注重背景 把握關(guān)聯(lián) 培養(yǎng)學科抽象思維
——從2023屆湖北七市(州)聯(lián)考的解析幾何試題談起

廣東省惠州仲愷中學(516229) 陳偉流

《普通高中數(shù)學課程標準》(2017 年版2020 年修訂)在教學建議中強調(diào):教師要加強學習方法指導,幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣,敢于質(zhì)疑、善于思考,理念概念、把握本質(zhì),數(shù)形結(jié)合、明晰算理,厘清知識的來龍去脈,建立知識之間的關(guān)聯(lián)[1]. 以幾何與代數(shù)模塊主線為例,教師在解析幾何模塊的教學活動中,要特別引導學生關(guān)注不同試題在數(shù)學背景上的邏輯關(guān)聯(lián)性,引導學生在整體上理解,從系統(tǒng)中掌握所學知識,把握其通性通法,促使數(shù)學知識在邏輯上成為深度關(guān)聯(lián)的整體,從而有利于學生形成相關(guān)數(shù)學命題或模型,進一步以高階思維認識數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)與體系,從而促進學生培養(yǎng)好學科抽象思維. 基于此,筆者以一道市聯(lián)考解析幾何試題為例,通過深入分析試題的一般背景及其關(guān)聯(lián)的推廣性質(zhì),闡述點滴教學心得,以期與讀者交流.

1 試題再現(xiàn)

題目(2023 屆湖北七市(州) 聯(lián)考) 如圖1, 已知橢圓的右頂點為A,左焦點為F,過點F作斜率不為零的直線l交橢圓于M,N兩點,連接AM,AN分別交直線于P,Q兩點. 過點F且垂直于MN的直線交直線于點R.

圖1

(1)求證:點R為線段PQ的中點;

(2)記?MPR,?MRN,?NRQ的面積分別為S1,S2,S3,試探究:是否存在實數(shù)λ使得λS2=S1+S3? 若存在,請求出實數(shù)λ的值;若不存在,請說明理由.

解(1)略;(2)存在使得λS2=S1+S3,過程略.

評注試題以直線與橢圓的位置關(guān)系為切入基礎(chǔ),考查函數(shù)與方程,轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學思想方法的應(yīng)用,注重運算求解,邏輯思維等基本關(guān)鍵能力的培養(yǎng),以定值的考查形式傳達出新課標理念下對數(shù)學運算,邏輯推理,數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)的試題命制導向,蘊含數(shù)學探索和理性思維的育人宗旨,彰顯著試題區(qū)分度大,選拔性強,示范性高等鮮明特點,在高考備考工作具備典型的選材參考與二次開發(fā)的研究價值.

2 一般背景

注意到橢圓的焦點及準線是一對特殊的極點與極線,直線MN,RF斜率積為定值,故筆者初步判斷此為產(chǎn)生中點屬性及面積成等差問題的先決條件. 為此,筆者將橢圓背景中的所有要素進行一般化處理,進一步深入探索,有

性質(zhì)1已知橢圓的右頂點為A, 過定點E(t,0)(t /= 0 且|t| < a) 且斜率不為零的直線l交橢圓于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,連接AM,AN分別交直線于P(x3,y3),Q(x4,y4) 兩點, 點R在直線上且直線RE,MN斜率積為定值記?MPR,?MRN,?NRQ的面積分別為S1,S2,S3,則R是線段PQ的中點且

證設(shè)直線MN方程為由得

聯(lián)立直線lMN:x=my+t與橢圓的方程得(m2b2+a2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,則

考慮lAM:與x=a2/t交點得;同理得Q

則

故R是線段PQ的中點.

點R到lMN的距離為故

由于

注當E為橢圓的焦點時, 有kRE · kMN=-1, 即RE⊥MN,此時(e為橢圓的離心率),這便是本試題的一般命制背景.

注意到試題載體中點R關(guān)聯(lián)著動點P,Q及直線RM,RN,RO,RE, 若立足極點極線知識理論為研究基礎(chǔ)點,在知識深度上能否探索出更多結(jié)構(gòu)和諧對稱的優(yōu)美性質(zhì)呢? 進一步在知識廣度上類比到圓錐曲線體系(雙曲線、拋物線),類似的相關(guān)性質(zhì)是否仍成立? 如何從知識高度的本質(zhì)上認識拋物線與橢圓(雙曲線)載體中性質(zhì)的異同性?

3 性質(zhì)拓展

性質(zhì)2如圖2, 已知橢圓0) 的右頂點為A, 過定點E(t,0)(t /= 0 且|t| < a) 且斜率不為零的直線l交橢圓于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點, 連接AM,AN分別交直線兩點,點R在直線上且直線RE,MN斜率積為定值則有

圖2

(2)以PQ為直徑端點的動圓過x軸上的雙定點;

(3)直線OR平分弦MN;

(4)直線RM,RN均與橢圓相切;

(5)設(shè)直線PA,PN,RE的斜率分別為k1,k2,k3,則有為定值.

故

(2)以線段PQ為直徑端點的圓方程為

令y= 0 得即x=故動圓恒過定點

(3) 設(shè)弦MN的中點為D, 由橢圓的垂徑定理知kOR,故O,D,R三點共線,即OR平分弦MN.

(4)橢圓在點M(x1,y1)處的切線方程為聯(lián)立得=yR,即直線RM與橢圓相切;同理可證直線RN也與橢圓相切.

(5) 設(shè)B(-a,0) 為橢圓的左頂點. 首先證明:且P,N,B三點共線.

實 際 上, 由(?) 知聯(lián)立得

故P,N,B三點共線.

故

故

4 類比推廣

基于圓錐曲線知識體系的統(tǒng)一關(guān)聯(lián)性,將上述探索背景進一步推廣到雙曲線及拋物線,有

性質(zhì)3如圖3,已知雙曲線的右頂點為A,過定點E(t,0)(t /= 0 且|t| > a)且斜率不為零的直線l交雙曲線于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點, 連接AM,AN分別交直線兩點,點R在直線上且直線RE,MN斜率積為定值則

(1)點R為線段PQ的中點且OR平分弦MN;

(3)P,Q兩點的縱坐標乘積為定值且以PQ為直徑端點的動圓過x軸上的雙定點

(4)直線RM,RN均與雙曲線相切;

(5) 記?MPR, ?MRN, ?NRQ的 面 積 分 別 為

(6)設(shè)直線PA,PN,RE的斜率分別為k1,k2,k3,則有為定值同樣地,對于雙曲線的左頂點,則有的結(jié)論.

注雙曲線載體中性質(zhì)的證明與橢圓類似,故在此從略.

圖3

圖4

性質(zhì)4如圖4, 已知拋物線y2= 2px(p >0) 的頂點為O,過定點E(t,0)(t >0)且斜率不為零的直線l交拋物線于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點,連接OM,ON分別交直線x=-t于P(x3,y3),Q(x4,y4)兩點,點R在直線x=-t且直線RE,MN斜率積為則

(1)y1=y3,y2=y4;

(2)P,Q兩點的縱坐標乘積為定值且以PQ為直徑端點的動圓過x軸上的雙定點;

(3)點R為線段PQ的中點且直線RM,RN均與拋物線相切;

(4) 記?MPR, ?MRN, ?NRQ的 面 積 分 別 為S1,S2,S3,有

證聯(lián)立則y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.

(2)由(1)知y3y4=y1y2=-2pt,故以PQ為直徑端點的動圓方程為(x+t)2+(y-y3)(y-y4) = 0. 令y= 0 得即動圓恒過x軸上的定點

(3)由kRE ·kMN=知直線RE方程為lRE:y=聯(lián)立

注基于橢圓(雙曲線) 在幾何圖形上“有心”屬性, 拋物線載體中并未能出現(xiàn)如性質(zhì)2 與性質(zhì)3 中“OR平分弦MN”與“斜率差積為定值”的優(yōu)美結(jié)論,但也正因拋物線中極點極線的特殊對稱性,使其既承接關(guān)聯(lián)著橢圓(雙曲線)的相關(guān)性質(zhì),又展示出自身性質(zhì)更加獨特的一面,可見,在課堂實踐中,若能帶領(lǐng)學生經(jīng)歷推廣論證的過程,站在知識的高度上明晰不同載體間性質(zhì)的異同性,便能自然地培養(yǎng)具有辯證觀點的認知抽象思維.

4 結(jié)束語

隨著“三新”背景高考改革的實施與推廣,高考試題命制的定位已悄然從能力立意轉(zhuǎn)向素養(yǎng)導向. 以解析幾何模塊的常規(guī)教學為例, 教師不能只是對眾多數(shù)學結(jié)論作簡單表述,而是應(yīng)該在知識深度的層面上重視并體現(xiàn)相關(guān)結(jié)論產(chǎn)生的背景及其形成發(fā)展的過程,在分析論證的過程中,引導學生在深度上主動探討,在廣度認識構(gòu)建,在高度上充分理解,促使學生厘清知識本源方面的來龍去脈,從而才能引領(lǐng)學生發(fā)展并培養(yǎng)好具有高觀點的學科抽象思維.