數學好教師教學之新境

【摘? 要】? 為使數學優秀教師步入新境，把數學教育做得更好，提出十個“走向”供參考：從生答到生問、從學會到會學、從雙基到三維、從三維到素養、從好玩到玩好、從教會到教慧、從智力到非智、從題海到題根、從無疑到生疑、從小氣到大氣.

【關鍵詞】? 數學好教師；教學;新境

有好的教師，才有好的教育.誰贏得教師，誰就贏得未來.

數學優秀教師，教精其術，教明其道，教取其勢，教有其思，教專其業，托起了一方教育的璀璨星空.

從優秀走向卓越，還要什么？我以為，還要步入新境.

就教學而言，教師把學生“教會”了，是一種境界，如果教師把學生“教慧”了，教師的教學就步入了一個新的境界.教學，從生答到生問、從學會到會學、從無疑到生疑、從小氣到大氣……教師可以做的更好.

1? 從生答到生問我們的學生不善“問”，是不爭的事實.

美國學者布魯巴克曾說過：“最精湛的教學藝術，遵循的最高準則就是讓學生能夠自己提問題.”提出問題是思維的動力，是創造的基石，也是解決問題的重要途徑.愛因斯坦也認為“提出一個問題比解決一個問題更重要”，所以教師在教學中應注意培養學生“問”的能力.教師要激起學生愛問的沖動，善待每個學生的提問，使不同水平的學生都得到鍛煉.

教師對有價值的提問，“點贊”之后要引導學生認真探究；對于價值不大的提問，要區別對待，采取妥善的方法予以處理，以保護、鼓勵學生提問的積極性.對于后進生的提問要“高看一眼”，多用激勵性語言贊賞之.

值得一提的是，有觀點認為：“讓學生提問難，教師轉變更難，最大的阻力來自教師自身.”當學生所提的問題“井噴”時，老師招架得住嗎？當整堂課被學生雜亂無章的“問題泡沫”包圍時，老師還能收放有度地駕馭好課堂嗎？當教師習慣于“自問自答”的教學方式受到挑戰時，老師能克服固有的教學定勢嗎？

從“生答”到“生問”，教師準備好了嗎？2? 從學會到會學

“學會”，只是說在學習過程中掌握了某種知識和技能；“會學”，則是指在學習的過程中掌握了學習方法，形成了學習能力.

一個學生要想取得優良的學習效果，單靠教師教得好、教得得法是不行的，他自身還必須學得好、學得得法.遺憾的是，長期以來，在教育理論和教育實踐中，教學多研究教，少研究學.實踐證明，忽視了學，教也失去了針對性，減弱了其實效性.

教師“教學”，不僅包含教師的“教”，還應包含教師教學生“學”.

課例1? （爬樓梯問題）有人要上樓，此人每步能向上走1階或2階，如果樓梯有10階，他上樓共有多少種不同的走法？我們用an表示上n階樓梯的走法種數.

如果只上1階，顯然只有1種走法，見圖1，即a1=1.

如果上2階，由圖2知，有2種走法，即a2=2.

為了進一步研究a3，a4，a5，…，an，我們可以對起步（即跨出的第一步）進行考察.

起步只有2種不同的情況：上1階或上2階.

對圖3進行研究，有2種不同起步，發現a3=a2+a1=2+1=3.

對圖4進行研究，由2種不同起步，發現a4=a3+a2=3+2=5.

對圖5進行研究，由2種不同的起步，發現a5=a4+a3=5+3=8.

離開圖形，我們可以用同樣的方法將起步分為兩類——上1階與上2階，又可以得到：

a6=a5+a4=8+5=13，a7=a6+a5=13+8=21，…，進一步得到

an=an－1+an－2（n≥3）.

由此，我們可以依次計算，得出下表：

從表中我們知道，上10階樓梯，共有89種不同的走法.

如果樓梯有20階、30階，又該怎么算呢？顯然可以繼續列表算出，但計算量不斷加大，這時你一定會產生一個數學企望：去研究出一個計算它的公式該多好！

對“起步進行考察”——可分為兩類，這就是很好的思維方法，逐步引領學生步入“會學”之境，進而領悟斐波那契數列問題的真諦.3? 從雙基到三維傳統的教學方式，是“帶著知識走向學生”，強調“雙基”教學，即基礎知識和基本技能教學.新課程改革的一個重要標志，就是要求教學從“雙基”走向“三維”.

“三維”是指“三維目標”，它是指教育教學過程中應該達到的三個目標維度，即知識與技能，過程與方法，情感態度與價值觀.“三維目標”是一個教學目標的三個方面，而不是三個獨立的教學目標，它們是統一的不可分割的整體.

我們強調“三維”并不否定“雙基”.我國學生具有良好的“雙基”，這是幾代教育工作者努力的結果.“雙基”教學應在繼承倡導中反思，在反思中進一步發展.“雙基”是一個隨時代發展、隨教育實踐不斷深化而有不同內涵的概念.

優秀教師，應是積極踐行發展“雙基”觀的教師，更應是智慧達成“三維”目標的教師.

課例2? （電動扶梯上下跑）到商場購物，電動扶梯有上行的也有下行的.我看見個別不太聽話的小孩，在電動扶梯上下跑動，這是很不安全的.尤其是當電梯上行時小孩往下跑，或當電梯下行時小孩往上跑，“逆向跑動”危險更大.

不過從數學角度來研究一番，倒是一個有趣的話題.

我們要研究的問題是：電梯上行時一個小孩跑一個來回與電梯下行時這個小孩跑一個來回，那一種“跑法”更快？還是各有“抵消”，是否“一樣快”？

我們設小孩上行、下行的速度分別為v1、v2，小孩下行速度比上行速度快，即v1<v2，電動扶梯上行和下行速度相同，設為v，電動扶梯的長度為s.

顯然，應有v<v1<v2.否則，若v≥v1，則電動扶梯下行時，小孩永遠“跑不上去”；若v≥v2，則電動扶梯上行時，小孩永遠“跑不回來”.

電動扶梯上行時，小孩跑一個來回所用的時間為

sv1+v+sv2－v；

電動扶梯下行時，小孩跑一個來回所用的時間為

sv1－v+sv2+v.

因為v<v1<v2，所以

sv1+v+sv2－v－sv1－v+sv2+v

=s1v1+v－1v1－v+1v2－v－1v2+v

=s－2vv21－v2+2vv22－v2

=2sv（v21－v22）（v21－v2）（v22－v2）<0.

哇！前者跑得快！即電梯上行時一個小孩跑一個來回，要比電梯下行時這個小孩跑一個來回快.

這樣的問題，其運算沒有“雙基”不行，其“解決問題”是走向“三維”的過程.

4? 從三維到素養

時代在發展，世界在變化.“如何培養學生的核心素養”，已成為世界主要國家的關注話題，我國也發布了中國學生發展核心素養總體框架和基本內涵.專家指出，落實“雙基”是課程目標1.0版，落實三維目標是2.0版，落實核心素養是3.0版，核心素養的提出讓教育改革進入“3.0時代”.如果說從“雙基”走向三維目標是新一輪課程改革的一個標志，那么從三維目標走向核心素養，則是當前課程改革全面深化的一個標志.值得厘清的是，核心素養之于三維目標并不是簡單的取代，更不是否定，而是繼承中發展，傳承中創新，整合中突破.從形成機制來講，核心素養是三維目標的進一步提煉與整合，是通過系統的學科學習之后而獲得的.三維目標是核心素養形成的要素和路徑.

課例3? （桌子的高度）曾經有學生家長發給我這樣一道四年級的題：給出下面兩幅圖，求桌子的高度.

我覺得這道題是非常好的“素養題”，數學觀察、數學直覺、廣義對稱、消元思想等，都在“瞬間”考察到了.

我在家長群里這樣說：“不要拿筆，30秒正確解答者，優秀；60秒正確解答者，良好；90秒正確解答者，及格.”家長群“爆棚”——出現流眼淚、苦瓜臉、尷尬相、捂臉等表情圖——直言：“我們都不及格.”讀者朋友，不妨也試試，考一考你的數學素養！

5? 從好玩到玩好

“好玩”就是“引趣”，讓學生感到學習十分有趣，這是學習的原動力；“玩好”就是“引深”，讓學生能不斷鉆研深入探索，這是學習的內驅力.當數學教師很不容易，“數學好玩”要求我們“深入淺出”，而“玩好數學”要求我們“淺入深出”.從“數學好玩”到“玩好數學”，需要數學教師堅持研修，把握好數學的橫向聯系和縱向深入，把握好數學的趣味性和拓展性，結合學生實際，將數學的“好玩”和“玩好”像知時節的“好雨”適時潤入學生的心田.

“好玩”是要讓所有學生都能感受到的，“玩好”就不能要求所有學生一定都達到，這里有一個“度”的把握.“好玩”是一種境界，“玩好”是略高一層的境界，而在“好玩”與“玩好”之間把握好“度”就是一種理想的狀態，需要靈活運用“引趣”和“引深”.

課例4? （由上轉下）把6枚小圓片，擺成如下的正三角形.

請你移動2枚圓片，擺成一個倒正三角形.好玩吧？幼兒園大班的孩子就可以玩.

玩完了，我觀察學生干什么.若學生什么也沒做，這學生此時算是淺層次的“好玩”；若學生會拿起桌上的小圓片擺成4行、5行，研究要移動幾枚才能擺成一個倒正三角形，那就算是高一級的“好玩”；若是初中生，就要研究更多行的情況，步入“玩好”；若是高中生，就要研究一般情形，真正地“玩好”.

數學教師要引導學生學會探索一般性問題.就本題而言，就是探索“n 層小圓片的移動問題”.探索之路：4層最少要移動3枚小圓片；5層最少要移動5枚小圓片；6層最少要移動7枚小圓片.當層數增加時，我們可以利用一個倒三角形來研究這個問題，并得出一般結論.

一般結論為：n為正整數，從3n-1層起到3n+1層止，每增加一層，需要移動n枚圓片.讓這題成為某年的高考題，指向“解決問題”，不超綱吧？6枚小圓片，我們玩出了一片“新天地”.

6? 從教會到教慧

教師教學生學會課本上的知識、記憶這些知識，力爭考出一個好的成績，也就是我們常說的“教會學生”.這無疑是需要的，也是教師教學的最基本要求.

一個教師熱愛本職工作，對學生負責，忠于職守，認真備課、上課、批改作業、輔導學生.實事求是地說，要做好這一些，也非易事.張奠宙、趙小平教授曾寫一篇《做一個與時俱進的教書匠也不容易》的文章，這里所說的“與時俱進”指的是“教師最好能更多地研究教育規律，更積極投入教育改革的潮流.”

“與時俱進”在我看來還可以再“俱進”一點，那就是從“教會學生”走向“教慧學生”.就“知識”教“知識”培養出來的學生，難以更好地適應未來，只有讓學生獲取知識的學習過程充滿素養培育、充滿智慧靈動，才能更好地迎接未來的挑戰.

課例5? （搭“橋”）給出15塊多米諾骨牌和圖9，請用這15塊多米諾骨牌搭成圖9的“橋”.只能自己一個人玩，不能“同伴互助”.我激學生：“30秒夠嗎？”

學生搭這個“橋”，絕大多數是想靠“心靈手巧”搭成，一般不能成功；一些學生試圖先“躺”著擺，然后立起來，單人操作也難成功.5分鐘過去了，還是沒人擺出來.

什么叫智慧？我們給學生講心理學的界定，他們很難理解.我們和學生玩游戲——比如這個搭“橋”游戲，就能讓學生深刻領悟什么叫“智慧”.圖10

我對學生說，這樣搭“橋”，手很巧但沒用腦.用2根撐起13根，重心不穩難成功.怎么辦？能否“借力”——一開始多放兩塊做“橋墩”，當搭好更多的骨牌后，“橋”的構架也就穩定了，這時可以把多余的“橋墩”取走，完成“搭橋”任務.

整個搭“橋”的過程，充滿智慧.

7? 從智力到非智

智力因素一般指注意、觀察、記憶、想象、思維，非智力因素（狹義）一般指動機、興趣、意志、情感、性格.在教學中，智力因素是十分重要的，它在學生分析問題、解決問題中起著核心作用，而思維能力又是核心的核心.因此，教學中應不失時機地全方位地對學生進行智力訓練，培養學生高度的注意力、敏銳的觀察力、高超的記憶力、豐富的想象力和廣闊的思維力.

但教學中又應強調非智力因素的輔助作用，培養學生具有遠大的理想、濃厚的興趣、頑強的意志、豐富的情感和剛毅的性格.只有智力因素與非智力因素有機結合，才能使學生以極大的熱情參加學習活動，并能使學生在學習活動中充分發揮水平取得好成績.

課例6? （四個瓶子）什么是立體幾何？我們可以從“4個瓶子”玩起：給出4個同樣大小的啤酒瓶.你能擺放得使任意兩個瓶口中心之間的距離都相等嗎？圖11

許多學生擺了幾次都沒成功.讓我們展開想象的翅膀，突破思維定勢，把其中一個倒過來放，啊哈，成功了！

擺法的背后，就是“立體思維”，就有空間想象，就有立體幾何的意味.立體幾何，從某種角度說，也可以說成是“不同面上的平面幾何”.這道小題，沒有更多的數學知識.從智力角度來說，更多的是想象力；從非智力角度來說，就是激發興趣、引發情感.

8? 從題海到題根

時至今日，中小學生課業負擔過重的問題并沒有得到徹底解決，仍是困擾基礎教育發展的一個頑疾.要“優化作業和練習”，就不能再依靠“題海戰術”.“題海無邊，何處是岸？”從某種角度說，我以為“題海無邊，題根是岸.”

課例7? （糖水不等式）已知：a，b，m∈R+，且a<b，求證：a+mb+m>ab.（1）一題多解的教學價值.

第一節課，師生共同探討了分析法、綜合法、求差比較法、求商比較法、反證法進行證明，課堂練習之后，再探討放縮法、構造函數法、增量法進行證明.這節課的作業是“研究本題的第九種新證法”，學生可獨立思考也可集體攻關.

第二節課，讓有新證法的學生講新證法，師生又共同探討了定比分點法、斜率法、三角法、幾何模型法新證法，課堂練習之后，繼續探究，師生又得到用正弦定理法、相似三角形法、換元法、雙換元法、綜合法及放縮法、定義域及值域法的新證法，讓學生感受到“柳暗花明又一村”.這節課的作業是“研究本題的第二十種新證法”，學生可獨立思考也可集體攻關.

第三節課，老師問學生有誰還能再開動腦筋、挖掘潛能、探尋新證法，繼續引導學生探索用橢圓離心率法、雙曲線離心率法、函數圖象法、兩直線位置關系法、矩形面積法、定積分法進行證明.學生步步驚愕，全班沸騰了！這節課的作業是“在未來的日子里，研究本題的第二十六種新證法”，學生可獨立思考也可集體攻關.

這道題讓學生“透視”一個簡單不等式問題背后的博大精深的“世界”，學生在探索新證法的過程中進一步體會到數學知識之間的聯系，啟迪學生更深刻地“悟道”數學解題的奧妙與真諦.

（2）一題多變的教學價值.師生共同探索“變式”，層層深入，共變出8個新的命題，最后一個是：

若ai，bi∈R+，i=1，2，…，n.

且a1b1<a2b2<…<anbn，則

a1b1<a1+a2b1+b2<…<a1+a2+…+anb1+b2+…+bn<a2+a3+…+anb2+b3+…+bn<…<an－1+anbn－1+bn<anbn.

“真過癮！”這是學生們用換元法或增量法證得“猜想”成立時發出的感嘆.

（3）一題多用的教學價值.利用本題的結論，“借題發揮”，可解決多個數學問題，其中包括某年高考最后一題所要證的不等式：

（1+1）1+131+15…1+12n－1>2n+1（n∈N，n≥2）.當學生得知，他們無意中解決了高考“壓軸題”時，先是驚得目瞪口呆，繼而發出會心的微笑.他們感覺到了自身的力量，進一步增強了學好數學的信心.

9? 從無疑到生疑

絕大多數教師為了圓滿地完成教學任務，都會力爭把課講得完整、細致、清晰，也就是講得很完美、很“干凈”，講得“沒有疑問”.一位英國外教在接受媒體采訪時說，中國學生最大的問題是“沒有問題”.

中國教師要清醒地認識到，學生沒有提出問題，不等于就沒有問題！

中國學生為什么“沒有問題”？原因之一是中國的老師們“不會生疑”.

課例8? （誰先到達）一輛汽車P從A沿半圓弧運動到B，另一輛汽車Q從A沿兩個等半徑半圓弧運動到B，見圖12，兩汽車運動速度相同，問哪輛汽車先到點B？

這是一道小學生都會解答的智力題，容易通過計算得出P、Q同時到達點B.絕大多數學生做完此題也就完事了，不善于通過推廣與變式把問題深化，失去了一次極好的訓練創造性思維的機會.

我引導學生不斷深化.

深化1：把“兩個半圓”改為“n個半徑相等的半圓”，情況如何？見圖13.

小學生也可以證明，同時到達.

深化2：“線段AB上有n個半圓（半徑允許不相等）”，情況如何？見圖14.

學生仍然可以證明，同時到達.

深化3：如圖15，圖中凸多邊形均相似，是否有

AD+DC+CB=AD1+D1C1+C1B1+B1D2+…+Bn-1Dn+DnCn+CnB？

初中生可以用相似多邊形性質，證明結論正確.

深化4：如圖16，圖中各“曲線段”相似，是否有曲線段AB的長等于n條小曲線段長的和？

誰能證明？小學生證不了，初中生證不了，高中生也證不了，只有大學生才會證.不過這個大學生要學了定積分之后，才能證明結論正確.具體的證明方法，就留給讀者去探索吧！好好的一道題，怎么“整出”那么多問題？

10? 從小氣到大氣

當下中小學課堂教學，總的說來“大氣不足”.這固然與現行的教育評價和考試制度有關，但也和教師的教學觀念、知識積累、能力水平、文化素養等有關.即便是為了測評和升學，我們的課堂教學也完全可以大氣一些.

“小氣”的表現是多方面的.以數學教學為例，數學概念教學的“掐頭去尾燒（魚）中段”的干焦面孔，而忽略了對數學知識的火熱的思考；鉆數學解題教學的“特技特法”，而忽略了數學解題教學的“通性通法”；以高考中考不考為由，扼殺學生對數學知識和數學問題適當延伸的渴望；不重視“選學內容”，甚至視“選學內容”為“不學內容”;等等.

課例9? （最美等式）某數學教師上“復數”最后一課，書上有“小體字”的選讀內容，講復數的指數形式等.我聽課時，以為老師會有“最美等式”的生動故事，沒想到老師卻說：“大家功課緊，選讀內容就不讀了吧，可預習‘小體字’之后的解析幾何內容.”我當時的反應是：“老師啊，你不能這么‘小氣’，沒文化??！”

“eiπ+1=0”是傳播“數學文化”的很好案例，也是激發學生喜愛數學的極好案例，如此“失之交臂”實在可惜！

我每次教復數時，都會這樣講：……奇巧而有趣的是，數學中的“五朵金花”——中性數0、基數1、虛數單位i、圓周率π、自然對數的底數e，竟能開在同一棵樹上，組成一個“最美的藝術插花”—— eiπ+1=0，不可謂不絕！

我還讓學生欣賞我為此寫的數學小品文《數苑中的“五朵金花”》，學生在“意料之外”與“令人震驚”中，又一次體驗到了數學之美、數學之奇、數學之趣.

我期盼數學教學大氣一些，數學的橫向聯系與縱向深入，都需要我們大氣.愿數學教師，能氣度不凡、不落俗套，自覺成為有“文化”的數學教師，自覺成為“數學文化”的傳播者，自覺成為有“文化”的教育者.

參考文獻

［1］? 任勇.覺者為師：好教師成長之新境［M］.上海：華東師范大學出版社，2019.6.

［2］? 任勇.期盼數學教學“氣”象萬千［J］.數學通報，2011，50（09）：4550.

作者簡介? 任勇（1958—），男，河南信陽人，中學高級教師，數學特級教師；榮獲“蘇步青數學教育獎”一等獎，享受國務院政府津貼；主要從事教育管理、教師教育和數學教學研究.