分析錯因,糾正錯誤,尋找方法
——證明三角形全等類問題錯例分析

趙玉蘭

?江蘇省蘇州市相城區陽澄湖中學

在初中幾何教學中,我們經常看到學生有一些似是而非的證法:有的是沒有完全理解題意,有的是理由不充分,有的是以偏概全、以局部代替整體,有的是誤解或誤用了性質、定義、定理、公式,有的是作圖誤導,還有循環論證、偷換概念、推理步驟不規范等多種錯誤.教師如果能夠弄清學生產生這些錯誤的原因,及時給予糾正或作為典型例題進行講解,就能幫助學生在今后的學習中盡量避免或減少這些錯誤的發生.下面筆者列舉了一些證明三角形全等的錯例,側重錯因分析與正確證明的比較,供學生學習時借鑒、參考.

例1如圖1,已知點A,E,F,D在同一直線上,且AE=DF,CE=BF,CE∥BF.求證:AB=CD.

圖1

錯證：在△ABF和△DCE中,CE=BF,AE=DF.

∵CE∥BF.

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE(SAS).

∴AB=CD.

錯因分析：錯證犯了“以局部代替整體”的錯誤.在AE=DF中,AE是AF的局部,DF是DE的局部,絕不能因為AF,DE有公共部分EF,就以局部相等來代替整體相等.

正確證明：∵AE=DF,EF=FE,

∴AE+EF=DF+FE,即AF=DE.

又∵CE∥BF,

∴∠1=∠2.

∴△ABF≌△DCE(SAS).

∴AB=CD.

例2已知AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線,AB=A′B′,BC=B′C′,AD=A′D′.

求證:△ABC≌△A′B′C′.

錯證：如圖2,

圖2

∴BD=B′D′.

在△ABD和△A′B′D′中,AB=A′B′,BD=B′D′,AD=A′D′,

∴△ABD≌△A′B′D′(SSS).

同理,△ADC≌△A′D′C′.

∴△ABD+△ADC≌△A′B′D′+△A′D′C′.

即△ABC≌△A′B′C′.

錯因分析：錯證犯了兩個錯誤.第一是用了不合理的“同理”,△ADC≌△A′D′C′與△ABD≌△A′B′D′的理由不相同,要證△ADC≌△A′D′C′,須證∠ADC=∠A′D′C′,根據“SAS”來證;第二是由兩對全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′的理由不充分,倘若兩對三角形不具備對應位置相同的條件則不全等,例如圖2(1)與圖3中,雖有△ABD≌△A″B″D″,△ADC≌△C″B″D″,但△ABC與△A″B″C″并不全等.

圖3

正確證明：∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線,

∴BD=DC,B′D′=D′C′.

∵BC=B′C′,

∴BD=B′D′.

又∵AB=A′B′,AD=A′D′,

∴△ABD≌△A′B′D′(SSS).

∴∠BAD=∠B′A′D′,∠B=∠B′.

在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,BC=B′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).

例3如圖4,AC與BD相交于點E,AD=BC,∠C=∠D.求證:AC=BD.

圖4

錯證：連接AB.

∵AD=BC,∠C=∠D,AB=AB,

∴△ABD≌△BAC(SSA).

∴AC=BD.

錯因分析：錯證的原因是應用了“邊邊角(SSA)”這個假定理.為什么說它是假定理呢?請看圖5,將等腰三角形ABC的底邊BC延長線上的任一點D和頂點A相連,在△DAB和△DAC中,滿足AB=AC,AD=AD,∠D=∠D,但這兩個三角形顯然不全等.

圖5

正確證明：在△AED和△BEC中,∠AED=∠BEC,∠D=∠C,AD=BC,

∴△AED≌△BEC(AAS).

∴AE=BE,DE=CE.

∴AE+EC=BE+ED,即AC=BD.

例4有兩角和一邊分別相等的兩個三角形全等嗎?若全等,則給出證明;否則,請舉出反例.

錯證：如圖6,在△ABC和△A′B′C′中,根據條件不同可分為兩種情況進行證明.

圖6

(1)∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,BC=B′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).

(2)∵∠B=∠B′,∠C=∠C′,BC=B′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).

綜上,有兩角和一邊分別相等的兩個三角形全等.

錯因分析：本題的證明過程看似無懈可擊,而且把兩種情況(AAS,ASA)都考慮到了.但仔細分析后發現仍然錯誤,其原因是把命題中的“分別相等”當成了“對應相等”.實際上,如圖7,在△ABC,△A′B′C′,△A″B″C″中,雖然∠A=∠A′=∠A″,∠C=∠C′=∠C″,BC=A′C′=A″B″,但它們卻不全等.因此,結論應是不一定全等.

圖7

例5有兩邊和一條高對應相等的兩個三角形全等嗎?若全等,則給出證明;否則,請舉出反例.

錯證：全等.證明如下.

當高是對應相等的兩邊中一邊上的高時,如圖8,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,CD和C′D′分別是邊AB和A′B′上的高,且CD=C′D′.

圖8

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中,AC=A′C′,CD=C′D′,

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠A=∠A′.

在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠A=∠A′,AC=A′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′.

當高是第三邊上的高時,如圖9,在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,AD和A′D′分別是BC和B′C′邊上的高,且AD=A′D′.

圖9

在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中,AC=A′C′,AD=A′D′,

∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′.

∴∠CAD=∠C′A′D′.

同理可證∠BAD=∠B′A′D′.

∴∠BAC=∠B′A′C′.

又在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠BAC=∠B′A′C′,AC=A′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′.

錯因分析：本題的證明過程看似把兩種情況都考慮到了,但忽視了“三角形的高不一定在形內”這種可能性.例如,若兩個三角形一個為銳角三角形,另一個為鈍角三角形,如圖10中的△ABC與△ABC′,雖然AB=AB,AC=AC′,且它們第三邊上的高都是AD,但顯然這兩個三角形并不全等.因此,結論是不一定全等.

圖10

綜上可知,學生在證明過程中會出現各種各樣的錯誤,這是一種正常現象,是學生思維過程的真實反映.在實際教學中,教師要幫助學生找到錯誤并分析產生錯誤的原因,并將學生的這種錯誤作為一種資源,因勢利導,正確、巧妙地加以利用,糾正錯誤,使學生盡可能地減少錯誤,最終找到正確的方法,提高學習效率.