探析立體幾何中的軌跡問題

■四川省綿陽實驗高級中學 羅 娟

在高中數(shù)學的學習過程中,要注重數(shù)學的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系,高考大綱也提出了數(shù)學整體性和綜合性的要求,于是立體幾何與解析幾何作為幾何的兩個分支,兩者“聯(lián)姻”而成的題型逐漸成為高考與各省市模擬中的“熱點”。這類題型立意新,知識交叉滲透,有些同學常感到無從下手,本文將通過所求軌跡的種種類型來介紹如何找到這類問題的突破口,從而順利解決問題。

一、軌跡為點型

例1已知平面α∥平面β,直線l?α,點P∈l,平面α,β間的距離為4,則在平面β內(nèi)到點P的距離為5且到直線l的距離為9 2的點的軌跡是( )。

A.一個圓 B.兩條平行直線

C.四個點 D.兩個點

解析：如圖1,設(shè)點P在平面β內(nèi)的射影是O,則OP是平面α,β的公垂線,OP=4。在平面β內(nèi)到點P的距離等于5的點到O的距離等于3,可知所求點的軌跡是平面β內(nèi)以O(shè)為圓心,3為半徑的圓。又在平面β內(nèi)到直線l的距離等于的點的集合是兩條平行直線m、n,它們到點O的距離為,所以直線m、n與這個圓均相交,共有四個交點,因此所求點的軌跡是四個點。故選C。

圖1

點評:把空間的距離問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決。

二、軌跡為直線型

例2平面α的斜線AB交α于點B,過定點A的動直線l與AB垂直,且交α于點C,則動點C的軌跡是( )。

A.一條直線 B.一個圓

C.一個橢圓 D.雙曲線的一支

解析：設(shè)l與l1是過點A且與AB垂直的任意的兩條直線,則這兩條直線確定了一個平面β,由題意可得AB⊥β,由于過一點有且只有一個平面與已知直線垂直,因此平面β是唯一的,所以動點C都在平面α與β的交線上。故選A。

點評:熟練掌握立體幾何中的公理、定理,對于解決問題有很大的幫助。

三、軌跡為曲線型

1.軌跡為橢圓

例3在三棱柱ABC-A1B1C1中,二面角A-CC1-B的大小為30°,動點M在平面ACC1A1上運動,且M到平面BCC1B1的距離d=MA,則點M的軌跡為( )。

A.直線 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

解析：如圖2,過點M作MN垂直平面BCC1B1于點N,作MD垂直CC1于點D,連接MD,由三垂線定理得DN⊥CC1,所以∠MDN=30°,則,由圓錐曲線的第二定義可知點M的軌跡為橢圓。故選D。

圖2

點評:利用二面角為定值這一特點轉(zhuǎn)化為橢圓的定義。

2.軌跡為拋物線

例4如圖3,在正方體ABCDA1B1C1D1中,P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點,若P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點P的軌跡所在的曲線是( )。

圖3

A.直線 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

解析：由C1D1⊥平面BB1C1C,得PC1⊥C1D1,所以PC1就是點P到直線C1D1的距離,故條件轉(zhuǎn)化為點P到BC的距離等于點P到點C1的距離。根據(jù)拋物線的定義知點P的軌跡所在的曲線是拋物線。故選D。

點評:本題的解答巧妙利用了題中某些定值定量條件,轉(zhuǎn)化為定義法來判定動點軌跡。這其實也是解析幾何中求軌跡問題常用的方法之一。

3.軌跡為雙曲線

例5已知直線e?α,點P?α,過點P引與直線e成45°角的直線交平面α于點Q,則點Q的軌跡是( )。

A.兩個點 B.雙曲線

C.橢圓 D.拋物線

解析：如圖4,過點P作PO⊥α于點O,以過點O與直線e平行的直線為y軸,以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標系,過點Q作OA⊥x軸于點A。設(shè)Q(x,y,0),則A(x,0,0),由于P點固定,不妨設(shè)P(0,0,h),由題意知OA=PA,所以y2=x2+h2。故選B。

圖4

點評:建立空間直角坐標系把立體幾何與解析幾何直接聯(lián)系起來。

四、軌跡為空間圖形

例6如圖5所示,已知在每條棱長都為3 的直平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動,另一個端點N在底面ABCD上運動,則MN的中點P的軌跡與直平行六面體的面所圍成的幾何體的體積為( )。

圖5

解析：由題意知,當點M或N與點D重合時,DP=1;當不重合時,M,N,D三點構(gòu)成直角三角形,DP為斜邊上的中線,DP=1。所以點P的軌跡是以D為球心,半徑為1的球在直平行六面體內(nèi)的部分。由題意知∠ADC=120°,所以。故選B。

點評:利用MN為定長這一特點,巧妙轉(zhuǎn)化為球的定義進行求解。

通過以上幾例,不難發(fā)現(xiàn),解決立體幾何中的軌跡問題的關(guān)鍵在于把不同平面上的條件轉(zhuǎn)化到同一平面中去,然后用解析幾何方法去求軌跡。