巧妙追問促提升,靈活設計引思考
——以“勾股定理”復習課為例

黃建松

? 江蘇省如皋市經濟技術開發區實驗初中

追問是在教師提問的基礎上對學生的答案進行進一步的提問,引導學生深入思考,探究問題的本質.問題是教學過程中師生互動的載體,而追問則是有效提升學生思維能力的手段.數學課堂以核心素養為培養目標,旨在促進學生在數學知識、思維方法上的增長,促使學生通過課堂學習建構數學思維,激發學生的數學想象力,形成生長型數學課堂.教師在課堂教學中以追問促使學生深度思考,以邏輯思維的生長貫穿數學課堂,促進課堂教學的智慧生成.

筆者以“勾股定理”復習課為例,以一個三角形為教學起點不斷進行追問,促進學生增長知識經驗,掌握思想方法,助力思維和綜合素養的生長.

1 教學實錄

在黑板上畫出一個△ABC,如圖1,三角形的邊AC長度為4,BC邊的長度為3.

圖1

師:根據這些條件可以得到什么結論呢?

生1:可以得到邊AB的長度為5.

(話音未落,馬上就有學生搶答.)

生2:AB的長度不一定是5.

師:你們的依據是什么呢?

生1:根據勾股定理,已知AC長度為4,BC的長度為3,可以求出第三邊的長度.

生2:勾股定理使用的前提是三角形為直角三角形,但是這道題中沒有給出這一條件.

師:看來兩位同學的意見不統一,你們覺得哪位同學說得有道理呢?

生(齊):生2說得對.

師追問:很好.那么給這個三角形添加一個什么條件就能使它變成直角三角形呢?

生3:只要讓三角形的一個角為90°就可以了,如∠C等于90°,那么AB就是直角三角形的斜邊.

生4:應用勾股定理的逆定理,可以添加條件“AB的長度為5”,由此得到AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形.

師:很好!兩位同學從不同的角度添加條件,一位是從角的角度,另一位是從邊的角度,但都能說明這個三角形是直角三角形.

師:如圖2,下面添加條件“∠C為直角”,你能獲得哪些結論呢?

圖2

生5:若∠C為直角,則△ABC是直角三角形,根據勾股定理可得AB的長度是5.

師:還可以獲得哪些結論呢?

生6:可以求得△ABC的周長和面積.

師追問:不錯.還有其他的結論嗎?

生7:根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個基本定理,可以得到△ABC斜邊的中線長為2.5.

師追問:非常好!還有嗎?

生8:還能求斜邊AB的高.

師追問:怎么求呢?

生9:根據等面積法來求,△ABC的面積等于AC與BC積的一半,也等于AB與對應高的積的一半,所以可以得到CD的長度為2.4.

師進一步追問:現在已經知道了直角三角形斜邊上的中線和高的長度,那么還能得到哪些結論呢?請大家先獨立思考.

生10:還可計算三個角的角平分線長度.

師:能和大家分享一下你是如何計算的嗎?

生10:如圖3,具體計算過程略.

圖3

師追問:剛才在計算這三條角平分線時使用了哪些知識?

生11:角平分線的性質定理和勾股定理.

師追問:角平分線與軸對稱知識有關,那么你還能聯想到其他與軸對稱有關的知識嗎?

生12:還有線段的垂直平分線.

師追問:如圖4,如果添加一條邊的垂直平分線,能得到什么結論呢?大家獨立思考5分鐘.

圖4

生13:可以求出三角形的兩條邊與垂直平分線相交所形成的線段DE的長.

圖4中的第(2)種情況:若添加AC的垂直平分線DE,則連接CE.根據垂直平分線的性質,可知EA=EC.設AE長為x,此時學生大多想要模仿第(1)種情況用勾股定理求解,但是發現無法很好地表示出三邊的長.既然從邊的角度不易求解,那么不妨從角出發進行研究,利用EA=EC,得到∠A=∠ACE.由于∠A與∠B的和為90°,∠ACE與∠BCE的和為90°,因此∠B=∠BCE,從而EC=EB,所以EA=EB.顯然E是AB的中點,從而可得EA的長度為2.5,進而利用勾股定理求DE的長度.

圖4中的第(3)種情況與第(2)種情況類似.

作業:在△ABC中,∠C為直角,AC的長度為4,BC的長度為3,假設動點P從點C出發沿著三角形的邊運動,從點C運動到點A再到點B,最后再回到點C停止運動,當△BCP為等腰三角形時,求點P運動路線的長度.

2 教學反思

筆者在教學過程中著力建構勾股定理的知識體系,圍繞教學主線,深入探究,形成不斷生長的智慧課堂.本課教學過程中貫穿始終的一條主線是如何形成直角三角形,通過直角三角形又可以獲得哪些結論.直角三角形屬于特殊三角形,因此選擇以三角形作為課堂的導入,從三角形開始追問,明確將三角形變成直角三角形一共有兩種方法.

接下來建立了另一知識框架,追問有了直角三角形之后,還能得到哪些結論?在教師的追問下,學生的思維不斷深入,探索出可以運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求中線的長度,還能夠運用數形結合的思想通過建立方程來求角平分線的長度,等等.

3 教學啟示

3.1 以追問促思考,自然生長

在本課中,以連續的追問引導學生深入思考,由淺入深,調動學生運用已學知識思考問題,獲得結論,從而使教學環節層層遞進,教學活動流暢自然,學生的知識、技能和思維在這樣的教學活動中自然得到發展.讓學生根據自己已有的知識基礎自然生長,既符合學生的認知規律,又體現了數學課堂的精髓.

學生的生長有其自然規律,教師不能為了完成所謂的教學任務,而只注重知識的講解,忽略學生的思考,導致學生不能真正理解知識,挫傷學生學習的積極性,最終影響學習效果.因此,教師要真正理解學生,深入研究教學,引導學生能夠抓住數學的本質,從而實現深層次的理解,使學生能夠自然得到生長.

3.2 以追問促探究,提升思維

本課依據學生的答案連續追問,學生根據所學知識很容易求得直角三角形斜邊的長以及斜邊上的中線長和斜邊上的高.這種連續的追問是引導學生進行深層次思考的重要手段,有利于提升學生的思維能力.數學教學不僅要教授學生知識,還要引導學生進行深入的思考,只有深度的課堂才能真正吸引學生,實現教育的價值.教育的目的是為了促進學生思維的發展,只有讓思維真正扎根,才能讓思維之樹枝繁葉茂.

3.3 以追問促設計,全面發展

課前的精心設計是教學活動順利開展的基礎.教師在備課中精心設計追問,充分預設學生在學習過程中可能會出現的問題,使學生的思維力得到提升.

教師在備課時要設想在教師的追問下學生可能會出現的答案,如有的會思考求三角形的周長、面積或者斜邊的長,有的會思考斜邊的中線,等等.通過追問,引導學生從多個角度進行思考,發展學生的創新思維,培養學生的知識遷移能力,使學生能夠舉一反三.