構筑大觀念：數學概念教學與微課的深度融合

［摘? 要］ 《義務教育數學課程標準（2022年版）》建議初中數學教學要創設源于現實世界的真實情境，以不同方式發現數學、感知數學、品味數學，形成科學觀念，學會用數學的眼光觀察世界、數學的思維分析世界、數學的語言描述世界. 大觀念是學科育人最具價值的認知，統領課程內容的組織、教學活動的設計和學科評價的方式，體現單元教學的整體性和關聯性. 文章以學生需求為切入點，微課為延展點，大觀念為聚焦點探討初中數學概念教學與微課的深度融合.

［關鍵詞］ 大觀念；數學概念；微課；深度融合

大觀念是一種基于學科知識又高于學科知識的認知，明白知識從哪里來，又能解決哪些問題. 這種觀念的形成，單靠學科知識的積累是不夠的. 它需要借助媒介，了解數學概念的前世今生，才能把它和生活以及其他學科之間的共性聯系起來，形成科學大觀念. 微課作為在線教育重要組成部分，在課堂教學中也能發揮其短小精悍、覆蓋面廣、靈活性強等特點，為知識的自然生成添磚加瓦，是數學概念教學的新生力量. 為學生知識背景的獲取，抽象思維可視化提供了機會，為科學大觀念的建構開辟了一條充滿魅力、活力和生命力的探索之路. 對于微課與初中數學概念教學的深入融合，筆者有以下一些感悟.

初中數學概念學習的現狀及分析

數學概念反映的是客觀事物間的空間形式與數量關系方面的本質屬性，是整個數學知識體系的基礎，在數學學習和教學中具有重要地位. 然而，數學概念始終是學習的薄弱環節，大多數學生都停留在記憶、理解、應用的初級認知階段，只有少數學生能達到高級認知階段并形成大觀念. 導致這種現狀的原因是什么？筆者為了解原因，針對概念教學設計了一份網絡調查問卷. 抽樣對象為初中數學一線教師（江蘇省85%，其他省份15%）；樣本容量為197，回收率為83%. 根據問卷數據分析，得到如下結論.

1. 初中數學概念教學現狀

（1）概念和定義界定不清.

根據調查數據可知，只有16%的教師知道數學概念和定義的區別；有48%的教師了解一些，卻說不清楚區別是什么；有28%的教師感覺概念和定義差不多，定義就是概念的另一種說法；還有8%的教師不知道. 被抽樣的教師中10年以上教齡的成熟教師占89%，如果教師都不清楚概念和定義的區別，又如何去引導學生？這是值得每一位教師反思的問題.

（2）知識體系不完整.

教師的高度，決定學生思維的深度. 數學概念的內涵包括概念的發展背景、生成過程及外延. 教師對數學概念的內涵理解不透，往往習慣性地直接給出形式化的定義，然后通過練習鞏固概念. 學生沒有經歷將實際問題抽象成數學問題的過程，難以理解概念的本質內涵，無法提升數學思維和建構完整的知識體系.

（3）解題的“會而不全”.

“會而不全”是指學生在解題過程中，會做一部分但解答不完全正確的現象，這種現象在數學學習過程中司空見慣.對于成績中等的學生，這種現象尤為普遍. 主要體現在數學解題過程不規范，想到哪里寫到哪里，沒有條理性，只是機械性地記住形式化的定義，掌握的是表層的知識，當知識的應用背景發生變化時，便無從下手，或只能解答一部分.

2. 原因分析

從調查數據來看，導致數學概念教學成為薄弱環節的主要原因有：

（1）教師引導缺失實效性.

教師沒有足夠的時間去準備素材和收集相關背景資料與教師對概念的內涵和外延把握不夠好是密切相關的. 如果教師有足夠的時間去收集材料和研究相關概念，對概念的把握就不會不夠好. 這需要尋求更好的方法和途徑來解決這個問題. 微課能在短短幾分鐘的時間內把概念的由來、發展和外延可視化，解決教師和學生的困難.

（2）學生理解概念有難度.

數學概念內涵往往是抽象的、豐富的，要想透徹理解數學概念需要多維度、多層次地感悟，體驗數學概念的形成過程. 如果沒有恰當引導，學生理解起來是比較困難的，更不會達到高級認知階層. 微課在此時可以變抽象為直觀，使思維可視化；再加上恰當講解和動畫，能快速地把所需的數字化信息融合到概念學習中來，直觀呈現數學概念的內涵和外延.

（3）評價方式缺乏多元化.

在數學概念的學習過程中，部分教師和學生更多關注的是問題的答案是否正確，卻忽視了生成答案的思維方法和過程，導致學生的思維體系不完整. 一旦應用背景有所改變，“會而不全”的現象就會發生. 學生能說出數學概念的思維方法、思考路徑等，教師都應給予肯定和認可.

構筑大觀念：數學概念教學與微課的深度融合

針對以上現狀和原因，要提升初中數學課堂教學效率，概念教學改革勢在必行. 讓學生機械式記憶、理解和應用數學概念不是教學所要達到的最終目標，構筑大觀念，讓學生站在科學的視角，對概念進行分析、評價，并創造性地解決問題才是教學的最終目的. 借助微課讓概念的內涵和外延可視化，幫助學生在數學抽象和感悟中了解概念的必要性，對提升學生的認知能力和發展學生的認知目標具有重要的價值和意義.

1. 以“微”入境，觸發思維

數學概念發展史是最能激起學生好奇心和學習興趣的素材，也是最容易被教師忽視的知識. 運用微課可以輕松地解決這個問題，即通過微課抽象出數學概念. 每一個有數學文化背景的微課的錄制，都需要教師查閱大量資料，一旦形成就是優質的共享資源，短時、高效、可循環利用. 通過思維可視化，既節約時間，又幫助學生理解概念從哪里來，對數學概念的理解和思維的歸類有不可或缺的作用.

例如蘇科版八年級上冊“勾股定理”的教學，微課從《周髀算經》里周文王與商高的對話開始，到“大禹治水的計算方法”，再到古今中外勾股定理的產生；從學生到科學家再到總統對勾股定理的證明歷程，讓學生徜徉在歷史長河中直觀感受勾股定理的偉大，從而激發學生學習勾股定理的欲望. 整個過程也就幾分鐘的時間，卻讓學生知道了勾股定理從哪里來，以及學習勾股定理的必要性和必然性.

2. 借“微”生成，深化思維

數學概念通常有三種類型：一是將相同屬性從眾多的對象中抽象出來，形成一個具有相同本質特征的概念，可將其稱為屬性概念. 二是對研究的對象建立一個規則，通過規則形成概念，將其稱為規則性概念. 三是一些數學概念作為知識網絡結點與更多的數學內容建立更廣泛的聯系，這種概念稱為結點性概念. 掌握這些，就可以利用微課使思維可視化，知識概念該怎么學.

（1）思維可視化，透過現象看本質.

屬性是某一對象在客觀世界存在的特征，不以人的意志而轉移，只能在人們認識世界時去發現. 屬性概念教學的關鍵就是通過大量問題情境，讓學生抽象出概念的數學屬性，形成新的知識. 基本流程如圖1所示，在這一學習過程中，前面三個環節都可以用微課輔助，使思維可視化，最后讓學生歸納概念. 這類數學抽象和建立概念的必要性就是數學核心素養的主要宗旨，是一個人一生要具備的關鍵能力和必備品格.

例如蘇科版八年級數學上冊“函數”的教學，可以用微課展示大量的實際生活問題情境，激發學生的學習興趣，讓學生從已有的生活經驗出發表達自己的看法，說出哪些量在變化，哪些變化的量之間有一定的聯系. 通過學生的觀察與表達，以及師生的互動，總結出函數的三個本質屬性，然后給具有這種本質屬性的關系取個名字——函數.

（2）思維可視化，透過現象定規矩.

規則性概念的教學關鍵就是立規矩. 在平常教學中，部分教師遇到規則性概念往往是直白地告訴學生定義，然后讓學生按規則來解題就行. 這樣教學，背景一換學生就不會靈活運用所學的概念了. 如果是教師給出情境，讓學生根據情境自己制定規則，這樣學生不僅能理解概念，還能提升認知層次（規則性概念的教學流程如圖2所示）. 即用問題驅動學生發明、創造、構建解決問題的規則，從而把數學學習內化為自覺的思維方式.

例如蘇科版初中數學九年級上冊“加權平均數”的教學，①給情境：利用微課展示三個不同的生活情境，讓學生直觀感受“權”的存在，它可以表示數據重復出現的次數，可以表示數據的百分比，也可以表示數據所占的比例. ②立規則：“權”就是“權重”，加權就是乘權重. ③下定義：加權平均數就是乘權重的平均數.? ④再運用：運用加權平均數解決生活實踐中的對應問題. 學生會在身臨其境的狀態下完成對規則概念的理解和運用，無形中達到高級認知中的創造的目標.

（3）思維可視化，透過結點定體系.

數學知識結點廣泛而又互相關聯形成數學邏輯體系. 結點性概念作為知識網絡結點，存在于數學知識體系中，能與更多的數學知識內容建立更加廣泛的聯系. 學生只有在概念結構中反復認識概念，才能促進思維的生成，加深對概念的理解. 這里要分清概念的從屬關系，即要弄清楚上位概念、本位概念、下位概念. 例如完全平方公式，它的上位概念是多項式乘多項式，下位概念是配方公式；再如平行四邊形，它的上位概念是四邊形，下位概念是矩形、菱形、正方形. 它們形成了一個邏輯性的知識框架圖，而且它們本身都是一種屬性概念，互相關聯. 對于結點性概念的教學，要讓學生在數學結構中自主生成、延伸形成知識框架.

3. 通“微”引智，建構初中數學大觀念

在數學概念的教學中，基于學生已有的認知水平，合理設計微課內容和切入點，有意識地營造問題情境，產生認知沖突，思考后引出概念，有些概念的外延是延伸出課堂或教材的. 因課堂時間有限以及教學任務的限制，課堂上無法完成相關內容的拓展，通過微課實現概念的外延，讓學生明白概念到哪里去了，以形成完整的認知體系和科學大觀念.

例如蘇科版八年級下冊“中點四邊形”的教學，教材上沒有明確提及，只是給學生留了一道討論題，如果放在課堂上進行探究，時間是不夠的，因為前面還有三角形中位線性質的推導和應用. 如果放在課后，讓學生自學，學生又無從下手. 如果讓學生課后觀看微課，學生就能知道中點四邊形就是順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形，再根據已有的三角形中位線的性質進行自主探究和學習，還能知道中點四邊形是平行四邊形且形狀和原四邊形的對角線有關——會隨著對角線的變化而變化. 所以說微課對數學概念的外延具有直觀的引領作用.

4. 用“微”智途，滲透數學核心素養

借助微課，引導學生用數學的眼光從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式；用數學的思維提出有意義的數學問題并抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構，理解自然現象背后的數學原理；用數學的語言描述現實世界，形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展應用意識、創新意識以及實踐能力.

例如教學蘇科版數學八年級上冊“軸對稱圖形”時，用微課帶領學生走進實際生活中，根據已有的生活經驗觀察生活中的軸對稱圖形，然后抽象出軸對稱圖形的性質屬性，并總結軸對稱與軸對稱圖形的聯系和區別，再通過設計軸對稱圖形培養創造性思維. 接下來學習線段、角的軸對稱性和等腰三角形的軸對稱性都是在學習軸對稱和軸對稱圖形的性質的基礎上進行的探究活動. 整章教學要形成的數學大觀念就是軸對稱圖形，什么是軸對稱圖形，有哪些性質，能解決哪些問題，在實際生活中有哪些應用，這條主線就是軸對稱圖形大觀念. 在數學學科中，基于軸對稱圖形大觀念可以探究線段、角、等腰三角形、圓等圖形的相關性質；在物理學科中，軸對稱圖形大觀念是平面鏡成像的數學原理.

教育部2019年發布的《中國教育現代化2035》，要求加快時代教育變革，促進信息技術與教學的深度融合. 微課與初中數學概念教學的深度融合，逐步形成思維可視化的教學體系，為初中數學概念教學提供了數學抽象的途徑. 思維可視化有利于數學概念的理解和記憶，能有效提高信息加工及信息傳遞的效能. 只有把數學與實際生活和其他學科之間的內在聯系融合成自己的大觀念，才能用科學的眼光觀察世界、分析世界、描述世界. 基于布盧姆的認知目標分析，把數學概念學習由理解、記憶、應用的初級認知階層逐步提升到分析、評價、創造的高級認知階層，發展學生的認知能力，提升學生的數學學科素養，是數學教學的重要目標.

作者簡介：袁堂彩（1978—），本科學歷，中學高級教師，從事初中數學教學與研究工作，曾獲連云港市港城名師、初中數學學科帶頭人、教科研先進個人等榮譽.