讓知識自然生長

王梅英

［摘 要］以“找次品”同課異構教學研討中產生的困惑為源頭，從教材中找到原型，關注教材中的數形結合、拓展板塊，把它們作為重新設計教學的突破口，在課堂重構中研究出關于“找次品”教學的策略。

［關鍵詞］結構化教學；教材分析；策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0062-04

筆者近期參加了“縉云—富陽”兩地名師課堂研訓活動，研修內容是人教版教材五年級下冊的“找次品”，活動形式為同課異構。在活動中，學生對“三分法”的理解引起了筆者的思考。

鏡頭一： 甲教師先以在81個乒乓球中找次品導入，引導學生化繁為簡，即從3個乒乓球開始研究。學生通過擺小圓片以及用“如果……就……”句式表示推理過程。接著甲教師引導學生研究8個乒乓球，學生得出多種分法：8（4，4）、8（3，3，2）、8（6，1，1）。隨即甲教師組織學生討論。

師：從8個乒乓球中找次品，怎樣分，找的次數最少？

生：把8個乒乓球分成3個、3個、2個，每份的數量均為質數。

鏡頭二：乙教師先直接以在3個零件中找次品導入，讓學生在任務的驅動下，通過操作初步感悟“三分法”。接著研究在5個、8個零件中找次品。最后用問題“你覺得至少稱的次數可能與什么有關？你知道怎么找了嗎？”引導學生討論。學生一致認為與分成的質數有關。

不同的教師、學生研究在8個物品中找次品的過程都比較順利，且學生對“三分法”的體會如此相似，都認為至少稱的次數與分成的每份的數量為質數有關。那么，到底是什么影響了學生的思維？難道僅僅是因為受剛學習的“質數”“合數”干擾嗎？還是有其他深層次原因呢？對盡量均分成三份的策略，學生怎樣才能理解更深刻？到底選擇怎樣的教學素材才更有探究價值？帶著這些困惑，筆者開展了“找次品”第一課時的教學實踐。

一、走進教材看本質——審讀原型

1.梳理教材，尋教學“邏輯序”

（1）整體把握

“找次品”是“數學廣角”的內容，而“數學廣角”屬于“綜合與實踐”領域。“綜合與實踐”是基于解決一些實際問題或經典題來獲得思想方法的特色板塊，旨在拓寬學生學習數學、應用數學的視角，強調思想方法與問題解決。“數學廣角”注重數學思想方法的滲透（見表1），與數學核心素養表現中的符號意識、推理意識、數據意識和模型意識高度關聯。

（2）內容梳理

找次品就是優化思想的體現。教材是這樣編排的：先通過找3個物品中的1個次品，讓學生初步認識找次品問題的含義，明確解決的基本方法；接著從8個零件中找1個次品，從各種解決方案中總結規律，再將規律應用到9個、10個、11個零件上加以驗證，由此歸納概括找次品的最優方法。可以看出，教材是以操作為載體，綜合了觀察、猜想、驗證、歸納、推理等活動，讓學生理解“盡可能將待測物品平均分成3份”的合理性。

2.把握學情，診學生“前經驗”

五年級的學生已經具有一定的邏輯推理能力和綜合運用所學知識解決問題的能力，但對于在生活中找次品的問題，學生之前很少接觸，沒有相關的學習與生活經驗，再加上找次品內在規律的隱蔽性，一堂課下來，學生仍是一頭霧水。筆者結合自身經驗，猜測學生在找次品中可能存在以下困難，并在后續教學中也證實了一些推斷。

（1）價值理解難。為什么盡可能平均分成3份，找的次數最少？天平明明只有2個盤，為什么要分成3份？

（2）清晰表達難。找次品需要借助天平平衡原理來推理，一旦數據稍微大一點，步驟就會比較多。天平平衡代表著什么？天平不平衡又代表著什么？學生難以清晰、有條理地表述。

（3）過程記錄難。教材呈現的直觀圖、流程圖、表格對學生來說稍顯復雜，不易記錄。

3.研讀課標，思目標“精定位”

任何一個問題的解決過程都是一次極富挑戰、極具魅力的數學探究之旅。在這一過程中，數學知識的獲得、數學技能的提高、數學思想的熏陶、數學活動經驗的積累都在悄悄發生。筆者時常思考一個問題：僅僅是讓學生被動地接受一種被前人證明是便捷的解法，然后通過反復操練，就能解決所有同類問題了嗎？

仔細研讀2022年版的課標后，筆者認為，找次品問題就為落實“四基”這一多維目標提供了很好的載體。在解決找次品這一問題的過程中，學生能清晰表達數學思維的過程，理解和掌握基本的邏輯推理和化歸思想方法，通過“比較—猜想—驗證”發現數學結論，從而全方位提高數學素養。

二、另辟蹊徑找突破——探尋關鍵

通過系統解讀教材、預估學情、學習課標，對于研討活動中出現的問題筆者已有了心理準備。教材的編排層層遞進，以學生原有知識為起點，但落實到課堂教學中，筆者發現有兩個不足之處：一是忽視了學生認知水平的差異；二是忽視了數學語言符號的簡潔性。這兩個不足，并不是說教材完全沒有考慮到，而是教師會忽略有關情況。如果教師能夠充分關注，并加以挖掘，便能使找次品最優策略的教學更加流暢。

1.關注教材中的數形結合

雖說“數缺形時少直觀”，但是如果“形”的運用反而讓學生感覺復雜，那么對于這個“形”，教師就需要斟酌。教材給出直觀圖加以引導，讓學生記錄找次品的思維過程（如圖1），再讓學生把不同的方案記錄在表格中（如圖2）。研讀教材后會發現，這樣的表達并不簡潔，的確需要教師進行再加工，幫助學生在找次品過程中建立清晰的路徑。

2.關注教材中的拓展板塊

每一堂課都有其核心知識，若承載的東西太多，反而會影響學生思維的發展。教材第一課時的內容包括關于“所測物品數目”與“保證能找出次品至少需要稱的次數”之間的關系以及探究規律（如圖3），無形當中會讓教師難以取舍：都取會使課堂超負荷，舍會讓學生學得不完整。對此，筆者認為將探究規律放在第二課時會更好。

三、關聯視角構體系——形成策略

找到了上述這些可突破的關鍵之處，對于找次品的教學，重新設計就有了策略——由簡單到復雜，由特殊到一般，讓學生在比較、猜想、驗證的活動中逐步感悟“三分法”的價值，并總結提煉出找次品的一般方法。

1.巧用素材，分層推進

情境的延續性可以更好地喚起學生的舊知，激發他們用所學知識解決新問題的需求。為此，筆者對例題做了改進和優化，整節課均以在木糖醇中找次品為情境，研究數量按照“3—4—9—其他”路徑推進（見表2），精心選取數據，明確選擇每一個數據的意圖，堅持從直觀到抽象的探究之路，并將“三分法”一以貫之，從而實現有結構地教、有關聯地學。

在本課核心環節中，筆者先放手讓學生在9瓶木糖醇中找次品，探索出四種稱法，即9（1，1，7）、9（2，2，5）、9（3，3，3）、9（4，4，1）。接著引導學生對比四種稱法，結合前面在3瓶木糖醇中找次品的經驗，討論“為什么平均分成3份稱的次數最少”這一核心問題，但不急于揭曉“三分法”的本質內涵，而是引導學生用更大的數據進行驗證：“是不是任何數量都是平均分成3份稱的次數最少呢？”最終順水推舟再次放手讓學生自主選擇瓶數加以驗證。學生選的瓶數有能平均分成3份的，也有不能平均分的。在對比多組材料后，學生討論總結出找次品的最優策略，從而構建數學模型。物品數從3的二次方到不是3的次方數，從特殊到一般，引發了學生的認知沖突，激發探究欲望，激活了學生的深度思維，促使學生發現規律。

回顧鏡頭一、二中的教學場景，筆者認為學生之所以出現認知偏差，是學生的活動經驗太少。學生僅僅研究了3個、5個、8個物品，教師就馬上組織討論，試圖發現規律，卻忽視了此時的學生還沒能真正體會“三分法”的內涵，而且3個、5個、8個這些數量較小，不足以發現“三分法”的內涵，導致學生出現認知偏差。

2.提供支架，助力探究

邏輯推理是貫穿本節課始終的重要思想方法。在找次品過程中，前后步驟之間緊密相關，表述冗長且煩瑣，那么，要怎樣清晰、有條理地表示出邏輯推理過程？筆者提供了以下3個支架。

【支架1】小正方體

為避免學生形成思維定式，同時借助多元表征探索解決問題的策略，筆者讓學生借助小正方體模擬找次品的過程，滿足不同學生的思維需求，引導學生把操作與思維聯系起來。

【支架2】記錄表

在借助操作的基礎上，教師需要提供給學生一塊生長的基石，這樣才能讓學生找次品的經驗真正生長。學生通過記錄表的方式，從初級思維（見表3）躍升到高層次思維（見表4）。筆者尊重學生的個體差異，讓學生自己嘗試用直觀圖、流程圖、文字或符號表示推理過程，讓數學思維可視化。另外，通過集體交流，統一符號記錄方式，使不同層次的學生以符號語言為依托，為研究更為復雜的找次品問題提供了保證。

【支架3】簡易天平

學生在完成“想—做—寫—說”的合作探究后，開展匯報交流環節。為強化數學思維過程的表達，筆者給學生提供了簡易天平的教具（如圖4）。

3.對比聯結，厘清本質

無論待測物品能平均分成3份還是不能平均分成3份，找次品的內在規律是一樣的。為了讓學生深入理解“為什么盡量平均分成3份，稱的次數最少”，筆者讓學生先自主操作，再組織多次對比，引導學生充分經歷“比較—猜測—驗證”的探究過程。如在16個物品中找次品，分成（8，8）與分成（5，5，6）對比，分成（5，5，6）與分成（1，1，14）或其他三份對比，學生的思維在一次次對比中相互碰撞，消除了生活原型對數學模型建構的干擾。最終，學生在沖突中逐漸明白“最大限度排除，讓次品所在的范圍最小，稱的次數就最少”，從分率上幫助學生

知識是長出來的，知識生長的過程是方法的習得、思維的培養、學科素養的落地生根。知識的生長必須借助教師對學情的把握和對教材的創造性使用。為未知而教，為未來而學。找次品教學如此，其他亦如此。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 斯苗兒.好課多磨[M].北京：人民教育出版社，2021.

[3] 吳亞萍.中小學數學教學課型研究[M].福州：福建教育出版社，2014.