單元整體教學(xué)的一次嘗試
——“勾股定理(第1課時(shí))”的課堂實(shí)錄

王 俊

? 江蘇省無錫市連元英和雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校

作為單元的起始課,對(duì)整章知識(shí)起著統(tǒng)領(lǐng)與導(dǎo)向作用.做好單元整體教學(xué),需要教師很好地做到三個(gè)理解(理解教材,理解學(xué)生,理解教學(xué)),然后落實(shí)到每個(gè)具體的教學(xué)活動(dòng)環(huán)節(jié),整體設(shè)計(jì),再分步驟實(shí)施,在整個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).下面結(jié)合“勾股定理第一課時(shí)”的課堂實(shí)錄及分析,來探討一下單元整體教學(xué).

1 教材分析

“勾股定理(第1課時(shí))”教學(xué)目標(biāo)主要有兩個(gè):(1)經(jīng)歷探索勾股定理的過程,發(fā)展合情推理的能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;(2)能應(yīng)用勾股定理求直角三角形中未知邊的長(zhǎng).前者需要花時(shí)間讓學(xué)生去探索,所以設(shè)計(jì)了讓學(xué)生在紙上多次操作驗(yàn)證、觀看視頻等活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)勾股定理蘊(yùn)含的數(shù)與形的關(guān)系,以及學(xué)會(huì)如何發(fā)現(xiàn)與探索,形成學(xué)習(xí)的能力,這也是本課重點(diǎn).

2 設(shè)計(jì)思路與意圖

本節(jié)課分六個(gè)環(huán)節(jié)來具體實(shí)施:

(1)導(dǎo)入直角三角形邊角的內(nèi)部關(guān)系,讓學(xué)生建立形與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(2)利用面積割補(bǔ)法解決問題,實(shí)現(xiàn)直角三角形面積與邊邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化,初步感受三邊關(guān)系;進(jìn)一步在網(wǎng)格中驗(yàn)證其他直角三角形中相同結(jié)論的存在,實(shí)現(xiàn)特殊到一般的探索.

(3)運(yùn)用類比思想,技能遷移,驗(yàn)證銳角三角形和鈍角三角形中是否有同樣的三邊關(guān)系.這既是對(duì)前面勾股定理探索過程的再一次經(jīng)歷,而且是主動(dòng)經(jīng)歷,也引出大膽猜想(勾股定理的逆定理),為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊.

(4)關(guān)于勾股定理的課外知識(shí)介紹,在傳播數(shù)學(xué)文化的同時(shí),激發(fā)學(xué)生的興趣.

(5)利用勾股定理完成練習(xí).

(6)師生小結(jié),為下一課時(shí)作鋪墊.

3 課堂實(shí)錄及分析

3.1 導(dǎo)入直角三角形,建立對(duì)應(yīng)關(guān)系

師:特殊的圖形其邊角具備特殊的內(nèi)部關(guān)系,例如,直角三角形,我們已經(jīng)學(xué)過它的內(nèi)角之間的關(guān)系是什么呢?

生1:兩銳角互余.

師:除了角與角之間的關(guān)系,我們還能研究直角三角形各元素的什么關(guān)系呢?

生2:邊邊關(guān)系,邊角關(guān)系.

師:很好.關(guān)于直角三角形的邊角關(guān)系我們留待初三去探討.這一章,我們將探索直角三角形邊與邊的內(nèi)部關(guān)系.你已經(jīng)知道直角三角形的邊有什么樣的關(guān)系呢?

生3:兩邊之和大于第三邊.

師:很好.可是這一事實(shí)對(duì)所有三角形都適用,作為特殊的直角三角形,是否有更特殊的邊邊關(guān)系呢?

3.2 利用面積割補(bǔ)法實(shí)現(xiàn)面積與邊邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化

在下列網(wǎng)格中,將小方格邊長(zhǎng)看作1,完成下列問題:

備用圖

圖1中,四邊形ABMN是什么形狀?你會(huì)計(jì)算它的面積嗎?有哪些方法?

圖1

生1和生2上黑板講解“割”與“補(bǔ)”兩種方法.

師:剛剛兩位同學(xué)發(fā)現(xiàn)不能直接利用邊長(zhǎng)的平方求正方形面積后,采用了割補(bǔ)法將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這一轉(zhuǎn)化思想在后續(xù)第五章“函數(shù)”中也會(huì)經(jīng)常用到.下面請(qǐng)大家利用割補(bǔ)法,完成探索部分的第1,2題.

3.3 運(yùn)用類比思想,遷移技能

師:利用上面預(yù)習(xí)中的方法,計(jì)算圖2中正方形ABMN、正方形BCDE、正方形ACFG的面積,其面積依次是______,猜想它們之間有何關(guān)系?

圖2

生1:分別算出三個(gè)正方形的面積,得出9+16=25.

教師板書S1+S2=S3后,追問:線段AB,BC,AC之間有何關(guān)系?

生2繼續(xù)轉(zhuǎn)化,直至寫出BC2+AC2=BA2(板書).

師:大家通過數(shù)量關(guān)系,利用面積實(shí)現(xiàn)了邊邊關(guān)系的轉(zhuǎn)化.這很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想(板書).那么,大家能否用語(yǔ)言組織一下BC2+AC2=BA2這一結(jié)論呢?

生3:直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.是否所有的直角三角形都具備這樣的三邊關(guān)系呢?如何驗(yàn)證?

師:對(duì)于所有直角三角形,都能在網(wǎng)格中利用面積法來驗(yàn)證“直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一結(jié)論.

3.4 介紹勾股定理,傳播數(shù)學(xué)文化

師:其實(shí),我們不僅可以在網(wǎng)格中探索這一結(jié)論,還可以利用現(xiàn)代化實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證.下面請(qǐng)同學(xué)們觀看視頻實(shí)驗(yàn)(以直角三角形三邊為邊往外作正多邊形探索面積的變化),進(jìn)一步提出猜想——以直角三角形的兩直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正多邊形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正多邊形的面積.

3.5 利用勾股定理完成練習(xí)

黑板上出示問題,用勾股定理小試牛刀.學(xué)生通過小組合作來回答:

在△ABC中,已知∠C=90°及兩邊的長(zhǎng)如下,求第三邊:①a=3,b=4;②a=3,c=5;③b=40,c=41.

(學(xué)生合作探究過程略.)

如圖3,銳角三角形和鈍角三角形的三邊是否也具備這樣的關(guān)系呢?模仿前面的方法,思考并探索.如果不符合,三邊又有怎樣的關(guān)系?

圖3

師:剛剛我們發(fā)現(xiàn)并在網(wǎng)格中驗(yàn)證了勾股定理的正確性,大家有沒有想過,勾股定理是否也適用于銳角三角形和鈍角三角形呢?(教師停留幾秒.)

生1:不一定,有可能……

師:怎么才能確定呢?

生2:畫一畫,驗(yàn)一驗(yàn),像剛剛那樣畫圖驗(yàn)證.

師:請(qǐng)大家在網(wǎng)格紙中加以驗(yàn)證,并組內(nèi)討論.

學(xué)生嘗試畫圖并組內(nèi)討論(大部分同學(xué)還是可以獨(dú)立完成的).

師:結(jié)論是什么呢?

生4:銳角三角形中是BC2+AC2>BA2,鈍角三角形中是BC2+AC2

師:同學(xué)們很厲害!看來勾股定理確實(shí)只適用于直角三角形.我們又可以做怎樣的大膽猜想呢?

生5:反過來,如果三邊滿足BC2+AC2=BA2,可以得到△ABC是直角三角形.

師:確實(shí),這就是勾股定理的逆定理(板書),這也是第三課時(shí)我們將要去深入研究的.

師:同學(xué)們通過在網(wǎng)格中構(gòu)建圖形,或者用實(shí)驗(yàn)去演示,發(fā)現(xiàn)了勾股定理.其實(shí),早在五百多年前,就有古人研究并發(fā)現(xiàn)了勾股定理.

老師介紹畢達(dá)哥拉斯定理和我國(guó)的勾股弦以及“勾3股4弦5”的歷史.(展示畢達(dá)哥拉斯郵票圖片,板書.)

師:下面我們就用這個(gè)發(fā)現(xiàn),去解決問題吧.

利用勾股定理,完成書本第79頁(yè)練習(xí)1,2.

3.6 師生小結(jié)

師:通過上面的練習(xí),我們?cè)俅伟l(fā)現(xiàn),有了勾股定理,就能實(shí)現(xiàn)直角三角形圖形內(nèi)部的數(shù)量關(guān)系,解決三角形邊邊關(guān)系,這正是勾股定理的重要應(yīng)用(板書),這也為以后用代數(shù)方法解決幾何問題提供了有效的工具.

4 對(duì)單元整體設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)

單元整體教學(xué)是一種教學(xué)理念,目的是讓教師從高處俯視教學(xué)的每一個(gè)觸角,將它們用一條無形的線串聯(lián)起來,形成一個(gè)有機(jī)整體.在實(shí)施“單元整體”教學(xué)的過程中,教師要注重對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,探索、鋪設(shè)適合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,尤其要重視數(shù)學(xué)結(jié)果的探索和形成過程.漫漫教學(xué)路,教師唯有不斷探索創(chuàng)新,才能與時(shí)俱進(jìn),與學(xué)生共成長(zhǎng).只有教師有整體的的眼光、更大的視野,才能引領(lǐng)學(xué)生一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的世界,打開數(shù)學(xué)之門.Z