖片來引起學生注意，告知學生這個蛋糕被分成了兩份。其中一份占這個蛋糕的，而另一份占這個蛋糕的。以“這兩塊蛋糕誰大誰小”開始課堂學習。

其次，教師引導學生聯想蛋糕的形狀，將真實的蛋糕化簡成直觀可操作的圖形。緊接著讓學生嘗試將蛋糕轉化成圓形畫在紙上，用自己的方法分一分、涂一涂再比一比。

圖1

二、組織填圖活動，體驗數學直觀

幾何直觀的核心培育階段體現在課堂教學活動中。教師通過組織有特色的填圖教學活動，讓學生在動眼觀圖中感悟圖形的直觀與形象，在動手操作中體驗數學直觀的方法，最終完成幾何直觀在數圖符號之間的轉化，實現幾何直觀在操作中的培育[3]。課堂操作環節為幾何直觀的培育提供了豐富的土壤。

首先，有趣的填圖活動能讓學生觀察到可視化的圖片。學生通過眼睛看的過程，就是圖形直觀在腦海中的反應過程。

其次，填圖活動的重點在于一個“填”字，學生在“填”的活動中會觸碰到真實具體的圖片，動手“填圖”的過程就是幾何直觀的表現過程。

最后，組織填圖活動的最終目的是解決圖形所表達的數學問題，數形之間的轉化思想也是培養幾何直觀的重要途徑，學生通過感受直觀圖形與抽象數字之間的轉化，在今后解決抽象符號問題時才能更快回憶起直觀作圖法，從而簡化復雜問題以形象直觀達到解決問題的目的。

教師可以組織課堂體驗活動，讓學生體驗數學圖形直觀，從而培育學生的幾何直觀。例如，教師先請學生抬頭看白板上的蛋糕圖片，通過眼睛看的方式促使學生回憶自己分蛋糕的場景，激發學生對分蛋糕問題的興趣。隨后，教師請學生闡述能夠解決問題的辦法，在學生發言的過程中，教師可以示意學生到黑板前用畫一畫的方式呈現具體的解題思路。最后，教師組織學生分小組進行填圖活動，將蛋糕畫成圓形或方形，并讓學生操作紙片對分數進行填涂，進而比較涂色部分面積的大小，得出與與的比較結果（見圖2）。組織填圖活動這一環節讓學生對數與圖進行觀察聯想，引導他們感受數與圖之間的對應關系，使得幾何直觀能巧妙融入數形結合的轉化過程中。

圖2

教師使用上述策略進行課堂活動的組織與探究，不僅能夠提高學生的動手操作能力，而且能讓學生將抽象符號用可視化的圖形呈現出來，培養學生的幾何直觀素養，促使學生的思維從具象到抽象進行過渡。

三、報告數圖發現，總結直觀要點

幾何直觀可以滲透在學生的報告活動中，使得學生對直觀的把握更加具體和凝練。學生經過填圖活動，找到了數圖轉化解決問題的方法。教師承接填圖活動組織學生開展課堂匯報，讓學生在報告中獲取數圖發現，領會直觀要點，實現幾何直觀在報告中的培育。幾何直觀的培育可以從匯報內容中的問題發現、解題方法和最終結果三個方面著手。

這三個環節的重點在于數圖解題的方法與過程。教師要引導學生將匯報的內容聚焦于幾何直觀的數圖發現，讓學生總結直觀要點。報告有助于促進學生語言上對圖形的具體闡釋，有助于學生體會圖形操作的直觀感受，有助于學生對于幾何圖形的形象理解，有助于學生頭腦中對幾何直觀的發現，這些感悟和體會都是幾何直觀的潛在表現。

學生經過分數大小比較的活動探索，并采用填圖法比較出了例題中分數的大小。此時，教師應順勢讓學生上臺展示和匯報他們分數比大小的發現與結果，學生通過匯報可以厘清幾何直觀的要點，還能在匯報中感受幾何直觀的發生發展。

首先，教師以填圖活動后的圖片和內容為基礎，經過一定演變和加工，在電子白板上分別呈現出十以內同分母分數與同分子分數的示意圖，請學生認真觀察思考（見圖3）。

圖3

緊接著，教師讓同桌的學生討論并交流各自的發現，讓學生使用自己的語言進行歸納和概括。

最后，教師組織學生有序進行匯報。匯報的第一步是讓學生陳述觀看圖形后的感受，使內容聚焦到圖形與分數之間的關系上來；匯報的第二步讓學生描述分數作圖的方法，引導學生說清楚每一個分數上面的圖片是如何進行填圖得出來的；匯報的第三步讓學生根據填圖好的分數報告自己得出的結論。前兩步有關圖形的觀察與分析是第三步結論的重要媒介，學生通過觀察圖形，可以快速認識到圖形對應分數的關系和規律。

通過匯報最終得出結論：同分母分數，分子大的分數大；同分子分數，分母大的分數小。

四、引導學生互評，激勵直觀發現

幾何直觀在評價表述中形象化，在評價互動中具體化，在評價激勵中滲透。互動評價方式是發展學生幾何直觀的重要環節。它既能促使學生感悟直觀圖像的有用性，又能幫助學生去思考直觀方法的優劣性，還能在互評的語言交流中滲透幾何直觀思維。采用互動評價方式去培育學生的幾何直觀，不僅能發展學生的表述能力，還能讓學生通過表述明晰圖形與數的關系，使幾何直觀更加具體形象地融入頭腦中。激勵評價是促進學生保持求知動機，使其喜歡上幾何直觀解題，接受幾何直觀在解題中價值的有效方式。這里，教師需要先引導學生陳述清楚前面活動的發現；然后鼓勵學生朝向幾何直觀的方向進行方法闡述，闡述完成后及時表揚學生表述中提到的與幾何直觀相關的要點；最后教師要重復和提煉含有“直觀”“形象”等類似的關鍵詞語，加強學生對幾何直觀的認識與理解。比如，教師可以采用如下的互評方式引導學生進行課堂評價：

首先，讓學生以活動為線索，用自己的語言評價課堂活動中分數比大小的方法。例如，教師提問學生：“本堂課使用填圖法比較分數的大小，大家覺得這個方法好不好？ ”學生積極表述類似“將分數轉化成圖形能更直觀地比較出大小”的語言時，幾何直觀就已經潛移默化儲存在了學生的腦海中。

其次，發揮評價的溝通交流機制，教師采用互評—反饋的方式激勵學生的直觀發現。例如，教師可以請同桌的兩個學生互相評價填圖法得到的結論，學生歸納總結結論，在此過程中提到“圖形方便”“畫圖形象”“圖像直觀”“分數轉化成可見圖形”等話語時，教師要及時對這類語言進行鼓勵和表揚，并讓學生重復類似發言，使幾何直觀在激勵中生成發展（見圖4）。

圖4

最終，以評價帶動課堂反思，以反思促進幾何直觀意識生成，以意識帶動能力發展，實現幾何直觀在課堂評價中的培育。

五、設真實性作業，鞏固直觀理解

作業是以數學課程標準和數學教材為依據的重要教學補充材料。它圍繞課程的教學目標，落實數學的思想與方法，是連接學生幾何直觀與生活應用的橋梁。

真實性的作業來源于生活，是生活現象的問題反應，也是新舊知識的聯系樞紐。它與學生的實際經驗相關，有助于學生知識與經驗之間的聯系。作業的完成需要經歷“問題思考—方法擬定—結果檢驗”三個環節。作業問題的呈現方式與學生思考問題的方式息息相關。教師呈現真實的生活問題，有助于學生直觀方法的使用。作業是呈現學生思考解題過程的重要環節。作業完成后的結果檢驗，是學生理解分數與圖形關系的重要連接點。

在分數的大小比較中，教師為了鞏固課堂的知識與方法，滲透幾何直觀在生活中的應用，可以設計如下作業讓學生進行鞏固練習。

題目：今天是小熊的生日，熊媽媽買了7 罐蜂蜜回家準備給小熊做蜂蜜蛋糕。其中蘋果味的有3 個，草莓味的有4 個。

（1）蘋果味與草莓味的罐頭分別占全部蜂蜜罐頭的幾分之幾？

（2）熊媽媽將這七個罐頭的蜂蜜混合起來做了一個大蛋糕，將這個蛋糕分成了三份，分別占這個蛋糕的，熊媽媽想吃最小的那一份，請問哪一個分數是最小的呢？

這道作業題的第一小問題目的在于讓學生知道分數除了用一個物體表示一個整體外，還可以將多個物體看作一個整體進行表示，加深學生對分數意義的理解。該題在圖形直觀的基礎上，進行了生活化的調整，讓學生用數罐頭的方式，理解部分與總體的分數關系，數就是一種直觀而具體的表現方式，有助于學生認識幾何直觀。緊接著題目再次用分蛋糕的生活場景，讓學生比較三個分數的大小，目的在于考查學生是否掌握了填圖法進行分數比較。蛋糕多為圓形，因此這種場景會讓學生聯想到畫圓形圖進行解題，學生在課堂上有填圖法解決分數比大小的經驗，因此同類問題也會讓學生快速解答出思路和方法（見圖5）。

圖5