基于數學軟件應用的高等數學教學改革研究

[摘 要]高等數學是高等院校理工科一門重要的基礎理論教程，具有知識點多，難度大，理論抽象等特點，導致學生的學習和教師的教學壓力都較大。在教學中引入如GeoGebra、Matlab等數學軟件不僅能將高等數學中的概念形象直觀地呈現給學生，而且可以鍛煉學生運用抽象知識編程解決實際問題的能力。文章介紹基于GeoGebra和Matlab軟件輔助教學的一些案例，涵蓋了積分定義、Fourier級數、微分方程求解等問題。通過軟件的信息化和動態可視化，激發學生的學習興趣并提升其數學思維能力。

[關鍵詞]高等數學；GeoGebra軟件；Matlab軟件；教學改革

[中圖分類號] G642? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2023） 11-0090-04

高等數學是高等院校理工科一門重要的基礎理論課程，其內容豐富，理論嚴謹，應用廣泛，影響深遠。李克強總理在2018年1月3日的國務院常務會議上指出：“數學是我國科學研究的重要基礎。無論是人工智能還是量子通信等，都需要數學等基礎學科作有力支撐。我們之所以缺乏重大原創性科研成果，卡脖子就是卡在基礎學科上。”[1]然而，由于高等數學課程具有知識點多、難度大、理論抽象等特點，導致學生的學習和教師的教學壓力都較大。例如，學生在初高中的數學學習中，所面對的往往是離散的、有限的、線性的問題。而高等數學課程中所處理的往往是連續的、無限的、非線性的問題。這就需要學生的思維認知有從有限到無限、從離散到連續的轉換。此外，高等數學中的分類與整合、劃歸與轉換、函數與方程等數學思維也是學生學習的一大障礙。以上原因導致很多學生在學習的過程中產生了畏難的情緒，對高等數學這門課程毫無興趣。然而，作為其他專業課的基礎，高等數學的重要性不言而喻。學生若無法理解高等數學的思維，即使在考試中僥幸過關，在后續其他專業課程的學習中依然會暴露出根基不牢固的缺陷。因此，如何提高學生的學習興趣和加強數學思維能力一直是當今高等數學教學改革的重要課題。近年來，許多學者也對其進行了行之有效的探討。[2-4]

近年來，隨著計算機技術的發展，涌現出一大批優秀的數學軟件，例如Matlab、GeoGebra、Mathematica、Maple等。這些軟件在解決許多實際的數學問題中發揮著重要的作用。同時，利用這些軟件的信息化和可視化功能對高等數學教學進行輔助，可以極大地引發學生的學習興趣以及培養學生的數學思維。此外，這些軟件強大的編程和計算功能也能幫助學生解決更多實際的數學問題。

本文將基于GeoGebra和Matlab這兩款數學軟件，對高等數學的信息化和可視化教學進行探究。對比這兩款軟件，其側重點各有不同。GeoGebra作為一款優秀的動態幾何軟件，它最大的特點在于可以動態地演示高等數學中的許多定義，例如極限、定積分、級數等。從而在學生的腦海中刻畫這些定義，加強對這些概念的理解和推廣。Matlab作為一款專業的工程數學軟件，其強大的計算功能可以幫助學生擺脫復雜的計算。同時，其強大的編程功能可以幫助學生利用抽象的知識去解決復雜的數學問題。

一、數學軟件簡介

本節將簡單介紹GeoGebra和Matlab這兩款數學軟件。此外，由于兩款軟件的側重點不同，我們還將其進行簡單的對比，以得出在不同場景下兩者如何取舍。

（一）GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是一套包含處理幾何、代數、微積分等功能的動態數學軟件。它是由奧地利數學家Markus Hohenwarter以及其開發團隊，為了讓全世界的校園都可免費使用動態數學軟件而共同開發的。GeoGebra的軟件名是由“Geo”+“Gebra”組成，其意思為幾何（Geometry）與代數（Algebra）。該軟件具有開源、體積小、動態可視化等優點，并且相較于其他數學軟件，GeoGebra的操作比較容易上手。因此，GeoGebra在中小學和大學的數學教學中得到了廣泛的應用。[5-7]

GeoGebra的軟件界面分為代數區和繪圖區，其代數功能和動態幾何作圖功能可以幫助學生對高等數學中的各種對象（點、線、面、方程）有直觀理解。此外，在繪圖區任意空白處點擊可以構建一個數值的滑動條，通過拖動滑動條可以使得研究對象產生直觀的動態變化。借助此軟件，我們可以設計極限、定積分等定義里面一系列動態過程，例如，數列動態逼近、定積分的細分求和、圖形的相交旋轉等。以上種種優點，有利于加強學生對于概念的理解以及激發學生的學習研究興趣。此外，作圖生成的“ggb”文件非常小巧（幾十Kb至一百Kb），可以嵌入PPT中。該軟件也有豐富的教學資源，教師可以方便地加以利用。

（二）Matlab軟件簡介

Matlab軟件是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，其名稱是由“Matrix”“Laboratory”兩個單詞組合而成，意為矩陣實驗室。作為一款專業的工程類數學軟件，它將矩陣計算、數值分析、非線性動態系統的建模與仿真和科學數據可視化等一系列強大的功能集成在一個視窗環境中，為科研、工程設計等眾多科學領域提供了強大的幫助。Matlab的強大功能在此我們不進行過多贅述，讀者可以參考專業書籍。[8]

在高等數學的教學中，我們可以將Matlab有效合理地融入其中。[9-11]一方面，這可以幫助學生省去一些煩瑣的計算，另一方面，其引導了學生學習一款實用軟件、練習了編程技巧和提高了利用高數知識解決實際問題的能力。

（三）兩款軟件對比

兩款軟件各有優點，并無孰優孰劣之分，我們需要在不同的場景下合理地選擇不同的軟件。例如，在高等數學的許多概念教學中，可以借助GeoGebra對定義進行動態化、直觀化的表述。而當涉及一些復雜的計算，例如微分方程的求解等，Matlab強大的計算以及仿真模擬功能可以幫助我們快速得出結果并對其進行分析。

二、GeoGebra在高等數學教學中的具體應用

（一）GeoGebra融入定積分的教學過程

定積分是學生正式進入積分學的學習，而要使得學生了解定積分的本質，幾何直觀圖形的展示是必不可少的。在此，教師可以利用GeoGebra軟件來生動講述有關內容。這不僅能讓同學們感悟到積分學的魅力，而且能了解到GeoGebra功能的強大。

案例1：定積分定義的幾何動態展示

我們以∫01x3dx這一積分為例子。首先，在GeoGebra軟件中輸入函數f（x）x3，并把[0，1]區間等分成n份，其中n設置成滑動條。分別計算其即上積分與即下積分。觀察到隨著n的增大，兩者都會越來越逼近曲邊三角形的面積，圖1和圖2分別表示在分割n=10和n=100情形下，上積分、下積分與曲邊三角形面積的關系。

借助這個例子，學生可以很直觀地理解定積分思想，即分割、求和、取極限，從而理解定積分的定義。

（二）GeoGebra融入Fourier級數的教學過程

作為高等數學的重點和難點之一，Fourier級數在光學、電學、聲學等都有極為廣泛的應用。利用GeoGebra來刻畫動態的逼近過程，一方面能讓學生認識到Fourier級數的主要思想，另一方面也能讓學生體會到數學之美。

案例2： 函數展開成Fourier級數。

我們以分段函數

為例：首先在GeoGebra軟件中輸入該函數，設置滑動條n，在代數區輸入變量A=序列（f（x）（（cos（nx）/（π）），-π，π），n，0，N）以及B=序列（f（x）（（sin（nx）/（π）），-π，π），n，1，N）。最后，根據Fourier級數的展開表達式，我們可以輸入系數AO=（（元素（A，1）/（2）），AX=序列（（元素（A，n+1）cos（nx），n，1，N）以及BX=序列（（元素（B，n）sin（nx），n，1，N），則F（x）=AO+總和（AX）+總和（BX）。通過移動滑動條，學生可以觀察到取Fourier級數的有限項逼近到函數的動態過程，見圖3和4。學生容易發現，該級數的前n項和隨著n的增大，越來越接近給定的函數f （x）。并且在f （x）的間斷點處，級數的和為? ? ? ? ? ? ? ? ，此即為Dirichlet定理的結論。

三、Matlab在高等數學教學中的具體應用

常微分方程是高等數學中最體現微積分價值的一部分。諸多的實際問題都可以利用數學建模來轉化成常微分方程求解，并解釋實際問題所體現的客觀現象。常微分方程在很多實際問題上是很難求出解析解的，因此如何利用好Matlab來求數值解顯得更為重要。

案例3：（導彈追擊問題）假設導彈A距離正在以最大速度行駛的船艦B 1km處，且船艦勻速向前行駛而導彈頭始終指向船艦，一段時間過后，最終將其擊落。不妨考慮船艦以2km/h的最大速度直線勻速行駛，而導彈速度始終為10km/h。求解船艦在相距導彈1km時需要多久才能擊落船艦以及此時船艦能行駛多遠。

解：建立直角坐標系，可以假定導彈A位于原點處，船艦B位于（1，0）處。設在T時刻導彈位于坐標中的點M（x（T），y（T））處，此時船艦B位于點N（1，2T）處。由條件容易得到微分方程：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

結合初始條件并利用Matlab求解，其代碼如下：

syms y（x）;

g=1/5.*sqrt（1+diff（y，x，1）.^2）;

f=（1-x）.*diff（y，x，2）;

Dy = diff（y，x）;

cond = [y（0）==0， Dy（0）==0];

ySol= dsolve（f==g， cond）;

ySol = simplify（ySol）

ezplot（ySol（2），[-0.1，1.1]）

title（' '）;

hold on

plot（[1，1]，ylim，‘m—）;

text（0.3，0.04，‘導彈軌跡;，‘FontSize，14）;

text（0.78，0.02，‘船艦軌跡，‘FontSize，14）;

由上述程序可求得方程的解為

其軌跡如圖5所示。將x=1代入，利用Matlab計算出y的值，得出y（1）=0.2083。從而T=y（1）/2=0.1042h，這表明了在大約6分鐘后擊落，而此刻船艦行駛了208.3m。

四、結語

本文介紹了GeoGebra和Matlab這兩款數學軟件在高等數學教學改革中的應用。讓學生對高等數學充滿興趣并且能扎實掌握并熟練運用高數知識一直是高等數學教學改革的重要目的之一。然而，在高等數學的傳統課堂教學中，往往是教師利用黑板或者PPT灌輸式地將理論、知識、證明技巧等傳授給學生。借助GeoGebra和Matlab這兩款數學軟件，教師可以將高等數學中的很多概念通過數形結合的方法形象直觀地呈現給學生，加強學生對概念的理解并激發學習興趣。結合近年來的網絡教學經驗，這兩款軟件更適合線上線下混合使用模式。教師在線上對軟件的使用做了具體的演示，學生在線下可以利用軟件豐富的網絡資源鞏固和拓展所學到的知識。將數學軟件引入高等數學教育的課堂后，也對教師提出了更高的要求。教師必須熟練地使用GeoGebra、Matlab、Mathematica等數學軟件，并將其有機地融入教學中。只有這樣，才能把傳統的“教師主宰性”課堂轉換為師生探究型課堂，從而提高教學質量以及推動高等數學課堂的現代化發展。

參考文獻：

[1]李克強.為何反復強調數學等基礎學科的重要性？[EB/OL].中國政府網，http：//www.gov.cn/guowuyuan/2018-01/04/content_ 5253247.htm.

[2]楊宏林，丁占文，田立新.關于高等數學課程教學改革的幾點思考[J].數學教育學報，2004（2）：74-76.

[3]吳振英.新工科背景下高等數學課程教學改革探索[J].高教學刊，2022，8（21）：144-147.

[4]余宏旺，胡銳，魏云峰.以生為本理念下高等數學研究導向型教學實踐探索[J].教育教學論壇，2022（34）：81-84.

[5]李建濤.高等數學課程中基于GeoGebra軟件的信息化教學[J].遼寧大學學報：自然科學版，2021，48（4）：381-386.

[6]牛海軍.數學軟件GeoGebra在高等數學教學中的應用[J].牡丹江教育學院學報，2016（1）：63-64.

[7]張敬信.基于GeoGebra構建高等數學動態圖形化教學資源庫[J].科技風，2022（3）：142-144.

[8]李曉東.MATLAB從入門到實戰[M].北京：清華大學出版社， 2019.

[9]李娜，仁慶道爾吉.MATLAB在高等數學教學中的應用研究[J].大學教育，2012，1（11）：66-67，74.

[10]黃慧青.MATLAB在高等數學教學中的應用[J].教育教學論壇，2019（19）：96-98.

[11]張鳳，郭洪杰，劉強. MATLAB在高等數學教學中的可視化應用[J].科技風，2022（15）：109-112.

（責任編輯：劉潔）

Research on the Reform of Higher Mathematics Teaching Based on the Application of Mathematical Software

Cheng Kun

（School of Information Engineering， Jingdezhen Ceramic University）

Abstract： Higher mathematics is an essential foundational theoretical course in science and engineering disciplines at higher education institutions. It is characterized by a large number of concepts， high difficulty， and abstract theories， resulting in significant pressure on both students' learning and teachers' instruction. Introducing mathematical software such as GeoGebra and Matlab into teaching not only presents concepts in higher mathematics to students in a visually intuitive way but also helps them develop the ability to apply abstract knowledge to solve practical problems through programming. This article introduces some cases of teaching assistance using GeoGebra and Matlab， covering topics such as integral definition， Fourier series， and solving differential equations. Through the informatization and dynamic visualization provided by the software， students' interest in learning is stimulated， and their mathematical thinking abilities are enhanced.

Key words：? Advanced Mathematics; GeoGebra Software; Matlab Software; Teaching Reform

基金項目：景德鎮陶瓷大學博士科研啟動基金項目：幾類Kirchhoff方程解的存在性（000/20298612）。

作者簡介：程琨（1990—），男，博士，講師，研究方向：大學數學教學，偏微分方程等。