初中數學“一題多解與一題多變”教學研究

陳斌

【摘要】“一題多解與一題多變”是數學教師所要關注的重要內容，這兩種解題訓練模式的構建可以突破原有解題教學的結構，幫助學生更加深入地認識數學習題的解題方法，這對其解題能力的提升與發展有著重要的意義.為了構建“一題多解與一題多變”教學課堂，教師需要對其價值進行分析研究，再從實際教學的開展出發探尋有效教學設計的方法，對初中數學“一題多解與一題多變”教學的開展方法進行探究.

【關鍵詞】初中數學；一題多解；一題多變；教學研究

數學是初中階段學生所要學習的重要學科，在中考中占有重要的分數比例，為了幫助學生成功通過中考的考驗，教師需要從實際出發進行數學習題的篩選，引領學生進行“一題多解”的研究，帶領學生思考解題的多種方法，再通過習題變形設計的研究，來設計變式問題，以此推動學生的解題思考，發展學生的解題能力.在實際教學中，教師可以圍繞解析原題結構、融合數學思想、設置多解訓練、構建多變訓練、引領學生歸納五個方面來開展教學.

一、“一題多解與一題多變”的價值分析

“一題多解”是多元解題方法的顯現，其可以讓學生針對一道習題進行多種解題方法的思考.一般而言，每一種解題方法都印證著一條不同的解題思路.多解題的展示與引導解析，可以幫助學生了解習題的解法與其背后隱含的解題思維，進而開闊學生的解題視野，提升學生的思維靈活度，對學生的發展有著重要的意義.

“一題多變”是變式思想的顯現，在“一題多變”的訓練設計中，教師將選取典型的習題作為原式，通過題目條件調整、問題新擬、題目信息倒置等方法將原本的習題轉化為多道表現形式不同的習題.此時，教師就可以從習題的不同特征出發引領學生進行訓練，并發展學生的解題能力.在這一類習題的解題中，教師可以引導學生對習題的特征進行歸納，并圍繞習題的快速解答進行建模設計，構建合理化的解題模型.

二、“一題多解與一題多變”教學的開展方法

（一）解析原題結構，分析習題特征

原題的解析與研究是幫助學生進行“一題多解或一題多變”的基礎，教師要展示原題，幫助學生認識原題的突出特點，并引領學生深入解析原題.在實際的展示過程中，教師需要利用課前時間進行檢索，搜集教學展示所需的習題，并在課上對習題進行展現，重點圍繞習題的考查點進行分析，解析相關習題解答需要的條件.如，在實際教學中，教師便可以為學生展示如下原題：

例題 兩個連續奇數的積是323，求出這兩個數.

分析 通過研究可以發現，習題考查的內容為一元二次方程的應用，習題的解題關鍵是條件中給出的描述語“兩個連續奇數的積是323”.學生可以從一元二次方程的不同未知數設列出發得出多種不同的解法.其中，教師可以為學生展示“將較小的奇數設為x”“將較大的奇數設為x”“將x設為任意整數”“將兩個連續奇數設為x-1和x+1”，這四種設列方法可以對應四種不同的解題方法.四種解題方法看似都是對一元二次方程的應用，但其切入思考的角度存在差異.通過這一展示，教師便可以引導學生對題目進行系統的認識與理解，為之后“一題多解和一題多變”的思索研究做好鋪墊.

為了讓學生了解“一題多變”的意義，使其了解相關題目的特點，教師可以選擇原題進行調整，構建一些簡單的變式題.在變式題的設計上，針對該習題，教師通過調整問法的形式即可生成多個變式，如教師可以將習題改制為“兩個連續奇數的積是399，求出這兩個數”，通過調整題干的數字大小來實現對題目的簡單變更，讓學生進行解答.教師也可以將習題改制為“兩個連續偶數的積是440，求出這兩個數”，通過題目條件的對應變更，生成與原題相似的變式題.在完成變式題的設計后，教師可將其展示給學生，讓學生就變式題與原題的差別進行分析，使其探析題目發生的變化.

（二）融合數學思想，研究解題方法

解題方法的掌握與否直接關系到學生解題能力的發展，教師要關注“一題多解”的教學，從解題方法的內涵思想入手進行解析，讓學生聯系解題方法進行分析，找出方法中隱含的解題理念.在實際教學中，“一題多解”的研究需要教師為學生創建相應空間，幫助學生探尋解答題目的多種解法.在實際教學中，教師要從學生的發展出發選擇適于學生進行多解探究的例題，并結合問題的解法分析進行多方面展示.如，在實際教學中，教師便可以為學生展示如下習題，引導學生從習題的特點出發來研究相關題目的多種解法：

例題 某人買13個雞蛋、5個鴨蛋、9個鵝蛋，共用去9.25元；若買2個雞蛋，4個鴨蛋，3個鵝蛋，則會用3.20元，若每種蛋只買一個，需要用多少錢？

分析 通過簡要分析可以得出該題目考查的是三元一次方程組的內容，但由于題目中只提供了兩組等量關系，因此若想分別求出三種蛋的單價是不現實的，但題目所求的內容為三種蛋的共價，所以可以通過式子的變形來求解.在明確了這一思路后，學生就可以圍繞學過的數學方法選擇方向，尋找有效列式解答的方法.

方法一 湊整法

通過分析可以發現，這一方法應用了化歸的數學思想，利用這一思想可以轉換與調整題目的條件，讓算式簡化，從而得出可以計算解答的式子.在講授這一解題方法時，教師要注意開展數學思想的拓展活動，讓學生了解化歸思想及其在解題中的實際應用.

方法二 主元法

這一方法是對函數方程思想與化歸思想的融合運用，其核心在于將方程的三個未知數進行區別看待，將x，y作為未知數處理，將z視為一個常數，以此對方程變形：

通過分析可以發現，主元法實質上是對函數與方程的運用，選擇適當的字母作為主元可以起到化難為易的作用.在上述習題解答中所使用的主元法，其特征是將未知數進行區別看待，形成一個特殊的數學關系，符合方程思想的構成要求，即從問題中的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程（組）、不等式（組）、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.在實際教學中，教師要為學生解讀函數方程思想的構成，并展現函數方程思想在常見問題中的運用實例.

方法三 參數法

觀察式子之間的關系，得①-②×3可以消去z，再化簡可得x-y=-0.05 ④

③×3-②可以得到x-y=3k-3.20 ⑤

此時通過式子④和⑤可以得到3k-3.20=-0.05，所以k=1.05，此時可以得到x+y+z=1.05.

解析 上述三種方法對應了三種解題思路，而每一種解題思路還可以延伸出新的解題方法，限于篇幅此處不再贅述，教師在進行解析教學時，可以讓學生嘗試著尋找額外的習題解答方法.

參數法是指在解題過程中通過引入一些與題目研究的數學對象發生聯系的新變量（參數），再進行分析和綜合，從而解決問題的方法.這一方法從數學思想的角度來看，其同樣運用了化歸的數學思想，通過參數的引入，用參數代指一部分數學量，從而將算式轉換為有利于解答的形式，從而實現有效解答.

通過上述三種解題方法與其對應數學思想的解讀，學生就可以在不同解法的研究中認識數學思想的拓展應用價值，獲得解題意識和認知的提升.為了發展學生的解題能力，讓“一題多解”真正發揮作用，教師還需要為學生設計針對性的練習，用練習推動學生解題能力的提高與發展.

（三）設置多解訓練，推動學生探究

“一題多解”的訓練其目的在于幫助學生認識多種解題方法，從解題方法的探究入手，帶領學生認識數學習題解答的多種思想.在實際教學中，教師要考慮學生的發展情況，選取難度合理且解法較多的習題進行展示，構建有效的多解訓練，幫助學生學習解答問題的多種解法.

練習題3 甲、乙、丙三種貨物，若甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.請問：買甲、乙、丙各一件需要多少錢？

在展示了上述練習題后，教師需要引導學生解答題目，并要求每名學生至少找出兩種解法.在這一環節，為了滲透分層理念，教師可以要求發展較好的學生最少找出3種解題方法，并要求其對解題方法的思路進行整理分析，以便在班級中進行匯報與展示.在學生實際解題過程中，教師要關注學生的解題情況，分析學生的思維拓展能力發展情況，并借助引導性的語言對學生進行點撥，推動學生主動思考.

（四）構建多變訓練，促進學生拓展

“一題多變”的訓練需要教師秉持“萬變不離其宗”的核心思想，對習題的題干信息、提問方式、條件構成進行調整，并從學生的實際解答出發來引領學生分析相關的變式題組.在學生解答前，教師需要圍繞解題模型的建立與公共解題思路的明確來提出問題，引導學生在解答問題的同時進行思考.為確保變式題具有較高的質量，教師在設計變式題時要從原式的各個角度思考延伸，選擇不同的方向來設置對應的題目.如，在實際教學中，教師便可以展示如下習題：

原式 依次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形可稱為中點四邊形.求證平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形.

變式一 按照原式所給條件，求證矩形的中點四邊形是菱形.

變式二 按照原式所給條件，求證正方形的中點四邊形是正方形.

變式三 一個四邊形的中點四邊形是平行四邊形，請問這個四邊形可能是什么圖形？

原式 一個寬為50cm的長方形圖案由10個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

變式一 一個寬為50cm的長方形圖案由20個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

變式二 一個寬為100cm的長方形圖案由10個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

變式三 一個寬為50cm、長為100cm的長方形圖案由8個相同的小正方形拼成，試求出每個小正方形的邊長.

在實際教學中，教師在給出變式練習后，要引導學生對相關的題目進行分析、求解.在學生解答的過程中，教師要關注學生的解題情況，并予以幫助與引導，讓學生總結各個變式題與原題的不同之處.對于學生給出的答案，教師要認真判定，并引導學生回顧與整理.在學生完成變式題的解答后，教師可以引導學生進行拓展思考，讓其嘗試著對原式進行變形，然后采用同桌互換的方式來完成相關習題的解答.在這一過程中，學生的思維會變得更為開闊，其創造能力也能得到培養與發展.

（五）引領學生歸納，培養模型意識

模型意識與能力是數學核心素養的關鍵構成，新課標強調對學生數學核心素養的培養.模型意識與能力的培養關系到學生解題能力的發展，具有較強建模能力的學生可以更好地實現一類習題的解答.為了培養學生的模型意識與能力，教師可以引導學生對一題多變習題進行分析思考，讓其對比原式與變式題，逐一分析其差異，對相關習題進行二次分類.在分類完成后，教師可以引導學生對一類習題的解題方法進行系統總結與整理，構建解答相關題目的有效數學模型.

如，在實際教學中，教師便可以依托一題多變教學的進行，引領學生對數學一題多變習題的原式與變式題進行歸納，從公共解答思路中總結出解題的通用方法，建立解題模型.在這一過程中，為了發揮學生群體的主動性，讓其進行協作探究，教師可以從學生發展入手劃分學生小組，并布置針對性的探究任務，讓其合作完成整理探究任務.學生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升與發展.

結 語

綜上所述，“一題多解與一題多變”是開展數學解題教學的一種有效模式.通過解題教學的進行，教師可以幫助學生實現解題理念的發展，有效地推動其解題能力水平的提升.在實際的教學中，教師需要進行習題的解析研究，從解題方法的多元介紹與習題的變式展示兩個方面進行系統構建，幫助學生認識并掌握相關習題的有效解答方法.在學生了解了相關的內容后，教師還要依托教學的進行，推動學生進行歸納，發展并培養其模型意識.

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