透析試題本質,用問題驅動提升學習力*
——基于圓的試題生成分析與教學思考

劉 欣

? 湖北省武漢市武昌區教育局教研培訓中心

由圓外一點引圓的兩條切線所構成的圖形是一個軸對稱圖形,具有軸對稱圖形的特殊性質,提煉這個基本圖形及變式圖形所隱含的特殊結論,并運用于解決新問題,是提升數學綜合能力的有效方式.筆者研究武漢市近年來的各類考題,探索含此基本圖形的試題的本質特征,運用這些結論解題都可以讓問題迎刃而解.因此,透析試題本質,尋找問題與基本圖形之間的聯系,可以輕松找到解決問題的途徑.《義務教育數學課程標準(2022年版)》強化了“如何教”的具體指導,要促進學生深度參與教學,必須在精心設計問題的同時,巧妙呈現提出問題的方式,讓學習探究在不斷生成的問題解決中逐步展開,這樣才能有效促進學生數學學習力的提升.

1 試題背景

如圖1,過圓外一點P作⊙O的兩條切線PM,PN,切點分別為A,B.連接OA,OB,則∠APB+∠AOB=180°.

在圖1的基礎上,連接OP,AB,AB交OP于點Q,如圖2,分別從角與角、線段與線段、三角形與三角形的關系分析,可以得到如下結論:

圖2

(1)∠APO=∠BPO=∠OAB=∠OBA.

(2)PA=PB,AQ=BQ,PO⊥AB.

(3)△OAP≌△OBP,△APQ≌△BPQ;△OAQ∽△APQ∽△OPA等.

延長AO交⊙O于點C,交PN于點D,連接BC,如圖3,又可以得到以下結論:

圖3

(4)∠ACB=∠AOP=∠PAB,BC∥PO;

(5)△DBC∽△DAB;

(6)△ABC∽△PAO∽△AQO∽△PQA等.

2 試題演變及解析

上面的三個圖形和相關結論,經常被各地用于命制各類試題,研究近幾年武漢市的調考和中考試題,可以發現它們之間的聯系和變式生成過程.

2.1 取圓上一點,構造圓周角,運用角的關系求角

例1(2022年武漢元月調考)如圖4,PM,PN分別與⊙O相切于A,B兩點,C為⊙O上異于A,B的一點,連接AC,BC.若∠P=58°,則∠ACB的大小是______.

圖4

圖5

故填答案:61°或119°.

2.2 取圓上一點,添加角和線段,求半徑

圖6

分析及解：如圖7,連接OA,OP,AB,作BD⊥AC于點D.

圖7

由∠MAC=75°,得∠BAC=45°.

2.3 構造直角三角形,把已知線段和角轉移到直角三角形中

例3(2016年武漢四月調考)如圖8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點O在BC上,以點O為圓心,OC為半徑的⊙O剛好與AB相切,交OB于點D.若BD=1,tan∠AOC=2,則⊙O的面積是( ).

圖8

分析及解：設⊙O的半徑為r,AB與⊙O相切于點E,連接DE,則DE∥OA.

2.4 已知過圓外一點的一條切線,畫出另外一條切線,再證明判斷并賦值求解新問題

例4(2011年武漢中考)如圖9,PA為⊙O的切線,A為切點,過點A作OP的垂線AB,垂足為點C,交⊙O于點B,延長BO與⊙O交于點D,與PA的延長線交于點E.

圖9

(1)求證:PB為⊙O的切線;

分析及解：(1)如圖10,連接OA.

圖10

由△OAP≌△OBP,得∠OBP=∠OAP=90°.

所以PB是⊙O的切線.

設DE=m,則

由試題背景中的結論(3),知△ABE∽△DAE.

2.5 構造等腰直角三角形,運用特殊結構,建立特殊情況下的比值問題

例5(2020年武漢元月調考)如圖11,PA,PB分別與⊙O相切于A,B兩點,AC是⊙O的直徑,AC=AP,連接OP交AB于點D,連接PC交⊙O于點E,連接DE.

圖11

(1)求證:△ABC≌△PDA;

分析及解：(1)由∠PDA=∠ABC=90°,∠PAD=∠ACB,PA=AC,得△ABC≌△PDA.

(2)連接AE,BE.由△ABC≌△PDA,得BC=DA.

由AC是⊙O的直徑,得AE⊥CP.

又AC=AP,所以CE=PE=AE.

又∠BCE=∠DAE,所以△BCE≌△DAE.

3 關于“如何教”的思考

對于試題解析教學“怎么教?”的問題,既要分析試題之間的聯系和試題的本質,還要有好的教學呈現方式,把試題化為一個個問題,不斷變式,逐級推進,帶動學生參與到解決問題的過程中,讓學生經歷觀察、思考、表達、概括歸納、遷移運用的學習過程,促進數學素養的形成與發展.

3.1 畫基本圖形,探索一般結論

問題1過圓外一點P作⊙O的兩條切線PM,PN,切點分別為點A,B.如圖12,連接OA,OB,你能發現∠APB與∠AOB有什么關系?

圖12

問題2在圖12的基礎上再連接OP,AB,AB交OP于點Q,如圖13,你能發現圖中角與角、線段與線段,三角形與三角形有什么關系?

圖13

問題3在圖13的基礎上延長AO交⊙O于點C,交PN于點D,連BC,如圖14,你又可發現哪些新結論?

圖14

教學說明：設置這3個問題,從具體的問題1到開放的問題2、問題3,教學時先不給出圖形,讓學生通過對問題的文字和符號語言的理解自己畫圖,感受圖形生成過程,再研究圖形的幾何特征進而發現結論.

3.2 變換基本圖形,呈現試題生成過程

(Ⅰ)基于問題1,給出∠P的度數,求圓周角.

問題4在問題1的基礎上,在⊙O上取一點C(異于點A,B),連接AC,BC.若∠P=58°,能求出∠ACB的度數嗎?

(Ⅱ)基于問題1,給出角和線段的值,求半徑.

圖15

(Ⅲ)由問題3演變,設置條件,求⊙O的面積.

問題6在上述問題3的基礎上,若CD=1,tan∠AOP=2,你能求出⊙O的面積嗎?

(Ⅳ)改變問題1的條件,已知圓的一條切線,呈現另外一條切線的作圖過程,再判斷切線,并添加已知條件設置新問題.

問題7如圖16,PA為⊙O的切線,A為切點,過點A作OP的垂線AB,垂足為點C,交⊙O于點B,延長BO與⊙O交于點D,與PA的延長線交于點E.

圖16

(1)求證:PB為⊙O的切線;

(Ⅴ)保留PA,PB與⊙O相切,添加條件構造等腰直角三角形,生成新問題.

問題8如圖17,PA,PB分別與⊙O相切于A,B兩點,AC是⊙O的直徑,且AC=AP,連接OP交AB于點D,連接PC交⊙O于點E,連接DE.

圖17

(1)求證:△ABC≌△PDA;

教學說明：用以上問題4～8把前面的5個例題串聯了起來,通過從圓外一點引圓的兩條切線所構成的基本圖形,添加線段,增設條件,形成新問題,讓學生既能感受到試題生成的過程,又能在一個個問題的帶動下參與探究解決問題的過程.教學時注意問題要一個一個呈現,讓學生在解決前一個問題后,再觀察教師添線畫圖、設置條件、生成新問題的過程,讓學生的思維參與到圖形的生成、問題的變式過程中,感受到問題的不斷生長,這樣才能激發學生的學習動力,驅動學生深度參與探究學習,培養數學能力和素養.

4 結語

《義務教育數學課程標準(2022年版)》要求我們要整體把握教學內容之間的關聯,注重情境設計與問題提出,在真實情境中提出引發學生思考的問題,從而促進學生積極探究[1].因此,在試題解析教學中,不能簡單地呈現試題直接讓學生求解,要注意把試題問題化,在分析試題之間的聯系與本質之后,教學時用問題把試題串起來,通過在基本圖形背景基礎上,添加圖形條件,設計一個個螺旋上升不斷變式的問題,引導學生具體畫圖觀察、自主探究解題途徑、親身經歷試題變式過程,從而透析問題本質,揭示試題之間的聯系,有效提升數學學習力,促進數學核心素養的發展.