基于波利亞數學解題思想的解題教學
——以圓錐曲線的“最值問題”為例

劉思寧 吳麗華

? 哈爾濱師范大學

圓錐曲線是高中數學的重要內容,也是高考數學重點考查的內容.這部分內容對于學生來說比較吃力,故本文中以圓錐曲線的“定值、最值問題”為例,探析波利亞解題思想在圓錐曲線解題教學中的應用.

1 波利亞的解題理論

“一個好的解法是如何想出來的?”這是大部分學生在完成數學作業中一直困惑的問題.波利亞[1]在《怎樣解題》中的每一個問題就像是解決問題思維過程的“慢鏡頭動作”,也像是我們解決問題時內心的獨白.

第1步：理解題意[2].

理解問題的含義是波利亞“如何解決問題表”的第一步,即檢查問題.學生應該熟悉問題,并回憶起相關的知識,以找到未知的數量、已知的數據和條件,并用數學符號表達條件給出的信息.

第2步：擬定方案.

擬定方案是問題解決的中心環節,關鍵是要找到已知條件和所求問題之間的密切關聯,從而形成一個可行的解題方案.學生要根據頭腦中原有的數學知識結構找到與所求問題之間的橋梁.

第3步：執行方案.

方案擬定完成,這個階段學生要做的是認真寫下解題過程,確保條件充分使用,在解決過程中準確無誤,思路清晰.

第4步：回顧.

回顧是檢查問題解決活動的過程,也是問題解決活動中一個重要也很容易被忽視的環節.我們得出的解決問題的方法,要經得起“特殊”的檢驗,哪怕有特殊個體出現也適用才行,因為,我們找到的解決方法需要能重復使用,甚至能解決其他領域的問題.解答完后還需要復盤,找到可以改進的地方.

2 解題教學方法探析

筆者試圖將解題教學策略應用在圓錐曲線的綜合問題中,以近年來圓錐曲線常考的問題,如軌跡方程,圓錐曲線有關的最值問題為例.

圖1

解題分析：

第1步：理解題目.

教師:未知是什么?

教師:已知是什么?

學生:焦點F(1,0);拋物線方程y2=4x;△ABC的重心G在x軸上;Q在點F的右側.

教師:條件是什么?

學生:過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在拋物線上,使得△ABC的重心G在x軸上,直線AC交x軸于點Q,且Q在點F的右側.記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

教師:是否滿足條件?

學生:滿足條件.

①根據三角形重心性質構建三角形面積之比;

②通過相似三角形和三角形的性質將面積比轉化為底邊之比;

③利用面積和縱坐標之間的關系,借助基本不等式、最值求解方法、韋達定理,求得比值的最小值.

教師:要確定條件是否充分?是否多余?是否矛盾?

學生:條件應該是充分的.

①已知點G為三角形的重心,可得△AFG和△CQG與△ABC面積比值.設點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),這里y1>0,將面積之比轉化為邊長之比,再由邊長之比轉化為坐標之比.

③根據最值知識點求解問題.

點評：題目當中所蘊含的條件比較多,需要學生對其進行一一分析,體會條件與條件的關系.

第2步：制定計劃.

教師:本題與以前做過的題目相類似嗎?由此能聯想到什么?

學生:有過類似的題目.能聯想到三角形高線性質、焦點弦、最值的求解問題等.

教師:解決此類問題有什么常用方法?

學生:有幾何問題代數化法,利用函數求最值等.

教師:能以其他方法敘述這道題目嗎?

點評：結合題目給出的條件,從已知推未知,梳理思路,建立聯系.

第3步：執行計劃.

教師:上述解題思路是正確的嗎?

學生:是正確的.根據三角形重心,得出△AFG和△CQG與△ABC面積的關系,再轉化為縱坐標之比;根據三角形重心坐標公式,找出縱坐標y1,y2,y3的關系進行轉化;針對問題建立關于參數的函數式,利用函數單調性或者求極值的方法求最值,并結合換元法來簡化計算.

教師:能否證明它是正確的?

點評：整個解題過程建立在數形結合的基礎之上,這個過程需要學生有一定的運算能力,通過最值問題的求解提升學生的數學運算核心素養和推理論證能力.

第4步：回顧.

教師:此題主要考查了哪些知識點?解決最值問題可以從哪些變量入手?

學生:三角形面積的比值的最小值問題,其中涉及了拋物線、直線方程、重心性質、韋達定理等基礎知識,考查了運算求解與轉換化歸的思想.求函數最值常用配方法、單調性法、判別式法、基本不等式法、導數法和換元法等搭配使用.

點評：本題所涉及的知識點較多,運用的方法也比較多元,計算量大,需要學生有很強的邏輯思維才能完成.通過此題的練習,學生在解圓錐曲線最值問題的求解方面會有很大突破.

在解決問題的過程中,教師需要把握教學目標,鞏固學生對已學知識的認知結構,豐富學生對問題的認知體驗,培養學生解決問題的能力和興趣.以波利亞[1]的《怎樣解題》為依據,教師也應立足主題,充分發揮主題的價值,并運用到實際教學中.