關注知識形成過程，實施數學有效教學

唐閩真

［摘? 要］ 數學知識的形成需要經歷一個漫長的過程，將教學內容的發展史暴露在學生面前，能讓學生對知識的探究產生良好的情感傾向. 文章以“有理數乘法法則”的教學為例，從“負負得正”的發展歷程與教學困惑出發，分析有理數乘法與加法加工方式的差異，并從“問題驅動，引出主題”及“分類討論，抽象提煉”這兩方面具體談談教學過程.

［關鍵詞］ 過程；教學；有理數乘法

新課標引領下的數學教學倡導關注過程教育的研究. 過程教育是指為了滿足學生全面發展的需求，教師在教學中，要尤為關注數學結論的形成與應用過程，以及解決問題之后的反思等. 關注知識形成過程，對促進數學有效教學有著重要的意義. 下面，筆者以“有理數乘法法則”的教學為例，闡述如何實施有效教學.

“負負得正”的發展歷程與教學

困惑

在有理數乘法的教學中，兩個負數相乘的法則是教學的重點與難點，學生之所以難以理解，是因為它們無法像加、減法那樣用直觀的數軸上的點來表示. 從數學史的發展歷程來看，負數與負數相乘的運算發展坎坷，在數學文化背景匱乏的情況下，莫里斯·克萊因還提出了以面積說明為起點，由特例推廣到一般的解決方案. 他認為人類會不由自主地傾向于從特例中提煉出來的法則，這是人類本性的體現.

如圖1所示，由特例到一般，可認為對于任意數a，b，c，d，式子（a-b）·（c-d）=ac-ad-bc+bd恒成立. 若a，c均為0，則能獲得式子（-b）（-d）=+bd.

隨著時代的發展，如今看來這種推理并沒有說服力，但這確實是“負負得正”法則得來的前身. 在數學史的發展歷程中，負數的引入與用字母表示數交織在一起，盡管最初負數的出現遭到了不少人的反對，但經過時間的洗禮，至19世紀，人們終于接納了它的邏輯相容性.

正因為沒有充足的數學史作為根基，才造成如今對這一運算法則的教學呈現出多元化的局面，導致不少學生在學完“負負得正”的法則后，依然難以準確理解其合理性. 這主要體現在以下兩方面：①將正、負整數相乘，再將正因數依次減掉1，從積的變化規律來歸納負負得正，這種方式比較形式化，學生難以理解；②用分步法計算，當兩數相乘時，如果將其中一個乘數替換成它的相反數，那么兩數的積則為原積的相反數，由此概括兩個負數相乘的結論，但這種方式同樣偏形式化，缺乏合理的驗證.

乘法與加法加工方式的差異

分析

從數學史的角度出發，并不能為有理數乘法法則提供典型的思維例證，那我們可從哪些方面著手，讓學生對這部分知識獲得更好的認識呢？不論哪個版本教材的編者在教材編擬時，都希望學生能對有理數乘法法則產生直觀、形象且有現實意義的認識，并快速、準確地建構新知，完善認知結構，從而促進認知能力的發展.

初中階段的有理數乘法運算的教學建立在正數乘法法則的基礎之上，從運算相似的機制出發，學生面對數字加法運算與乘法運算時呈現出了不同的特征. 通過比較筆者發現，學生在乘法運算中具有更多的語義加工過程，而在加法運算中則表現出更多的視覺表象活動過程.

為什么會呈現出不同的加工方式呢？研究發現，這與兒童最早的學習方式有一定的關系. 學生在學習加法時，常從實物的角度進行直觀模擬或結合模型后進行數字加工，比如對于“4+3”這個式子，學生常呈現出實物情境：如圖2所示，小明有4支鉛筆，他媽媽又給他買了3支，小明共有7支鉛筆.

多位數相加的法則建立在數字加法與數位操作的基礎之上，數位操作（進位）具有視覺加工的優勢，它建立在視覺或空間加工的基礎之上，因此正數加法法則也表現出較明顯的視覺或空間加工特性.

正數乘法運算則建立在語言符號的基礎之上，其雖然也存在數字識別、數學操作等視覺加工過程，但基本是建立在累加的基礎上，呈現出了簡約表示機制，從本質上來看，正整數乘法運算就是對特殊加法運算的二次抽象過程. 因此，正數的乘法運算呈現出語義加工特征.

對于有理數加法與乘法，人類大腦呈現出了不同的信息加工機制. 雖然這兩種重要的運算都離不開視覺經驗的支持，但有理數加法更明顯地體現出視覺與空間加工的特征，而有理數乘法卻更多地展現出語義加工機制的特征. 可見，在有理數乘法運算教學中應用與學生腦機制不匹配的視覺與空間加工機制，將無法達到預期的教學效果.

實踐證明，以語義加工為主，以視覺與空間加工為輔的方式，不僅能更好地提高有理數乘法教學效率，還能讓學生通過對不同的信息加工方式的接觸，開發大腦結構中的不同功能區，激發學習潛能，促進對知識加工能力的協調發展［1］.

教學設計

（一）問題驅動，引出主題

師：學習本節課之前，大家已經接觸過有理數的加法運算法則，已經知道有理數存在“正數”與“負數”，那誰來說說有理數加法運算的要點？

生1：先確定符號，再計算絕對值.

師：非常好！這是將有理數運算轉化成我們所熟知的加法運算的過程，只是在此基礎上增加了“符號”的問題. 這種運算是否滿足加法運算的結合律與交換律？

生2：滿足.

師：不錯，小學時我們還學過數的乘法法則，那么兩個有理數是否能像之前學的兩個數相乘一樣相乘呢？該如何相乘呢？這就是本節課咱們要探索的主要內容——有理數的乘法法則.

設計意圖 帶領學生從小學階段接觸過的非負數的加法運算擴充到有理數的加法運算中，思考從非負數的乘法到有理數乘法的可能性. 學生通過加法運算性質的回顧，初步體驗到了數系擴充的必要性，這不僅是現實生活所需，更是拓展運算的需求. 加法運算的類比，成功地引發了學生對乘法運算的思考. 借鑒加法類比經驗，教師自然地引出了本節課的探究主題.

整個引入過程自然、流暢且充滿“數學味”，能讓學生快速進入思考與探索的狀態，這既為課堂教學奠定了良好的情感基礎，又為有理數乘法法則的揭示奠定了思維基礎.

師：通過之前的學習，我們都知道有理數包括正數、負數與0，那誰來說說有理數的乘法運算存在哪些情況.

生3：有正數與正數相乘，正數與負數相乘，正數與0相乘，負數與正數相乘，負數與負數相乘，負數與0相乘，0與正數相乘，0與負數相乘，0與0相乘.

師：若從運算律的角度出發，以上九種類型的運算可以怎樣分類？

生4：可以分為正數×正數，正數×負數，正數×0，負數×負數，負數×0，0×0，一共6種情況.

設計意圖 從有理數符號的角度出發，學生明確了哪些乘法運算是之前已經接觸過的，哪些數之間的乘法運算是尚未接觸到的，于是教學便快速明晰了接下來運算法則推廣的任務應該從何處開始，到何處去，這為分類思想的提煉奠定了基礎. 后期學生在法則歸納時，則能自主提出合理的歸納樣式.

通過與加法運算類比，學生能明白本節課的乘法運算同樣需要像之前所學的乘法運算那樣滿足相應的運算律. 這能讓學生的思緒沉浸到問題情境中，能讓情境與情緒產生關聯，為課堂教學服務.

如課堂上教師以問題解決的策略來組織實質性的教學時，可引發學生發現問題并提出問題，聯系原有的學習經驗與方法去分析問題與解決問題，避免一些復雜的視覺模型干擾，這能為教學奠定基礎.

（二）分類討論，抽象提煉

1. 分類研究分析

本節課在分類討論環節，可從以下幾方面展開分析：①正數與正數相乘；②正數與0相乘（此為學生已有的認知，不需要再次研究）；③負數與0相乘（類比正數與0相乘，可知結果為0）；④0與0相乘（結果為0，不需要再次研究）；⑤正數與負數相乘；⑥負數與負數相乘；⑦總結有理數乘法法則.

通過對②③④三個環節的分析，不難獲得“任何數和0相乘，結果均為0”的結論. 前四個環節是對小學數學乘法運算的回憶與總結，目的在于讓學生明確本節課的研究任務為研究負數分別與正數、負數相乘的情況.

2. 正數與負數相乘

利用PPT直接展示需要確定運算結果的一個式子（正數×負數），如3×（-3），鼓勵學生自主類比正數與正數相乘的法則來思考計算方法. 教師巡視后發現學生在草稿紙上呈現出如下思維歷程：3×（-3）=（-3）+（-3）+（-3）=-9. 學生通過因數的變化獲得了具有代表性的式子，幾輪訓練下來，學生很快就在觀察、分析中總結出了這類運算的特征.

不需要教師過多的引導，學生就自主歸納出了結論：正數與負數相乘，積的絕對值與因數絕對值的積相等，結果為負數. 在此基礎上，教師要求學生結合生活中的連續等額付錢情況與數軸上點的運動規律，驗證這種結論是否合理. 而后再從交換律的角度出發進行探究. 探究后發現，負數與正數相乘，結果也同樣具備這樣的規律.

設計意圖 讓學生將正數與負數相乘的情況與認知結構中的乘法運算進行類比，可幫助學生更好地提煉結論. 在生活經驗與乘法交換律的輔助下，學生結合數軸可驗證相應的結論. 這是在語義加工的情況下，應用類比思想與歸納思想實施教學，能幫助學生更好地提煉生活經驗. 學生親歷歸納、類比與檢驗等過程，可從某種程度上有效地提高數學認知能力.

3.負數與負數相乘

師：現在請大家分析（-2）×（-3）等于多少.

生5：（-3）與（-2）分別與0相乘的結果都是0，展開式子為（-3）×0=（-3）×［2+（-2）］=（-3）×2+（-3）×（-2）=0，同理展開（-2）×0. 由此可得到（-2）×（-3）的結果是2×（-3）的結果的相反數，又2×（-3）=-6，所以（-2）×（-3）=6.

師：太棒了！這完全出乎我的意料. （學生自發地鼓掌）

為了強化學生對“負負得正”的認識，接下來筆者設計了兩個生活問題，目的是讓學生進一步從生活實際中確認這種運算法則的科學合理性.

問題1 海拔每升高1 km，溫度就會降低0.6 ℃. 若一個人所處位置的溫度恰巧為0 ℃，相對高度為0 km，當相對高度處于-2 km時，此處的溫度是多少？請嘗試列式表示此時的溫度.

學生從生活經驗與認知水平出發，都知道此時的溫度為1.2 ℃，若要列式，可從以下角度思考：將海拔高度的升高理解為“正”，海拔高度的降低理解為“負”，氣溫升高理解為“正”，氣溫降低理解為“負”，則列式為（-2）×（-0.6）=1.2.

如圖3所示，教師可借助PPT展示高度變化與氣溫變化的關系.

問題2 小明爸爸在5個月前，給手機預存了一筆話費，用來支付之后連續5個月的手機話費，使完成本月扣款后賬戶余額恰巧為0. 若每月話費扣款金額固定為60元，那么當初小明爸爸存進賬戶的金額是多少元？

這是一個典型的生活問題，存錢為“正”，扣除話費為“負”，本月之前的時間為“負”，本月之后的時間為“正”. 月份與賬戶上的金額可列表表示（如表1所示），通過表格能一目了然地明確總金額為（-60）×（-5）=300（元）.

接下來則是教師帶領學生進一步高度概括有理數乘法法則的階段. 學生結合以上探究過程以及自身原有的認知結構，進一步深化了對有理數乘法法則的理解，這為建構完整的認知體系奠定了基礎.

“負負得正”是本節課教學的重點與難點，教師從數系擴充思想出發，引導學生自主發現并歸納運算法則的過程是對知識產生深度理解的過程. 學生也不負所望，能自主想到從負數與0相乘的特殊情況出發，將0視為兩個相反數之和，再運用乘法分配律，自主提煉出“負負得正”的法則.

兩個實際問題的解決，進一步強化了學生的應用意識. 問題1中所提出的“海拔越高，氣溫越低”是生活常識，學生比較容易理解；問題2中，隨著月份的加大，話費賬戶上的金額則越來越少，反之，月份越少，賬戶余額越大. 這些都是與學生生活實際緊密相關的現實問題，將這些實際問題引入課堂，可增強學生對“生活處處皆數學”的理解，能讓學生逐漸養成用數學的眼光觀察世界的習慣.

總之，以發展學生數學核心素養為導向的初中數學教學，要在充分了解教學內容“前世今生”的基礎上，結合學情進行教學設計，這樣才能達到事半功倍的教學成效.

參考文獻：

［1］李庾南，陳育彬. 構建促進學力發展的數學課堂［J］. 課程·教材·教法，2008（08）：35-38.