巖石力學課中軟巖地基極限承載力計算方法的推演與教學設計

周曉軍

（西南交通大學 土木工程學院，成都 610031）

巖石力學是西南交通大學面向土木工程專業、城市地下空間工程專業和工程地質專業本科生而開設的一門必修專業基礎課程。通過本課程的學習使學生能夠了解和掌握巖石力學中的基本概念、基本理論和計算方法，為學生今后從事土木工程、城市地下空間工程中與巖石力學相關的工程設計和施工以及學術深造奠定堅實的基礎。巖石力學課程的教學內容較多，其中軟巖地基承載能力的計算是課程教學中的一個重要內容，如何使學生能夠較好地理解和掌握軟巖地基承載力的計算方法，是巖石力學課程教學設計和講授方法中需要探討和研究的問題之一。就國內目前使用的巖石力學教材[1]而言，對軟巖地基極限承載力計算方法的講解并不完整和詳實，僅在教材中簡要列出了巖石地基承載力的計算表達式[2-5]。在對本內容的教學過程中發現學生無法了解具體的力學模型和詳盡的推演過程，因而不能明確理解和掌握軟巖地基承載力的計算方法，給課程內容的教學和學生的學習均帶來不便，難以實現和達到教學目標。本文結合巖石力學課程的教學實踐，就軟巖地基極限承載力計算方法的推演過程和相應教學內容的教學設計進行總結與分析，通過對課程講授內容的教學設計和實踐，取得了良好的教學效果。

一 巖石基地承載力計算模型的建立

為便于本科生理解和掌握軟巖地基極限承載能力的計算方法，在課堂講授此部分內容時主要從軟巖地基剪切破壞的力學模型、基本假設、應力與作用力轉換與分析、二維坐標系中靜力平衡以及Mohr-Coulomb 強度準則的應用等開展。首先需要建立分析軟巖地基承載能力的力學模型，而模型的建立需要引導學生學會應用已經講授過的Mohr-Coulomb 強度準則。為便于學生理解和掌握，建立如圖1 所示的計算和分析軟巖地基承載力的力學模型。

圖1 軟巖地基極限承載力的力學模型

結合圖1 的力學模型，需要向學生講解軟巖地基發生破壞的模式和相關的計算參數，為便于推演軟巖地基的極限承載能力，主要設計的教學內容如下。

巖石地基的寬度為b，其所承受的均布荷載為ql。臨近地基的附加荷載為qs。當軟巖地基在均布荷載ql作用下發生剪切破壞時，地基內的巖石則會形成兩個相互垂直的平直剪切面AB 和BC，而AC 平面即為巖石地基所在的地面。由此△ABC 所包圍的巖石即為受剪切破壞的巖石地基，而此時的均布荷載值ql即為巖石地基的極限承載力，也是需要求解的未知量。在△ABC 中AC 邊上的高h 即為巖石地基發生剪切破壞的垂直深度。

為便于分析，將△ABC 所包圍的巖石塊體以AC邊上的高所在的邊BD 劃分為△ABD 和△BCD 2 個區域，并將△ABD 視為主動破壞區，而△BCD 則視為被動破壞區，△ABD 所包圍的巖石的黏聚力和內摩擦角分別為c1和φ1，其容重為γ1，對應的巖石塊體重量為W1，而△BCD 所包圍的巖石的黏聚力和內摩擦角分別為c2和φ2，其容重為γ2，所對應的巖石塊體重量為W2。

△ABC 內的巖石沿剪切面AB 和BC 走向上的厚度遠大于剪切面AB 和BC 所在邊的長度，因而巖石地基屬于彈性力學中的平面應變問題，在分析中可取其單位厚度進行計算。同時可將△ABC 內的巖石視為均質巖石，且在平面AC 上無剪應力，在DB 面上也無剪應力。

巖石地基的剪切破壞面AB 與水平面AC 之間的夾角為α。

根據上述力學模型和采用的相關參數即可對巖石地基中主動區和被動區巖石的靜力平衡狀態以及巖石承載力的計算方法進行分析與推演。

二 巖石地基極限平衡狀態及其應力分析

根據圖1 所建立的巖石地基剪切破壞力學模型，當地基的荷載ql達到地基極限承載能力時，主動區△ABD內的巖石受壓沿剪切面AB 破壞后擠壓被動區△BCD內的巖石，并且使被動區△BCD 內的巖石沿剪切面BC發生剪切破壞。由此，主動區巖石會對被動區巖石施加水平擠壓應力σm，而被動區巖石又會對主動區巖石施加水平頂推應力σm，兩者數值相等，方向相反，均以法向應力的方式作用于BD 面上，如圖1 所示。由于巖石地基AC 面和BD 面上無剪應力，因此這2 個平面為主平面，且其上的法向應力即為巖石地基的最大或最小主應力。

為便于學生理解，首先以主動區△ABD 為研究對象，對其在各個面上的應力進行分析。AD 面上承受的應力即為地基的極限承載力ql，也是需要求解的未知量。BD 面上的應力即為被動區△BCD 的頂推應力σm，剪切破壞面AB 上則有法向壓應力σAB和剪切應力τAB，由此可得到主動區△ABD 各面上巖石所承受的應力及其分布狀態如圖2 所示。

圖2 主動區巖石的應力狀態

為便于在課堂講授，并使學生理解和掌握應力的分析方法，先分析主動區△ABD 所包圍的巖石靜力平衡狀態。為此，在圖2 所示的主動區△ABD 中建立平面二維坐標系Oxy，并將剪切面AB 上的法向應力σAB和剪切應力τAB所對應的法向和切向作用力沿x 軸和y 軸方向進行力的矢量分解，即可得到主動區△ABD 內巖石的靜力平衡關系式。在此，需要向學生強調的是剪切面上的應力和作用力是不同的概念。需要將剪切面上的應力換算成相應的作用力。經過轉換主動區△ABD 中各個面上引起應力的作用力如圖3 所示。圖3 中，F1代表AD面上的作用力，F2代表BD 面上的作用力，剪切面AB 上的法向作用力為N，其在x 軸和y 軸方向上的分量分別為Nx和Ny，剪切面AB 上的剪切力為T，其在x 軸和y軸方向上的分量分別為Tx和Ty。

圖3 主動區巖石受力

在Oxy 坐標系中法向作用力N 與其在x 軸和y 軸方向分量之間的關系式為

而切向作用力T 與其在x 軸和y 軸方向分量之間的關系式為

主動區△ABD 各面上的作用力和應力之間的換算關系為

對于式（3）而言，在講授時需要向學生說明，式（3）中的SAD、SBD和SAB分別代表各面的面積。此處的面積實際上分別為△ABD 各邊的邊長與巖石地基沿其走向上單位厚度的乘積。

將主動區△ABD 各面上的應力轉換為作用力后，即可在Oxy 二維平面坐標系中進行靜力平衡分析，并分別沿x 軸和y 軸方向建立靜力平衡關系式，即ΣFx=0 和ΣFy=0，由此得到

式（4）中W1為△ABD 包圍的巖石重量，根據直角△ABD 的幾何關系，可求得其重量W1為

將式（1）、式（2）、式（3）和式（5）分別代入式（4）中，并經過化簡后得到以應力表示的主動區△ABD 內巖石的靜力平衡方程為

由式（6）即可求得剪切破壞面AB 上的法向應力σAB和剪應力τAB的表達式為

對于主動區△ABD 內的巖石而言，其發生剪切破壞時破壞面AB 上的法向應力和剪應力應當滿足Mohr-Coulomb 強度準則，即

將式（7）代入式（8）可得

從式（9）可以看出，軟巖地基的極限承載力ql水平擠壓應力σm、主動區△ABD 內巖石的黏聚力c1、內摩擦角φ1、巖石容重γ1、剪切面AB 與水平面之間的夾角α以及巖石剪切破裂深度h 的影響。

由于式（9）中尚未求出水平擠壓應力σm，因此還需要借助被動區△BCD 來進行分析。設被動區△BCD 所包圍的巖石受主動區擠壓而沿剪切面BC 發生剪切破壞，則剪切破壞面BC 上的法向應力為σBC而剪切應力為τBC。主動區△ABD 內的巖石施加在被動區△BCD 巖石中BD 面上的水平擠壓應力為σm，由△BCD 所包圍的巖石重量為W2。為便于分析，在△BCD 區域內建立Oxy二維平面坐標系，如圖4 所示。

圖4 被動區巖石的極限應力狀態

與前文中分析主動區△ABD 內的巖石靜力平衡關系式的方法相同，將被動區△BCD 內剪切面BC 上的法向應力σBC和剪應力τBC換算成相應的作用力，并對其沿x 軸和y 軸方向上分別進行力的矢量分解，由此可得到被動區△BCD 中以應力表示的巖石靜力平衡方程式為

由式（10）即可求得剪切面BC 上的法向應力σBC和剪切應力τBC，即

對于被動區△BCD 內的巖石而言，其黏聚力和內摩擦角分別為c2和φ2，當其沿剪切面BC 發生剪切破壞時，剪切面上的法向應力σBC和剪應力τBC也應當滿足Mohr-Coulomb 強度準則，即

將式（11）代入式（12）可得

由此便得到了主動區和被動區之間的相互間的水平擠壓應力σm。將式（13）代入式（9）即可得到巖石地基的極限承載力ql的表達式為

式（14）就是完整軟巖中巖石地基極限承載力的計算表達式。根據式（14）分析，軟巖地基極限承載力受被動區地面上的附加荷載、巖石黏聚力與內摩擦角、巖石容重和巖石剪切破壞深度等因素的影響。

就式（14）而言，其中涉及的參數較多，在實際計算中較為繁瑣。為便于工程應用，可設主動區△ABD 和被動區△BCD 所包圍的巖石黏聚力相同，即c1=c2=c；兩者的內摩擦角相同，即φ1=φ2=φ；使巖石的容重也相同，即γ1=γ2=γ，由此式（14）可簡化為

根據Mohr-Coulomb 強度準則，巖石發生剪切破壞時破壞面AB 與最大主平面AD 之間的夾角α 應滿足

將式（16）代入式（15）可得

再利用主動區△ABD 中角α 的正切關系式可得 h=btanα，將其代入式（17）可得

為便于實際應用，可將式（18）改寫為

式（19）中的3 個系數分別為λr，λc和λq將其稱為巖石地基的承載力系數，3 個系數分別為

至此，經過上述的推演所得到的式（19）即為完整軟巖地基極限承載力的計算公式。為便于在實際工程中應用，可在極限承載力計算值的基礎上考慮一定的安全系數Fs，便可得到完整軟巖中地基承載力的容許值qa，即

式（21）中的安全系數Fs一般可取為2～3。當巖石地基考慮地震和風荷載時安全系數取2，當基礎承受最大活荷載時安全系數取3。

三 討論與分析

在得到軟巖地基極限承載力計算表達式以后，為使學生更深入地掌握其用法，還可結合實際對計算公式在特殊工程條件下的應用進行討論與分析。主要討論的內容包括2 個方面。

當被動區巖石在AC 面上無附加荷載即qs=0 時，則式（19）即可簡化為

由式（22）可得，此時軟巖地基的極限承載力受巖石內摩擦角、黏聚力、巖石容重和巖石地基的寬度控制。

當被動區巖石在AC 面上無附加應力即qs=0，且不考慮巖石塊體的自重時，則式（19）可簡化為

此時，軟巖地基的極限承載力僅由巖石的黏聚力和內摩擦角提供。由式（23）可使學生進一步明確巖石黏聚力c 和內摩擦角φ 對巖石地基工程的實際意義。

通過以上對軟巖地基極限承載力計算過程的推導和教學設計，使巖石地基承載力的概念和計算方法的分析思路更加清晰和明確，有利于學生理解和掌握所講授的知識點和推演方法。將上述推演方法和教學設計通過2020—2022 年間西南交通大學開設巖石力學課程中的教學實踐表明，選修該課程的本科生中經考核約90%的學生均能理解和掌握軟巖地基承載力的計算方法，教學效果良好，達到和實現了課程教學大綱中對學生應掌握軟石地基承載力計算方法的教學目標和要求。

四 結束語

軟巖地基極限承載力的計算一直是巖石力學課程中重要的講授內容，但現有的教材和參考文獻中對推演過程和計算方法的講解并不明確與詳實，不便于學生的學習和理解。本文結合對此內容的具體教學實踐，給出了軟巖地基極限承載力及其容許值的推演過程和計算方法的教學設計。通過對軟巖地基剪切破壞的力學模型、主動區和被動區巖石應力、剪切面應力與作用力之間的換算、巖石發生剪切破壞的極限平衡條件以及巖石Mohr-Coulomb 剪切強度的講解和推演，使學生更容易理解和掌握相應的力學原理與計算方法，因而可實現良好的教學效果。