章起始課的教學實踐與思考

［摘? 要］ 章起始課是新知教學的基礎，具有提供概括性要領框架的作用，對一段時間內的教學起著組織與指導意義. 文章從章起始課的現狀出發，以“二次函數”章起始課的教學為例，從“情境創設，引出探究主題”“系列活動，理解核心概念”“類比遷移，建構整體框架”三方面展開闡述，并提出一些思考與建議.

［關鍵詞］ 章起始課；二次函數；教學

章起始課兼有“先行組織者”的功能，可作為章節知識學習的基本示范. 但實踐發現，有些章節的知識跨度較大，學生常因概念形成時間久遠，而在后續學習中出現了“似曾相識”卻又不清晰的狀態. 如何站在課程全局的高度，結合知識的發生與發展規律，針對學情設計出成功的起始課是落實課程目標、順利完成后續教學任務的關鍵.

現狀分析

受傳統教學思想的影響，有些教師對章起始課的重要性存在認識上的不足，認為課程內容與中考關聯度不大，常以一帶而過或讓學生自主閱讀的方式實施教學；也有些教師受自身認知水平的限制，又沒有查閱資料的習慣，導致在章起始課的設計上存在心有余而力不足的現象.

不論是“注入式”的一帶而過，還是“閱讀式”的走馬觀花，抑或“心有余而力不足”的教學設計，都反映出章起始課尚未得到足夠的重視，這些現象嚴重影響了章起始課的正常開展. 其實，從某種意義上來說，章起始課的重要性與建筑地基同等重要，從數學整體性來看，代數、幾何等各部分內容之間均存在一定的內在聯系與前后邏輯關系，學生只有從整體上掌握系統的知識體系，才能實現真正意義上的理解與應用［1］.

章起始課的教學實踐

1. 情境創設，引出探究主題

初中階段的學生已經有了一定的生活經驗，數學教學中，教師設置貼近學生認知水平的情境，能有效地激發學生的參與熱情，能提高教學成效. 教學情境其實就是帶有一定情感因素的教學活動背景，“情”為師生雙方在教學中的情感狀態；“境”為教學環境. 教學活動中的情因境生，而境又為情所設，因此情境統一的狀態才稱得上是好的“情境”.

二次函數是繼一次函數、反比例函數之后的一個重要函數，是描述事物數量關系的重要模型，具有一定的抽象性. 二次函數研究方法的掌握對后續函數模型思想的滲透，以及高中階段涉及的三角函數、對數函數等的學習都有深遠的影響. 因此，在章起始課上創設豐富的情境，能有效激發學生的探究興趣，為本章節的教學奠定基礎.

情境? 小明奶奶準備用16 m長的籬笆圈出一塊長方形的地飼養小兔子，聰明的你們幫她想想怎么圍地能使小兔子的活動范圍最大.

飼養小兔子的情境對學生而言既親切又有趣，當教師提出這樣一個情境時，學生會不由自主地將注意力集中到這個問題的探究中，并獲得“生活處處皆數學”的體驗. 學生通過自主探究，很快就明確了這個問題的本質為：探索周長固定的長方形，當長方形的形狀發生變化時，面積也會隨之發生改變.

學生經過探索，獲得表1，并得出結論：周長固定的長方形，當長與寬的值越接近時，該長方形的面積就越大.

師：非常好！誰能說說這個結論的原因呢？（學生合作交流）

假設長方形一條邊的長為x m，那么其相鄰一條邊的長就是=（8-x）m，長方形的面積y（單位：m2）和一邊長x（單位：m）之間的關系為y=x（8-x）=-x2+8x. 由此可確定圍成的長方形地的面積y是隨著一邊長x的變化而變化的一種函數.

為了鞏固學生對這個結論的認識，教師可趁熱打鐵用PPT展示一些練習，要求學生獨立思考并完成.

練習1 已知上海與南京的距離約300 km，若一輛客車從上海出發勻速向南京駛去.

（1）客車行完全程所用時間t（單位：h）和勻速行駛的速度v（單位：km/h）之間可用怎樣的函數表達式表示？

（2）假設客車勻速行駛的速度為100 km/h，那么客車距離南京的路程s（單位：km）和行駛時間t（單位：h）之間可以用怎樣的函數表達式表示？

練習2 某產品2月份的產量是20 t，若平均每月的增長率為x，請分別寫出該產品在3月份、4月份的產量y（單位：t）和x之間的函數表達式.

練習3 一幅長、寬之比為2 ∶ 1的畫，四周鑲有木制邊框. 若畫的價格為120元/m2，邊框的價格為30元/m，加工費是45元一幅畫. 請寫出這幅畫的總費用y（單位：元）與畫寬x（單位：m）之間的函數表達式.

練習4 已知一個正方體的棱長為a cm，請寫出該正方體的體積V（單位：cm3）和棱長a（單位：cm）之間的函數表達式.

設計意圖 從生活實際出發，讓學生感知二次函數的價值與意義. 練習的應用，在于引導學生自主發現兩個變量間具有怎樣的數量關系. 函數表達式書寫的過程，就是將生活問題數學化的過程.

由以上幾個練習可得到6個不同的函數表達式，分別為t=，s=300-100t，y=20（x+1），y=20（x+1）2，y=240x2+180x+45，V=a3. 在這些表達式中，不僅有學生耳熟能詳的一次函數和反比例函數，還有學生感到陌生的新函數，這就為二次函數的教學埋下了伏筆.

2. 系列活動，理解核心概念

活動1 由以上情境與練習，我們共獲得了7個函數表達式，看看這些式子，里面有沒有你們熟悉的函數？那些陌生的函數表達式之間存在共性嗎？請嘗試賦予這些函數表達式一個名稱.

設計意圖 7個函數表達式均由學生自主探索而來，學生對其有一定的情感基礎. 教師讓學生辨別出熟悉的一次函數、反比例函數，這是回顧舊知的過程；讓學生抽象陌生函數的共同屬性，這是為二次函數的形成做鋪墊.

隨著該活動的深入，學生自主歸納出了二次函數的定義：類似于y=ax2+bx+c（a，b，c均為常數，a≠0）的函數為二次函數，x為二次函數中的自變量，y為x的函數. 此外，通過類比，學生自主命名函數V=a3中的V為a的三次函數.

為了深化學生對二次函數的認識，教師可在此處設置幾個鞏固練習.

練習1 教師提供一些式子，讓學生判斷哪些是二次函數，并寫出其二次項系數、一次項系數與常數項.

練習2 請學生自主寫一個二次函數的表達式，由同桌辨別二次項系數、一次項系數與常數項.

練習3 請學生寫出下列問題的函數表達式.

（1）寫出正方體的表面積S（單位：m2）和棱長a（單位：m）之間的函數表達式；

（2）一個圓柱的高為14 m，其體積V（單位：m3）和圓柱底面的半徑r（單位：m）之間的關系可以用怎樣的函數表達式表示？

（3）如圖1所示，從一張長、寬分別為30 cm、20 cm的矩形紙片中剪掉一個正方形，則剩下紙片的面積S（單位：cm2）與剪下的正方形的邊長x（單位：cm）之間具有怎樣的關系？（用函數表達式表示）

活動2 如圖2所示，若用40 m長的護欄沿著一堵墻（足夠長）圍一個矩形菜園，護欄與墻面垂直的一條邊的長為x m，所圍成的菜園的面積為S m2，請根據題設條件提一個你能解決的問題.

設計意圖 讓學生自主發現問題并提出問題是強化學生對二次函數認識的重要途徑，學生通過編題能進一步明確條件與結論之間的關系，能充分感知二次函數作為一個模型的主要作用是描述現實問題中的數量關系.

以上活動的開展，能培養學生獨立思考的能力，能引導學生積極開動腦筋，參與問題的討論與分析，能鍛煉學生的語言表達能力，能增強學生的合作意識，能讓學生深切地體會到數學學習的價值與意義.

3. 類比遷移，建構整體框架

問題? 一次函數與反比例函數是我們的老朋友了，大家還記得當初是從哪幾個方面對這兩個函數展開研究的嗎？

設計意圖 通過問題引發學生回憶，讓學生回顧建構特定函數模型的過程，為接下來進一步研究二次函數的定義、圖象與性質奠定基礎.

眾所周知，知識的學習有可能會隨著時間的推移出現遺忘，但能力與方法的獲得卻能讓學習者受益終身. 學生回顧一次函數、反比例函數的研究過程，并將相應的研究方法遷移到新知的研究中，這是知識的遷移過程，也是一種學習能力的體現.

隨著問題的提出，學生經過教師的點撥、自主探索與合作交流，實現了知識的類比遷移，總結出了二次函數與之前所接觸的函數同樣遵循一定的規律，給出了整體框架圖（如圖3所示），為后續課堂教學提供了明確的方向.

4. 按圖索驥，指導學習方法

師：大家對二次函數的定義已經有所認識，從圖3出發，接下來就到了研究二次函數圖象的環節. 二次函數圖象究竟是什么樣的呢？現在我們一起回到課堂起始環節中的“圈地養兔”問題. 請大家建立平面直角坐標系，以表2中的x值為橫坐標，與之對應的y值為縱坐標，描點、連線，說說你們的發現.

學生按照要求操作，得到圖4.

設計意圖 從章節知識框架出發，自然而然地進入二次函數圖象的研究環節，讓學生感知點與圖象特征之間的關系，體驗數形結合思想在函數研究中的應用.

學生通過自主描點、連線、觀察，初步感知二次函數圖象為曲線而非直線，并提出圖象的形態猶如拋東西時形成的軌跡，教師順勢提出了“拋物線”的概念. 觀察圖4，面積y會隨著x的增加而先增大再變小，此時教師提出問題：“想讓兔子的活動范圍最大，該怎么圍地呢？”

學生從圖象出發，于是猜想：拋物線最高點的橫坐標為長方形的一條邊的長時，兔子活動的范圍可能是最大的.

師：為什么形狀是正方形時面積最大呢？只要學完本章內容，即可揭曉答案.

學生的探究興趣隨著課程的推進而愈發濃厚，此過程不僅再次激發了學生的探究熱情，還有機地滲透了數形結合思想與模型思想，成功地啟迪了學生的思維.

教學思考

1. 核心概念要清晰

章起始課的教學常以基本概念為起點，這些概念在整個章節中都占有重要的地位，要么是重點概念，要么屬于上位概念［2］. 若學生在此環節沒有理解概念的本質與內涵，后續學習將困難重重. 實踐證明，章起始課一般沒有單獨的課時安排，而是將章節首要概念與章起始課融合在一起進行教學. 因此，此類課程教學的重中之重就是核心概念的建構.

就本節課而言，二次函數的概念就屬于本節課的核心概念，教師除了要引導學生回顧舊知、類比遷移新知外，還要借助探究活動與大量練習引導學生自主寫出各種不同的函數表達式，并分析這些表達式，從中逐漸抽象出二次函數的概念，同時要引導學生自主畫圖、分析函數圖象，讓學生感知二次函數的本質為刻畫現實世界中變量關系的模型. 教學過程涉及從具體到抽象、類比推理、從特殊到一般、數形結合等多種重要的數學思想.

2. 知識結構要明確

從認知心理學出發，學習是學生大腦中認知結構的組織與再組織過程，是將存在內在邏輯關系的知識與學生原有認知結構建立關聯的過程，新知與舊知在學習者大腦中互相作用，最終建構新的知識結構［3］. 由此可見，學習與學生的認知結構直接聯系，良好的知識結構利于知識的應用與遷移. 鑒于此，在章起始課上，我們應幫助學生理清章節知識結構，為學生形成合理的認知奠定基礎.

在本節課中，教師以學生感興趣的“圈地養兔”問題引領課堂，成功地引發了學生的認知沖突，喚醒了學生的問題意識，誘發了學生的猜想，這為引出二次函數的概念夯實了基礎. 隨著探究活動的開展，學生類比研究一次函數、反比例函數的方法，自主獲得了知識的生長鏈，科學合理地建構出了知識結構圖，明確了后續學習的整個框架.

3. 研究方法要合理

激發學習興趣、建構知識框架、明確核心概念、滲透數學思想方法等，是章起始課教學的主要任務. 想要高質量地完成這些教學任務，離不開科學的研究方法與問題的引導. 鑒于此，對于章起始課，教師首先要讓學生在探究活動中經歷發現問題、提出問題并解決問題的過程，為核心概念的抽象與知識框架的搭建奠定基礎. 值得注意的是，教師為學生提供的探究平臺起點要低，要讓每個學生都有積極參與的熱情；立意要高，要讓每個學生在活動中都有所收獲.

在本節課中，教師首先要讓學生明確研究的內容為一個全新的函數，結合研究函數的“通法”，可從知識的類比遷移中自主建構新知. 這種研究過程屬于“微科研”的范疇，學生在研究中不僅能提煉出學習方法，積累研究經驗，還能較大程度地提高自身的學習能力，形成創新意識.

總之，章起始課的教學屬于統領性、過程性的教學，是課堂從有效邁向深刻的基礎. 作為一線數學教師，我們應從思想上重視章起始課教學，并落實到實際行動中，從而真正意義上促進自身專業水平的提高.

參考文獻：

［1］張萬梅. 溫故導入新，成功領入門——初中數學章起始課教學實踐與思考［J］. 中學數學研究（華南師范大學版），2016（10）：32-33.

［2］林年生. 初中數學章起始課教學課例與反思［J］. 中小學教學研究，2015（05）：46-48.

［3］王甦，汪安圣. 認知心理學［M］. 北京：北京大學出版社，2006.

作者簡介：邱玉霞（1975—），本科學歷，中學高級教師，從事初中數學教學工作.