新課改背景下初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧研究

楊柳

摘 ?要：隨著新課改的推進(jìn)，教師面臨著如何更好地教授初中數(shù)學(xué)，特別是三角函數(shù)這一核心課題的挑戰(zhàn)。三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，也是許多高級(jí)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。然而，學(xué)生在理解和應(yīng)用三角函數(shù)方面，往往存在困難。因此教師需要研究更有效的教學(xué)方法，幫助學(xué)生掌握三角函數(shù)的解題技巧。文章分析了三角函數(shù)的各種解題技巧，包括加強(qiáng)對(duì)公式的記憶、利用正弦定理和余弦定理、利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解不等式的解集等，從而提高學(xué)生的解題正確率、解題速度和靈活性，以供廣大教師參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；解題技巧

一、新課改背景對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求

（一）強(qiáng)調(diào)“活動(dòng)化”的教學(xué)方法

新的教育改革強(qiáng)調(diào)了“活動(dòng)化”的教學(xué)方法。活動(dòng)化教學(xué)是通過一系列的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，以增強(qiáng)他們的實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)各種活動(dòng)，如讓學(xué)生自己通過實(shí)際操作和觀察，發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學(xué)的概念和規(guī)律，而不僅僅是被動(dòng)地接受知識(shí)。

（二）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性

在當(dāng)前的教育改革中，我國教育部門強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性，這對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求。教師不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能，還要教會(huì)學(xué)生如何將這些知識(shí)和技能應(yīng)用到實(shí)際生活中，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過多種方式實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)：一方面，教師可以在教授數(shù)學(xué)理論和概念時(shí)，結(jié)合生活實(shí)例進(jìn)行講解。例如，在教授比例和比例關(guān)系時(shí)，教師可以引入菜市場(chǎng)購物、家庭經(jīng)濟(jì)預(yù)算等真實(shí)生活場(chǎng)景，讓學(xué)生親身感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用；另一方面，教師可以設(shè)計(jì)一些基于現(xiàn)實(shí)生活問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)或項(xiàng)目。這種方式，不僅可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，還可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)處理和解決問題的能力。

（三）突出個(gè)體化教學(xué)

在教育改革中，個(gè)體化教學(xué)的重要性得到了強(qiáng)調(diào)，這對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響。教師需要認(rèn)識(shí)到，每一個(gè)學(xué)生都是獨(dú)特的個(gè)體，學(xué)生在知識(shí)掌握、認(rèn)知方式和興趣愛好等方面，都有其各自的特點(diǎn)和需求。因此教師需要根據(jù)每個(gè)學(xué)生的實(shí)際情況，針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，這是新的教育改革理念所倡導(dǎo)的。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)個(gè)體化教學(xué)的方式有多種。在此過程中，教師可以通過課堂教學(xué)中的個(gè)別指導(dǎo)、小組活動(dòng)等方式，關(guān)注每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程和存在的問題，并提供針對(duì)性的幫助和指導(dǎo)。

二、新課改背景下初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的常見題型

（一）三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式

在新課改的背景下，作為初中數(shù)學(xué)教師，對(duì)三角函數(shù)的教學(xué)需求和策略，應(yīng)有所改變。教師應(yīng)深入理解三角函數(shù)的概念，尤其是同角關(guān)系式，然后設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的題目，以檢驗(yàn)和提升學(xué)生的理解能力。其中一個(gè)常見的題型是考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律。

題目：設(shè)α為第二象限的一個(gè)角，并且已知cosα= ?-，求sin2α和cos2α的值。

在解答這類題目時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，例如sin2α=2sinαcosα和cos2α=cos2α-sin2α。同時(shí)，學(xué)生也需要注意三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律，例如在第二象限中，正弦函數(shù)值為正、余弦函數(shù)值為負(fù)。

在講解這類題目時(shí)，教師需要詳細(xì)解析三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，展示如何從已知的cosα推導(dǎo)出sin2α和cos2α；同時(shí)也需要指出分類討論的重要性，例如需要知道α在第二象限，從而確定出sinα的符號(hào)是正，cosα的符號(hào)是負(fù)。這一步是解題的關(guān)鍵，也是許多學(xué)生容易忽視的地方。

教師還需要強(qiáng)調(diào)，學(xué)生在解答這類題目時(shí)，正確選取三角函數(shù)值符號(hào)的重要性。在這個(gè)題目中，由于α在第二象限，因此sinα應(yīng)該選取正數(shù)，cosα應(yīng)該選取負(fù)數(shù)。這是根據(jù)三角函數(shù)的基本性質(zhì)和象限的知識(shí)得出的結(jié)論。

（二）化簡(jiǎn)求值

新的教育改革要求，初中數(shù)學(xué)教師在三角函數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)更多地考慮學(xué)生的主動(dòng)性和創(chuàng)新性，而化簡(jiǎn)求值題型則是一種很好的實(shí)踐方式。這類題目主要考查三角函數(shù)的變換，尤其是和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用。以下是一個(gè)具體的題目示例：

題目：已知sinα=（α在第一象限），求sin2α+cos2α的值。

這是一個(gè)典型的化簡(jiǎn)求值題型，需要學(xué)生運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。在解答這類題目時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生正用和逆用各種三角函數(shù)公式，靈活地進(jìn)行變形和計(jì)算：

1. 教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)問題的基本結(jié)構(gòu)，然后找到合適的公式進(jìn)行變換。在這個(gè)問題中，學(xué)生需要知道sin2α+cos2α=1，這是一個(gè)基本的三角函數(shù)公式，因此題目的答案應(yīng)該是1。

2. 教師需要引導(dǎo)學(xué)生注意到，盡管在這個(gè)問題中，并沒有直接使用到sinα和cosα的值，但這兩個(gè)值在解決其他類似的問題時(shí)，可能會(huì)有用。例如，如果問題是求sin2α或cos2α的值，學(xué)生就需要使用到sinα和cosα的值，并運(yùn)用倍角公式進(jìn)行計(jì)算。

題目：假設(shè)已知sinα=（α在第一象限），要求計(jì)算sin

α+

+cos（2α）的值。

解決這個(gè)問題，需要學(xué)生熟練運(yùn)用三角函數(shù)的和差角公式以及倍角公式。為了引導(dǎo)學(xué)生正確地解答這類問題，教師需要注意以下幾點(diǎn)：

1. 對(duì)sin

α+

這部分，需要學(xué)生知道sin

α+

=cosα，這就是和差角公式的一個(gè)應(yīng)用。由于α在第一象限，根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算得到：cosα=。

2. 對(duì)cos（2α）這部分，需要學(xué)生知道cos（2α）=1-2sin2α，這是倍角公式的一個(gè)應(yīng)用。已知sinα=，可以得到：cos（2α）=1-2x

=-。

3. 學(xué)生需要將sin

α+

和cos（2α）的值相加，得到最后的結(jié)果：-=。

在這個(gè)過程中，教師需要強(qiáng)調(diào)公式的運(yùn)用以及對(duì)不同公式應(yīng)用在不同場(chǎng)景中的理解；需要著重引導(dǎo)學(xué)生掌握如何在三角函數(shù)的加減變換中，尋找到合適的三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

三、新課改背景下初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧

（一）加強(qiáng)對(duì)公式的記憶

在新課改的背景下，作為初中數(shù)學(xué)教師，需要注重培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，提升他們解題的正確率、速度和靈活性。在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，公式的記憶和理解尤其重要，這包括定義式、函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式以及基本公式，教學(xué)過程如下；

首先，教師應(yīng)以具體的題目為例，展示公式在解題中的應(yīng)用。

題目：設(shè)角α在第一象限，已知sinα=，求cos（2α）的值。

在這個(gè)題目中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用倍角公式cos（2α）=1-2sin2α來解答。通過這個(gè)實(shí)例，教師不僅可以教導(dǎo)學(xué)生如何應(yīng)用公式，還加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)倍角公式的記憶。

其次，教師需要讓學(xué)生理解公式背后的數(shù)學(xué)意義，這樣學(xué)生才能在不同的問題中進(jìn)行靈活運(yùn)用。在以上題目中，教師可以解釋cos（2α）=1-2sin2α這個(gè)公式是如何由三角函數(shù)的定義和性質(zhì)推導(dǎo)出來的。學(xué)生只有深入地理解了公式的由來，才能在面對(duì)不同的題目時(shí)，自如地選擇和運(yùn)用公式。

再次，教師還可以設(shè)計(jì)一些訓(xùn)練題目，讓學(xué)生熟練運(yùn)用各種公式。

如奇變偶不變、符號(hào)看象限的實(shí)際問題：

題目：已知α在第一象限，tanα=，求tan（270°+α）和tan（360°+α）的值。在這個(gè)問題中，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生分析270°、360°與90°的倍數(shù)關(guān)系，270°是3個(gè)90°，是奇數(shù)倍，因此tan變?yōu)閏ot；360°是4個(gè)90°，是偶數(shù)倍，因此tan不變。然后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“符號(hào)看象限”的規(guī)則，即因?yàn)?70°+α在第四象限，tan在此象限為負(fù)，所以tan（270°+α）的值為-；360°+α回到第一象限，tan在此象限為正，所以tan（360°+α）的值為。在這個(gè)過程中，教師可以重點(diǎn)解釋“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的規(guī)則，讓學(xué)生明白這個(gè)規(guī)則的由來和意義，然后通過實(shí)例讓學(xué)生熟練應(yīng)用這個(gè)規(guī)則。同時(shí)教師可以設(shè)計(jì)更多類似的題目，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，以進(jìn)一步加強(qiáng)他們對(duì)公式的記憶。

（二）利用正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，可以解決許多涉及三角形的問題，如下：

題目：已知直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=10，求AC的長(zhǎng)度。

解答這個(gè)問題需要利用正弦定理。正弦定理為：在任意三角形中，任意一邊的長(zhǎng)度與其對(duì)應(yīng)角的正弦值之比是恒定的，即==。

為了解答這個(gè)問題，教師需要先引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為=的形式；然后引導(dǎo)學(xué)生將已知的角度和邊長(zhǎng)代入公式，得到=。通過計(jì)算，可以得到AC的值為5。

在此過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解正弦定理的意義，并教會(huì)他們?nèi)绾握_地將正弦定理應(yīng)用到實(shí)際問題中；需要著重強(qiáng)調(diào)正弦值的計(jì)算和三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。此外，教師還可以設(shè)計(jì)一些類似的問題，讓學(xué)生多加練習(xí)，以提高他們運(yùn)用正弦定理解決問題的能力。

（三）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解不等式的解集

利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解不等式的解集，是初中數(shù)學(xué)課程中的一項(xiàng)重要技能。想要解決該問題，學(xué)生不僅要熟悉三角函數(shù)的基本性質(zhì)，還要理解和運(yùn)用其圖象特性。

題目：求解不等式2sinx-1≥0的解集，其中x∈［0，2π］。

為了解答這個(gè)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先將不等式轉(zhuǎn)化為sinx≥，然后考慮sinx函數(shù)在［0，2π］區(qū)間的圖像。眾所周知，sinx在

，

區(qū)間內(nèi)的值大于或等于。因此解集就是x∈

，

。這個(gè)問題涉及了三角函數(shù)的基本性質(zhì)（正弦函數(shù)在第一、第二象限為正）和圖象特性（正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減），教師需要幫助學(xué)生理解并熟練掌握這些內(nèi)容。

在教學(xué)過程中，教師可以設(shè)計(jì)更多類似的問題，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，特別是要注重引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，這對(duì)學(xué)生解決更復(fù)雜的問題意義重大。

文章深入研究了新課改背景下初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的解題技巧，提出了一系列具體的教學(xué)策略。在實(shí)際的教學(xué)過程中，教師可以通過加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的記憶、利用正弦定理和余弦定理，以及三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解不等式等方法，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。同時(shí)，還可以提升他們對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，更好地滿足新課改的要求。

參考文獻(xiàn)：

［1］柳潔. 培養(yǎng)初中生建模思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)摭探——以“銳角三角函數(shù)”為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（08）：28-30.

［2］劉瓊瓊. 淺析初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)優(yōu)化措施［J］. 文理導(dǎo)航（中旬），2022（03）：37-39.

［3］許家健. 初中數(shù)學(xué)“規(guī)律探索型概念課”的教學(xué)誤區(qū)及改進(jìn)措施——以《銳角三角函數(shù)》概念課為例［J］. 數(shù)理化解題研究，2022（32）：62-64.

（責(zé)任編輯：鄒宇銘）