借助等差中項(xiàng)，妙解三角函數(shù)

張志華

摘要：對(duì)稱結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)中一個(gè)極具美感的特征結(jié)構(gòu)，對(duì)稱思維是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常優(yōu)秀的思想方法.結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)問題中對(duì)應(yīng)要素的對(duì)稱關(guān)系，合理借助等差中項(xiàng)的性質(zhì)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列加以轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)問題的創(chuàng)新與求解.

關(guān)鍵詞：對(duì)稱；等差中項(xiàng)；等差數(shù)列；三角函數(shù)；開放

對(duì)稱結(jié)構(gòu)是一類意義重大、美感十足的原始模型，在建筑學(xué)、數(shù)學(xué)、藝術(shù)等方面，對(duì)稱都是其中一類非常典型的美.而在三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)的綜合與應(yīng)用中，經(jīng)常借助題設(shè)條件與結(jié)論中的不同角、不同三角關(guān)系式，以及對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，以對(duì)稱的方式，借助等差中項(xiàng)的構(gòu)建，呈現(xiàn)出全新的角與角、式與式之間的關(guān)系等，使得問題往往變得更加直觀易懂，方便求解與應(yīng)用[1].

1 利用角的對(duì)稱構(gòu)建等差中項(xiàng)

利用不同角之間的對(duì)稱關(guān)系，合理構(gòu)建其相應(yīng)的等差中項(xiàng)，引入第三個(gè)角，結(jié)合角之間的關(guān)系進(jìn)行合理變形與轉(zhuǎn)化，有時(shí)對(duì)于三角函數(shù)及其相關(guān)問題的破解有奇效，方向性強(qiáng)，直達(dá)目標(biāo).

點(diǎn)評(píng)：抓住題設(shè)中兩個(gè)不同的角與結(jié)論中所求的角，三者之間恰好構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，構(gòu)建等差中項(xiàng)，引入對(duì)應(yīng)的參數(shù)角，借助三角恒等變換公式可以快捷達(dá)到目的.

2 利用式的對(duì)稱構(gòu)建等差中項(xiàng)

利用不同三角關(guān)系式之間的對(duì)稱關(guān)系，合理構(gòu)建等差中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，合理引入?yún)?shù)，利用三角關(guān)系式的變形，結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用來變換，實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

點(diǎn)評(píng)：抓住題設(shè)中同角的正弦值與余弦值之和為常數(shù)的條件，合理構(gòu)造等差數(shù)列，借助公差這一參數(shù)的引入，合理換元處理，結(jié)合相關(guān)的三角函數(shù)關(guān)系式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.正確識(shí)別并快速反應(yīng)，合理根據(jù)題目三角函數(shù)關(guān)系式聯(lián)想到等差數(shù)列，巧妙引入等差中項(xiàng)，綜合等差數(shù)列的概念與性質(zhì)來處理與求解相關(guān)的三角函數(shù)問題，出奇制勝.

3 利用問題條件構(gòu)建等差中項(xiàng)

結(jié)合問題條件，通過變形處理，利用對(duì)應(yīng)元素之間的對(duì)稱關(guān)系，合理構(gòu)建相應(yīng)的等差中項(xiàng)，借助參數(shù)的引入與等差數(shù)列的概念與性質(zhì)等，綜合三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)來分析與求解.

分析：根據(jù)題設(shè)中三角關(guān)系式的恒等變形，借助等差中項(xiàng)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列，引入等差數(shù)列的公差d，將tan B與tan C均表示為tan A與d的關(guān)系式，進(jìn)一步利用三角恒等變換公式及函數(shù)的性質(zhì)來確定tan2A的最值，最后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等來確定相關(guān)的最值問題.

點(diǎn)評(píng)：利用解三角形問題背景下對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與恒等變形，合理構(gòu)建相應(yīng)的等差數(shù)列.借助等差中項(xiàng)的性質(zhì)，合理轉(zhuǎn)化解三角形問題中的三角關(guān)系式，是解決問題的關(guān)鍵步驟，形式特殊，思維巧妙.

4 利用問題背景構(gòu)建等差中項(xiàng)

利用問題背景，通過相關(guān)角或式等對(duì)應(yīng)元素之間的對(duì)稱關(guān)系，合理構(gòu)建相應(yīng)的等差中項(xiàng)，巧妙引入?yún)?shù)，結(jié)合三角函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)來破解對(duì)應(yīng)的開放性、探究性等問題.

例4 （2020年高考數(shù)學(xué)北京卷·14）若函數(shù)f（x）=sin（x+φ）+cos x的最大值為2，則常數(shù)φ的一個(gè)取值為[CD#3].

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合三角關(guān)系式中對(duì)應(yīng)角的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，借助等差中項(xiàng)引入?yún)?shù)，利用函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與三角函數(shù)求值的轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)獨(dú)特的解法.開放性問題，開放性思維，奇效性構(gòu)建，創(chuàng)新性應(yīng)用，綜合起來，創(chuàng)建一個(gè)優(yōu)美的解決方案，令人稱奇.

在一些三角函數(shù)及解三角形等相關(guān)問題的破解中，利用題設(shè)條件中角、式結(jié)構(gòu)等方面的對(duì)稱關(guān)系，合理借助等差中項(xiàng)的性質(zhì)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的等差數(shù)列，巧妙利用等差數(shù)列引入相關(guān)參數(shù)，綜合數(shù)列與三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來合理交匯，綜合應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化，以全新的思維與面貌展示數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美，數(shù)學(xué)思維的巧妙美[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]韓文美.巧借導(dǎo)數(shù)法，妙解三角題[J].教學(xué)考試，2021（2）：27-29.

[2]岳菲菲.巧構(gòu)等差數(shù)列 妙解數(shù)學(xué)問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（12）：58-59.