利用透鏡組實(shí)現(xiàn)近軸光學(xué)隱身

潘 剛,石純喆,敬 棚,陳文娟

(合肥工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)部,安徽 宣城 242000)

光學(xué)中有很多實(shí)現(xiàn)隱身的方法,例如通過(guò)構(gòu)造折射率梯度讓光線發(fā)生彎曲實(shí)現(xiàn)隱身,或者利用菲涅耳透鏡、光學(xué)透鏡組等實(shí)現(xiàn)隱身[1-3]. 其中,通過(guò)構(gòu)建透鏡組實(shí)現(xiàn)光學(xué)隱身已受到廣泛關(guān)注[4-6]. 本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了雙凸透鏡的數(shù)量、焦距、口徑等參量對(duì)構(gòu)建光學(xué)隱身系統(tǒng)的影響. 經(jīng)由光學(xué)矩陣?yán)碚摲治鯷7],建立了四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)、三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)、雙厚透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)3種理論模型,并給出了上述透鏡組實(shí)現(xiàn)光學(xué)隱身應(yīng)滿足的條件. 最后,針對(duì)不同的光學(xué)隱身系統(tǒng),通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量,驗(yàn)證了理論模型的正確性.

1 預(yù)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)器材:光具座1套、雙凸透鏡(口徑為33.0 mm,焦距為75.0 mm)若干、卷尺1把、10 cm×10 cm的方格墻紙.

通過(guò)改變光具座上雙凸透鏡的種類、數(shù)量及相對(duì)位置,觀察該透鏡系統(tǒng)是否能實(shí)現(xiàn)光學(xué)隱身. 構(gòu)建4個(gè)相同且共軸共焦點(diǎn)擺放的雙凸透鏡的透鏡組實(shí)現(xiàn)近軸光學(xué)隱身. 通過(guò)將卷尺分別橫置在兩兩透鏡之間,發(fā)現(xiàn)在第一二透鏡及第三四透鏡之間形成了較大的隱身區(qū)域,其隱身效果如圖1所示.

圖1 4個(gè)相同透鏡構(gòu)成系統(tǒng)的隱身效果

2 理論分析

2.1 相關(guān)定義及分析方法

從透鏡組的一側(cè)透過(guò)物體可直接觀察到透鏡組另一側(cè)的景,景的形貌不發(fā)生改變,且觀察視野不發(fā)生擴(kuò)大或縮小的現(xiàn)象稱為“隱身”或“隱形”. 由于透鏡組本身存在透光區(qū)域,若要找出物體的隱身區(qū)域,只需求解該透鏡組的透光區(qū)域,再在空間中將其減去即可.

根據(jù)幾何光學(xué)中光學(xué)矩陣的相關(guān)知識(shí),任意位置的近軸光線可表示為列矩陣:

(1)

其中,r為光線離軸的距離,r′為光線在該點(diǎn)的斜率.如圖2所示,若該光線在厚度為d的均勻各向同性介質(zhì)中傳播,則有:

圖2 光學(xué)矩陣計(jì)算方法

(2)

2.2 四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)

由預(yù)實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)論,可以構(gòu)建出四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的基本模型,如圖3所示.平行光入射四薄透鏡組,薄透鏡組中的每個(gè)雙凸透鏡完全相同(口徑、焦距等),且共軸共焦點(diǎn)擺放.根據(jù)光路分析,易知圖3中綠色區(qū)域即為物體隱身區(qū)域.

圖3 四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的基本模型

要使成像正立且觀察視野不發(fā)生縮放,根據(jù)光路可逆性,該光學(xué)隱身系統(tǒng)擺放的透鏡需前后對(duì)稱.為了方便分析,僅取前2個(gè)雙凸透鏡進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算部分光路圖如圖4所示,設(shè)兩共軸等大薄凸透鏡的焦距分別為f1和f2,間距為d(d≠0),則

圖4 四薄透鏡系統(tǒng)計(jì)算部分光路圖

(3)

可以解得:

(4)

由式(4)可知觀察視野隨兩薄凸透鏡焦距的比值變化而變化.下面對(duì)兩薄凸透鏡的焦距關(guān)系做如下討論:

1)若f1

圖5 f1

2)若f1>f2,即大焦距凸透鏡在前,小焦距凸透鏡在后.這種情況與前者類似,觀察視野也會(huì)發(fā)生變化,不符合隱身定義,本文不做討論.

3)若f1=f2,系統(tǒng)為對(duì)稱的四薄透鏡系統(tǒng),其光路示意圖如圖6所示.根據(jù)分析和預(yù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,此時(shí)雙凸透鏡之間出現(xiàn)隱身區(qū)域,實(shí)驗(yàn)效果較好.

圖6 f1>f2情況光路示意圖

以上為光線平行入射的情況,若光線不平行入射,式(3)應(yīng)改為

(5)

可以解得:

(6)

因?yàn)閐≠0,所以此時(shí)f2→∞,f1→∞,意味著此時(shí)透鏡為平面鏡,這種情況下的透光區(qū)域會(huì)充滿鏡間區(qū)域,導(dǎo)致隱身區(qū)域?yàn)榱?故物體無(wú)法隱身.

實(shí)際上,由于透鏡對(duì)不同波長(zhǎng)的光的折射率不同,因此無(wú)法在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)絕對(duì)平行的入射光,尤其是白光(復(fù)色光). 但本文構(gòu)建的透鏡系統(tǒng)對(duì)于近平行光(與光軸成3～5°的入射光)也能實(shí)現(xiàn)很好的隱身效果,且對(duì)于白光光源而言,其在穿過(guò)多個(gè)透鏡后仍未發(fā)生明顯的色散現(xiàn)象.

2.3 三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)

穿過(guò)薄透鏡二倍焦距點(diǎn)的光線經(jīng)過(guò)透鏡折射后仍能回到其二倍焦距點(diǎn). 根據(jù)此原理,設(shè)計(jì)了三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)基本模型如圖7所示. 平行光射入三薄透鏡組[透鏡組中的第一、第三雙凸透鏡完全相同(口徑、焦距等),第二雙凸透鏡以自身的2倍焦距點(diǎn)與其他透鏡共軸共點(diǎn)擺放] ,首先經(jīng)由第一透鏡作用后會(huì)聚到其焦距點(diǎn)處,又因第二透鏡是以自身2倍焦距點(diǎn)與兩側(cè)透鏡共軸共點(diǎn)擺放,故光線會(huì)被再次會(huì)聚到右側(cè)第三透鏡的焦距點(diǎn)處,最后經(jīng)由第三雙凸透鏡平行出射. 根據(jù)光路分析可知,圖7中綠色區(qū)域?yàn)槲矬w隱身區(qū)域.

圖7 三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的基本模型

三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)中間透鏡的作用相當(dāng)于四薄透鏡系統(tǒng)中第二、第三透鏡的作用,與四薄透鏡系統(tǒng)原理一致,該系統(tǒng)中雙凸透鏡的焦距和口徑也相互關(guān)聯(lián),且中間透鏡口徑小于兩側(cè)透鏡時(shí),構(gòu)成的隱身區(qū)域較好.

2.4 雙厚透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)

由四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的討論可知,若雙凸透鏡能會(huì)聚平行光線,則可由光路可逆性設(shè)計(jì)雙凸透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng). 將2個(gè)特定的厚凸透鏡共軸對(duì)稱擺放,即可構(gòu)建雙厚透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng).如圖8所示,2個(gè)厚度為l的雙凸透鏡共軸對(duì)稱擺放,記空氣折射率為n,透鏡材質(zhì)的折射率為n1,前后球面曲率半徑分別為R1和R2,且定義光線傳播遇到凸面時(shí)R>0,遇到凹面時(shí)R<0.通過(guò)推導(dǎo),可以得到該系統(tǒng)隱身所需的條件.

對(duì)于第一個(gè)厚透鏡有R1>0,R2<0,其光學(xué)矩陣方程為

(7)

解得

(8)

(9)

3 實(shí)驗(yàn)探究

前文的討論給出了各透鏡系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)隱身應(yīng)滿足的理想條件. 但實(shí)際上,某些具有特定屬性的透鏡并不常見,例如厚透鏡. 因此,本文主要就如何構(gòu)建四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)(見圖9)和三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)(見圖7)開展實(shí)驗(yàn).

圖9 四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)示意圖

圖10 通過(guò)描點(diǎn)法測(cè)定透鏡組的透光區(qū)域

實(shí)驗(yàn)器材與預(yù)實(shí)驗(yàn)器材基本相同. 平行光源采用可調(diào)焦的強(qiáng)光手電筒,可以在一定范圍內(nèi)保持較好的準(zhǔn)直性.

3.1 四薄透鏡光學(xué)隱身實(shí)驗(yàn)

3.1.1 實(shí)驗(yàn)1:相同薄凸透鏡共軸共焦擺放

采用4個(gè)雙凸透鏡(口徑Φ=33.0 mm,焦距f=75.0 mm)共軸共焦擺放,測(cè)定該四薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 數(shù)據(jù)記錄以平行光經(jīng)過(guò)第一個(gè)透鏡的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),光軸為x軸,光線傳播方向?yàn)檎较?建立坐標(biāo)系. 將光線經(jīng)過(guò)第一二透鏡之間的區(qū)域稱為第一區(qū)域,第二三透鏡之間的區(qū)域稱為第二區(qū)域,第三四透鏡之間的區(qū)域稱為第三區(qū)域. 測(cè)量數(shù)據(jù)圖如圖11所示,由此可見,若采用4個(gè)相同的雙凸透鏡構(gòu)建四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng),其第一區(qū)域、第三區(qū)域可形成較好的隱身區(qū)域.

圖11 光斑平均半徑測(cè)量數(shù)據(jù)1

根據(jù)對(duì)稱性可知,第一區(qū)域、第三區(qū)域形成的透光區(qū)域近似為“沙漏體”,且越靠近焦距重合點(diǎn),透光區(qū)域越小,隱身效果越好. 第二區(qū)域由于其光斑平均半徑接近雙凸透鏡的半徑(16.5 mm),故該區(qū)域的隱身效果較差.

3.1.2 實(shí)驗(yàn)2:不同參量薄凸透鏡共軸共焦擺放

采用焦距為150.0 mm和75.0 mm,對(duì)應(yīng)口徑為50.0 mm和33.0 mm的雙凸透鏡共軸共焦擺放,測(cè)定該四薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 其中大焦雙凸透鏡擺兩側(cè),小焦雙凸透鏡擺中間. 采用描點(diǎn)法記錄數(shù)據(jù),得到圖12所示的數(shù)據(jù)圖.

圖12 光斑平均半徑測(cè)量數(shù)據(jù)圖2

由圖12可知,若采用不同參量的雙凸透鏡構(gòu)建四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng),其第一區(qū)域、第三區(qū)域的情況與實(shí)驗(yàn)1基本一致,但其第二區(qū)域的情況與實(shí)驗(yàn)1有所不同. 由于兩側(cè)雙凸透鏡半徑為25.0 mm,而該區(qū)域光斑平均半徑僅在11.8 mm左右,故在此區(qū)域中可形成一空心圓柱體的隱身區(qū)域. 即物體距光軸一定距離范圍(11.8 mm

圖13 不同參量薄凸透鏡構(gòu)成系統(tǒng)的隱身效果

3.2 三薄透鏡光學(xué)隱身實(shí)驗(yàn)

采用焦距分別為350.0 mm和75.0 mm,對(duì)應(yīng)口徑分別為50.0 mm和33.0 mm的雙凸透鏡共軸共點(diǎn)擺放,測(cè)定該三薄透鏡系統(tǒng)的隱身區(qū)域. 該系統(tǒng)中大焦雙凸透鏡擺在兩側(cè),小焦雙凸透鏡擺在中間,得到如圖14所示的測(cè)量數(shù)據(jù)圖.

圖14 光斑平均半徑測(cè)量數(shù)據(jù)圖3

該三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)于第一、第二區(qū)域中均形成沙漏狀透光區(qū)域,故在2個(gè)區(qū)域中均可實(shí)現(xiàn)較好的隱身效果. 值得一提的是,三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的中間透鏡是與兩側(cè)透鏡以自身2倍焦距共軸共點(diǎn)擺放,如果中間雙凸透鏡焦距過(guò)小,則導(dǎo)致該透鏡過(guò)厚,不滿足“薄凸透鏡”的前提條件. 故三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)對(duì)中間雙凸透鏡的要求較高. 該透鏡系統(tǒng)形成的隱身效果如圖15所示.

圖15 三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的隱身效果

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了如何利用雙凸透鏡構(gòu)建透鏡組來(lái)實(shí)現(xiàn)近軸光學(xué)隱身. 從雙凸透鏡的數(shù)目、焦距、口徑等參量出發(fā),討論了透鏡組實(shí)現(xiàn)近軸光學(xué)隱身所應(yīng)滿足的條件,并建立了四薄透鏡、三薄透鏡和雙厚透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)3種理論模型,并做了實(shí)驗(yàn)探究(由于雙厚透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象不明顯,故未對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究). 通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)探究,得到以下結(jié)論:

1)對(duì)于四薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng),若要構(gòu)成隱身區(qū)域,擺放的雙凸透鏡需前后對(duì)稱,前2個(gè)透鏡需共軸共焦擺放. 且大焦透鏡在兩側(cè),小焦透鏡在中間,這樣構(gòu)成的透鏡組隱身效果較好.

2)對(duì)于三薄透鏡光學(xué)隱身系統(tǒng),若要構(gòu)成隱身區(qū)域,中間小口徑透鏡需以自身2倍焦距點(diǎn)與兩側(cè)大口徑透鏡焦距點(diǎn)共軸共點(diǎn)擺放.

通過(guò)構(gòu)建透鏡組實(shí)現(xiàn)光學(xué)隱身的技術(shù)操作簡(jiǎn)單,效果明顯. 因此,本研究可作為學(xué)生學(xué)習(xí)光學(xué)知識(shí)的實(shí)操實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)[7-8].