數(shù)學(xué)教材螺旋式編排與學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性研究——以人教版“視圖”內(nèi)容為例

楊 雪，張春莉，王艷芝

數(shù)學(xué)教材螺旋式編排與學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性研究——以人教版“視圖”內(nèi)容為例

楊 雪1，張春莉1，王艷芝2

（1．北京師范大學(xué) 教育學(xué)部，北京 100875；2．山東理工大學(xué) 教師教育學(xué)院，山東 淄博 255000）

“螺旋式”教材編排符合學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)心理特征．從學(xué)習(xí)進(jìn)階視角切入，能夠更好地評(píng)估數(shù)學(xué)教材“螺旋式”編排的適切性．研究以人教版“視圖”內(nèi)容為例，通過(guò)分析空間觀念、知識(shí)與技能、問(wèn)題情境3個(gè)進(jìn)階變量，刻畫“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平，討論數(shù)學(xué)教材螺旋式編排與學(xué)習(xí)進(jìn)階之間的關(guān)系．結(jié)果顯示：空間觀念方面，所有年級(jí)教材與學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性均達(dá)到可接受程度，除七年級(jí)外，符合螺旋式上升設(shè)計(jì)原則；知識(shí)與技能方面，不同年級(jí)所呈現(xiàn)的“視圖”類型較為單一，低年級(jí)側(cè)重識(shí)圖，高年級(jí)側(cè)重讀圖；問(wèn)題情境方面，基本遵循實(shí)物、單一幾何體、簡(jiǎn)單組合幾何體、復(fù)雜組合幾何體的變化規(guī)律；空間能力、知識(shí)與技能、問(wèn)題情境，兩兩之間存在顯著正相關(guān)．

螺旋式編排；學(xué)習(xí)進(jìn)階；數(shù)學(xué)教材；一致性；視圖

1 問(wèn)題提出

教材是教師教學(xué)的重要參照工具，隨著課程改革的推進(jìn)，“螺旋式”教材編排體系由于其尊重學(xué)生的認(rèn)知特征和學(xué)習(xí)基本規(guī)律，得到廣大專家和教師的普遍認(rèn)同．螺旋式教材編排，形成富有邏輯性組織的結(jié)構(gòu)化與興趣化的教材，既保留直線式組織一階段比一階段高升，深入與分化的邏輯順序，也融會(huì)圓周式由同心圓一波又一波，一圈又一圈擴(kuò)散、拓廣的心理組織，成為有深度有廣度的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)[1]．2022年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，要合理安排不同學(xué)段內(nèi)容，體現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的連續(xù)性和進(jìn)階性．世界各國(guó)教材也在向“螺旋式”編排靠攏，其合理性和對(duì)教學(xué)的推動(dòng)作用毋庸置疑．但研究者也指出教材在實(shí)踐過(guò)程中出現(xiàn)“認(rèn)知要求低”[2]“知識(shí)不連貫、知識(shí)點(diǎn)重復(fù)”[3]“缺乏梯度性”[4]等問(wèn)題．如孔凡哲指出，教材編制的焦點(diǎn)在于“螺旋式上升”與課程難度，難點(diǎn)在于如何切實(shí)深化“螺旋式上升”的理論研究和實(shí)踐探索[5]．當(dāng)前有關(guān)教材螺旋式編排評(píng)價(jià)的研究，大多是基于數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)教材編寫的合理性；一方面教材編寫者根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫教材，另一方面研究者、教師等又將課程標(biāo)準(zhǔn)作為教材的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，存在循環(huán)論證的問(wèn)題，缺乏對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)合理性的元分析．因此，有必要引入新的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教材的編排順序進(jìn)行評(píng)定．

數(shù)學(xué)概念編排的“螺旋式”上升，是指在有關(guān)教育教學(xué)理論基礎(chǔ)上，按照人的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念和重要數(shù)學(xué)思考，采取由淺入深、循序漸進(jìn)的分學(xué)段上升編排的一種方式[6]，而學(xué)習(xí)進(jìn)階則是學(xué)生學(xué)習(xí)特定概念時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思維路徑[7]，刻畫的是學(xué)生關(guān)于該概念及相關(guān)技能在一段時(shí)間內(nèi)的認(rèn)知發(fā)展進(jìn)程[8]．已有研究指出，學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究為課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容安排提供了強(qiáng)有力的支撐[9]．因此，基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論審視數(shù)學(xué)教材的編排順序，評(píng)估課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容的層次性和螺旋性符合學(xué)生理解水平和思維進(jìn)階規(guī)律的程度，有助于開發(fā)符合數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的教材編排體系．

“視圖”作為平面幾何和立體幾何過(guò)渡的橋梁，注重與生活中立體圖形間的聯(lián)系，關(guān)注二維空間和三維空間的關(guān)系及轉(zhuǎn)化，是許多國(guó)家?guī)缀握n程中發(fā)展學(xué)生空間能力的出發(fā)點(diǎn)和著眼點(diǎn)．在內(nèi)容編排上，“視圖”貫穿小學(xué)和初中兩個(gè)學(xué)習(xí)階段，教材內(nèi)容時(shí)間跨度較大，呈現(xiàn)出典型的“螺旋式”編排特征．因此，研究以人民教育出版社小學(xué)、初中數(shù)學(xué)教材中的“視圖”內(nèi)容為例，對(duì)數(shù)學(xué)教材螺旋式編排與學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階水平之間的一致性進(jìn)行分析，能夠較好地回答如何基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論評(píng)估教材內(nèi)容編排的適切性，以期對(duì)教材分析研究提供新的視角和路徑，為“視圖”相關(guān)內(nèi)容的設(shè)計(jì)、應(yīng)用與反思提供借鑒．

2 “視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階

學(xué)習(xí)進(jìn)階中的核心概念指的不是某個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)，而是整合了一系列緊密連貫的知識(shí)、技能和思想[7]，也可以稱之為大概念或大觀念．“視圖”知識(shí)中涉及的大概念主要是“空間觀念”，它不僅可以為學(xué)生今后深入學(xué)習(xí)平面幾何、立體幾何等打下必要基礎(chǔ)，還可以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展、運(yùn)動(dòng)的眼光來(lái)認(rèn)識(shí)其所生活的空間[10]．范·希爾（van Hiele）提出，學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展從像格式塔的直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和證明等復(fù)雜水平，具體可分為直觀水平（整體地認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象）、描述水平（通過(guò)幾何性質(zhì)認(rèn)識(shí)幾何對(duì)象）和理論水平（利用演繹推理證明結(jié)合關(guān)系）[11]．邵光華將空間想象能力分為空間觀念、建構(gòu)幾何表象的能力和幾何表象的操作能力[12]．劉曉玫將小學(xué)階段學(xué)生的空間能力劃分為直觀想象階段、直觀想象與簡(jiǎn)單分析抽象階段、直觀想象與復(fù)雜分析階段[13]．可見，學(xué)者們主要基于學(xué)生的認(rèn)知水平，從直觀到抽象對(duì)學(xué)生在不同階段所表現(xiàn)的水平進(jìn)行了劃分．結(jié)合相關(guān)研究及視圖內(nèi)容所適應(yīng)的學(xué)生發(fā)展水平，研究將空間觀念劃分為直觀想象水平、分析描述水平和推理抽象水平．

能力是在掌握知識(shí)和技能過(guò)程中形成發(fā)展的．曹才翰提出空間觀念至少包括5方面要求：（1）熟悉基本的幾何圖形；（2）由空間圖形反映出實(shí)物；（3）從復(fù)雜圖形中分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形；（4）從基本圖形中找到基本元素及其關(guān)系；（5）由文字或符號(hào)做出或畫出圖形[14]．這5個(gè)方面反映出學(xué)生空間觀念發(fā)展的規(guī)律．劉曉玫及其研究團(tuán)隊(duì)聚焦視圖概念，將其概括為識(shí)圖、畫圖和讀圖[15-16]，這種分類方式更加直觀，且與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的編排要求一致，有利于更好地對(duì)應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平．

學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)表現(xiàn)出來(lái)的，而數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體部分是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決活動(dòng)，因此選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)于診斷和評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力至關(guān)重要[11]．根據(jù)“視圖”測(cè)評(píng)情境的復(fù)雜程度，研究將問(wèn)題情境分為實(shí)物、單個(gè)幾何體、簡(jiǎn)單組合幾何體和復(fù)雜組合幾何體4種類型．

為了盡可能全面地描述“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階，基于已有研究?jī)?nèi)容，研究將進(jìn)階變量確定為“空間觀念”“知識(shí)與技能”“問(wèn)題情境”，構(gòu)建出“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階理論模型（見圖1）．其中，將“空間觀念”作為學(xué)生“視圖”概念進(jìn)階的關(guān)鍵變量，“知識(shí)與技能”和“問(wèn)題情境”作為影響空間能力的間接變量．

圖1 “視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階理論模型

關(guān)于學(xué)生“視圖”概念的發(fā)展，已有研究表明一年級(jí)學(xué)生難以辨認(rèn)從不同方向觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀，二年級(jí)和三年級(jí)學(xué)生能夠完全或基本辨認(rèn)從不同方向觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀，大多數(shù)學(xué)生能夠畫出從不同方向觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀[17]．三到六年級(jí)學(xué)生空間與圖形領(lǐng)域“二維和三維形狀的元素與特征”維度的數(shù)學(xué)能力發(fā)展隨年級(jí)升高而增長(zhǎng)，相鄰年級(jí)間均存在顯著差異，其中三至五年級(jí)表現(xiàn)為勻速增長(zhǎng)（差異顯著水平為0.001），五至六年級(jí)增長(zhǎng)變化變緩（差異顯著水平為0.05）[18]．在空間能力水平方面，四、五、六年級(jí)的大部分學(xué)生能夠達(dá)到簡(jiǎn)單分析抽象水平，二、三年級(jí)則表現(xiàn)一般[19]；在想象推理分析水平上，五、六年級(jí)均表現(xiàn)較差[20]．對(duì)中學(xué)生而言，不同年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)空間能力逐漸升高，初一到初二年級(jí)上升速度較快，初二到高一上升速度較遲緩，初一學(xué)生難以在頭腦中形成正確的表象并對(duì)表象進(jìn)行操作[21]，八年級(jí)學(xué)生在直觀圖與三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化等涉及到推理抽象問(wèn)題的表現(xiàn)優(yōu)于七年級(jí)[22]．

綜合已有研究可以發(fā)現(xiàn)，受教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法限制，“知識(shí)與技能”和“問(wèn)題情境”這兩個(gè)進(jìn)階變量之間未呈現(xiàn)出明顯的年級(jí)進(jìn)階梯度[15-16]．因此，研究不對(duì)這兩個(gè)進(jìn)階變量進(jìn)行年級(jí)水平假設(shè)，而是根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果描述不同年級(jí)之間的螺旋變化．綜合“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階理論模型以及已有實(shí)證研究的結(jié)果，研究將“視圖”概念各年級(jí)的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平進(jìn)一步細(xì)化，具體見表1所示．

表1 “視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平

3 研究設(shè)計(jì)

3.1 研究對(duì)象

研究對(duì)象為人民教育出版社義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材中涉及“視圖”概念的相關(guān)內(nèi)容，主要包括二年級(jí)上冊(cè)“觀察物體（一）”、四年級(jí)下冊(cè)“觀察物體（二）”、五年級(jí)下冊(cè)“觀察物體（三）”、七年級(jí)上冊(cè)“幾何圖形初步”、九年級(jí)下冊(cè)“投影與視圖”等單元的數(shù)學(xué)教材文本．

3.2 研究過(guò)程

首先對(duì)“視圖”相關(guān)研究進(jìn)行梳理，在理論研究和實(shí)證研究的基礎(chǔ)上刻畫出“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階；其次對(duì)人教版數(shù)學(xué)教材進(jìn)行梳理，選取“視圖”概念的相關(guān)內(nèi)容作為分析對(duì)象；然后依據(jù)“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階形成編碼表；最后采用描述性統(tǒng)計(jì)和非參數(shù)檢驗(yàn)，對(duì)教材螺旋式編排情況與學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階間的一致性進(jìn)行分析，采用相關(guān)分析對(duì)不同進(jìn)階變量之間的關(guān)系進(jìn)行分析，為教材的修訂、使用提供借鑒．

3.3 數(shù)據(jù)整理與分析

3.3.1 數(shù)據(jù)編碼

首先確定編碼維度．編碼維度依據(jù)“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階，從空間觀念、知識(shí)和技能、問(wèn)題情境3個(gè)方面進(jìn)行編碼，其中空間觀念從直觀想象、分析描述、推理抽象3個(gè)水平進(jìn)行編碼，知識(shí)和技能從識(shí)圖、讀圖和畫圖3個(gè)類型進(jìn)行編碼，問(wèn)題情境從實(shí)物、單個(gè)幾何體、簡(jiǎn)單組合幾何體、復(fù)雜組合幾何體4種類型進(jìn)行編碼．然后確定分析單元．教材中的內(nèi)容板塊主要涉及例題、做一做和習(xí)題，因此將單個(gè)例題、做一做和習(xí)題（包括課后習(xí)題、復(fù)習(xí)題等）視為一個(gè)分析單元進(jìn)行編碼．最后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行編碼．由兩位研究者依據(jù)所確定的“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階，獨(dú)立對(duì)每?jī)?cè)教材中有關(guān)視圖的題目總數(shù)（即分析單元總數(shù)）、符合該年級(jí)空間觀念水平的題目數(shù)，以及教材內(nèi)容中呈現(xiàn)的“視圖”概念的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平進(jìn)行編碼，然后對(duì)教材內(nèi)容中呈現(xiàn)的“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平與研究所確定的“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的一致性進(jìn)行編碼，所有編碼維度的雙人獨(dú)立編碼一致性均達(dá)到90%以上，可采信．

3.3.2 數(shù)據(jù)分析

研究采用韋伯一致性分析模式中的知識(shí)深度分析標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)編碼后的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，考查教材內(nèi)容中“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平與研究所確定的“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的一致性．韋伯認(rèn)為在知識(shí)深度分析時(shí)，若教材內(nèi)容中≥50%的空間觀念水平題目與空間觀念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平相一致，則是可接受的，即有一定的一致性．研究中，將每?jī)?cè)教材中有關(guān)視圖的題目總數(shù)，記為；符合該年級(jí)學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的題目數(shù)，記為；判斷教材內(nèi)容知識(shí)深度的一致性是否可以接受的條件是：每個(gè)內(nèi)容主題下符合“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的題目數(shù)占每個(gè)內(nèi)容主題下總題目數(shù)的至少50%，記為．即：=（/）×100%．如果≥50%，知識(shí)深度的一致性可接受；若＜50%，知識(shí)深度的一致性不可接受．然后，統(tǒng)計(jì)教材中內(nèi)容主題下高于“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的題目數(shù)（），高于“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的題目數(shù)占每個(gè)內(nèi)容主題下總題目數(shù)的比率（），即：=（/）；統(tǒng)計(jì)教材中內(nèi)容主題下低于“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的題目數(shù)（），低于“視圖”概念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平的題目數(shù)占每個(gè)內(nèi)容主題下總題目數(shù)的比率（=/）．

為進(jìn)一步分析不同年級(jí)教材在“知識(shí)與技能”和“問(wèn)題情境”方面的差異情況，分析“空間觀念”和“知識(shí)與技能”“問(wèn)題情境”之間的關(guān)系，研究首先對(duì)編碼處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)；然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)分布檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布，故選擇非參數(shù)檢驗(yàn)進(jìn)行分析，最后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析．

4 結(jié)果與討論

4.1 不同年級(jí)教材空間觀念的螺旋上升情況

研究通過(guò)描述性統(tǒng)計(jì)分析方法，對(duì)不同年級(jí)教材考查的空間觀念水平與空間觀念學(xué)習(xí)進(jìn)階水平進(jìn)行了一致性分析．如表2所示，所有年級(jí)教材符合空間觀念水平的題目數(shù)量百分比高于或等于50%，教材題目設(shè)計(jì)與空間觀念學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性均達(dá)到可接受水平．其中二年級(jí)和四年級(jí)的一致性水平較高，達(dá)到85%以上；五年級(jí)、七年級(jí)和九年級(jí)的一致性水平較低．進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，五年級(jí)教材題目的空間觀念水平高于該階段空間觀念進(jìn)階水平要求的比例為37.50%，題目難度較大．而七年級(jí)和九年級(jí)教材的空間觀念水平低于該階段空間觀念進(jìn)階水平要求的比例分別為37.50%和38.24%，題目難度較低．

表2 空間觀念一致性分析結(jié)果

研究對(duì)不同年級(jí)教材的空間觀念進(jìn)行了非參數(shù)檢驗(yàn)，并通過(guò)成對(duì)比較進(jìn)一步分析年級(jí)間的差異情況．如表3和表4所示，教材題目考查的空間觀念水平由低到高依次為二年級(jí)、七年級(jí)、四年級(jí)、五年級(jí)、九年級(jí)，除七年級(jí)外，基本符合螺旋式上升的設(shè)計(jì)原則．二年級(jí)和五年級(jí)、二年級(jí)和九年級(jí)之間的差異達(dá)到0.001的顯著水平，四年級(jí)和九年級(jí)、七年級(jí)和九年級(jí)之間的差異達(dá)到0.05的顯著水平．相鄰年級(jí)之間，除七年級(jí)和九年級(jí)外均不存在顯著差異．

表3 空間觀念描述性統(tǒng)計(jì)

表4 空間觀念非參數(shù)成對(duì)比較結(jié)果

注：***顯著性水平0.001；*顯著性水平0.05．

4.2 不同年級(jí)教材知識(shí)與技能的螺旋上升情況

研究通過(guò)描述性統(tǒng)計(jì)對(duì)不同年級(jí)教材知識(shí)與技能維度的分布情況進(jìn)行分析．如圖2所示，不同年級(jí)教材知識(shí)與技能的分布存在較大差異．其中，二年級(jí)教材知識(shí)與技能的呈現(xiàn)均為“識(shí)圖”，占100%．四年級(jí)、七年級(jí)教材知識(shí)與技能的呈現(xiàn)以“識(shí)圖”類型為主，分別占題目總數(shù)的85.71%和87.50%，其中七年級(jí)教材沒有涉及“讀圖”的相關(guān)內(nèi)容．五年級(jí)、九年級(jí)教材知識(shí)與技能的呈現(xiàn)以“讀圖”類型為主，其中，五年級(jí)“讀圖”類型占題目總數(shù)的81.25%，九年級(jí)“讀圖”類型占題目總數(shù)的58.82%，五年級(jí)教材沒有涉及到“畫圖”的相關(guān)內(nèi)容．

對(duì)不同年級(jí)教材的知識(shí)與技能類型進(jìn)行非參數(shù)檢驗(yàn)，通過(guò)成對(duì)比較進(jìn)一步分析年級(jí)間的差異情況．如表5和表6所示，二年級(jí)和五年級(jí)、二年級(jí)和九年級(jí)、四年級(jí)與五年級(jí)、四年級(jí)與九年級(jí)、七年級(jí)與九年級(jí)之間的差異達(dá)到0.001的顯著水平，五年級(jí)與七年級(jí)之間的差異達(dá)到0.01的顯著水平．二年級(jí)與四年級(jí)、二年級(jí)與七年級(jí)、五年級(jí)與九年級(jí)之間不存在顯著差異．相鄰年級(jí)之間，除二年級(jí)與四年級(jí)外均存在顯著差異．

圖2 不同年級(jí)知識(shí)與技能的占比情況

表5 知識(shí)與技能描述性統(tǒng)計(jì)

表6 知識(shí)與技能非參數(shù)成對(duì)比較結(jié)果

注：***顯著性水平0.001；**顯著性水平0.01．

4.3 不同年級(jí)教材問(wèn)題情境的螺旋上升情況

研究通過(guò)描述性統(tǒng)計(jì)對(duì)不同年級(jí)教材問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)情況進(jìn)行分析．如圖3所示，二年級(jí)教材中的問(wèn)題情境以實(shí)物和單個(gè)幾何體為主，共占總數(shù)的90%，其中“實(shí)物”情境占比70%．四、五年級(jí)教材中的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)較為相似，均由簡(jiǎn)單組合幾何體和復(fù)雜組合幾何體兩種類型組成，且以復(fù)雜組合幾何體為主，四、五年級(jí)復(fù)雜組合幾何體占比分別為78.57%和68.75%．七年級(jí)的情境設(shè)計(jì)以單個(gè)幾何體為主，占比為62.50%．九年級(jí)的情境設(shè)計(jì)主要為單個(gè)幾何體與簡(jiǎn)單組合幾何體，分別占總數(shù)的35.30%和55.88%．

圖3 不同年級(jí)問(wèn)題情境的占比情況

對(duì)不同年級(jí)教材中的問(wèn)題情境進(jìn)行非參數(shù)檢驗(yàn)，通過(guò)成對(duì)比較進(jìn)一步分析年級(jí)間的差異情況．如表7和表8所示，教材題目所設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境水平由低到高依次為二年級(jí)、七年級(jí)、九年級(jí)、五年級(jí)、四年級(jí)，不存在螺旋上升的情況．其中，二年級(jí)和四年級(jí)、二年級(jí)和五年級(jí)之間的差異達(dá)到0.001的顯著水平，四年級(jí)和七年級(jí)、四年級(jí)和九年級(jí)、五年級(jí)和七年級(jí)、五年級(jí)和九年級(jí)之間的差異達(dá)到0.01的顯著水平，二年級(jí)與九年級(jí)之間的差異達(dá)到0.05的顯著水平，二年級(jí)與七年級(jí)、四年級(jí)與五年級(jí)、七年級(jí)與九年級(jí)不存在顯著差異．相鄰年級(jí)之間，僅二年級(jí)與四年級(jí)、五年級(jí)與七年級(jí)存在顯著差異．

表7 問(wèn)題情境描述性統(tǒng)計(jì)

表8 問(wèn)題情境非參數(shù)成對(duì)比較結(jié)果

注：***顯著性水平0.001；**顯著性水平0.01；*顯著性水平0.05．

4.4 “空間觀念”“知識(shí)與技能”“問(wèn)題情境”的關(guān)系

研究通過(guò)相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)題目考查的空間觀念水平受到知識(shí)與技能、問(wèn)題情境的影響．如表9所示，不同進(jìn)階變量之間均存在顯著正相關(guān)，其中空間觀念和知識(shí)與技能之間存在高相關(guān)，空間觀念與問(wèn)題情境、知識(shí)與技能和問(wèn)題情境之間均存在低相關(guān)．

表9 “視圖”概念不同進(jìn)階變量的相關(guān)分析

注：**顯著性水平0.01．

5 結(jié)論與建議

5.1 結(jié)論

從空間觀念來(lái)看，所有年級(jí)教材的一致性均達(dá)到可接受程度，其中二年級(jí)和四年級(jí)教材與學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性水平較高，五年級(jí)、七年級(jí)和九年級(jí)教材與學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性水平較低，相對(duì)于研究所確定的“視圖”學(xué)習(xí)進(jìn)階水平，五年級(jí)教材所要求的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平偏高，七年級(jí)和九年級(jí)教材所要求的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平偏低．除七年級(jí)教材所要求的學(xué)習(xí)進(jìn)階難度過(guò)低以外，“視圖”的教材編排基本符合螺旋式上升設(shè)計(jì)原則，相鄰年級(jí)不存在顯著差異，進(jìn)階幅度較為合理．進(jìn)一步分析不同年級(jí)在空間觀念進(jìn)階上的差異時(shí)發(fā)現(xiàn)，二年級(jí)和五年級(jí)、四年級(jí)和九年級(jí)之間存在顯著差異，說(shuō)明“視圖”內(nèi)容學(xué)習(xí)進(jìn)階幅度較大的情形主要出現(xiàn)在五年級(jí)和九年級(jí)．從教材編排的角度來(lái)看，第一學(xué)段到第四學(xué)段存在兩次幅度較大的進(jìn)階，分別出現(xiàn)在第三學(xué)段和第四學(xué)段，但七年級(jí)教材中對(duì)“視圖”概念的要求有所回落．分析其原因可能在于五年級(jí)教材所要求的學(xué)習(xí)進(jìn)階水平對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定難度．從這個(gè)意義上說(shuō)，五年級(jí)是提升學(xué)生空間觀念的關(guān)鍵期．

從知識(shí)與技能來(lái)看，不同年級(jí)呈現(xiàn)的知識(shí)與技能類型較為單一．考慮到識(shí)圖、畫圖、讀圖自身發(fā)展的螺旋性，應(yīng)盡量在每個(gè)學(xué)段都有所體現(xiàn)，而不是在低年級(jí)培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，高年級(jí)培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力和讀圖能力．例如，加拿大的課程標(biāo)準(zhǔn)從一年級(jí)起即要求學(xué)生能夠描述、建立模型、繪制和分類二維和三維圖形與形狀[23]．

從問(wèn)題情境來(lái)看，隨著年級(jí)的增加，問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)逐漸由實(shí)物向幾何體過(guò)渡，由單一幾何體向組合幾何體過(guò)渡，由簡(jiǎn)單組合幾何體向復(fù)雜組合幾何體過(guò)渡．此外，問(wèn)題情境和知識(shí)與技能共同發(fā)生變化，初中階段的教材重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的讀圖能力，通過(guò)降低問(wèn)題情境難度方式來(lái)控制學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體難度，以適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展．

關(guān)于空間觀念與知識(shí)與技能、問(wèn)題情境的關(guān)系，兩兩之間均存在顯著正相關(guān)，其中空間觀念和知識(shí)與技能之間存在高相關(guān)，空間觀念與問(wèn)題情境、知識(shí)與技能和問(wèn)題情境之間均存在低相關(guān)．也就是說(shuō)，教材編寫者可以通過(guò)改變知識(shí)與技能和問(wèn)題情境來(lái)調(diào)整解決問(wèn)題所需的空間觀念水平．

5.2 建議

螺旋式編排教材能夠較好地兼顧學(xué)生的差異性，滿足不同階段學(xué)生理解水平和思維發(fā)展水平的需求．正如皮瑞—基倫在數(shù)學(xué)理解層級(jí)模型中所闡述的，學(xué)生的理解并不是線性的，而是序列化的、遞歸的，且學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中常出現(xiàn)迂回現(xiàn)象．當(dāng)學(xué)生在某個(gè)水平上難以解決問(wèn)題時(shí)，就會(huì)回到低一級(jí)的水平，再次建構(gòu)與發(fā)展自己的數(shù)學(xué)理解．因此，教材內(nèi)容的具體設(shè)計(jì)應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)角度出發(fā)，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，不同階段的內(nèi)容安排不僅要遵循螺旋上升的原則，更要強(qiáng)調(diào)內(nèi)容的一體化設(shè)計(jì)，注重深度整合聯(lián)系[24]．對(duì)教材編寫者而言，以學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為基礎(chǔ)，合理確定教材“螺旋”的內(nèi)容和幅度，把握學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)的序列，能夠讓教材內(nèi)容更具層次化、幅度更加清晰化．對(duì)執(zhí)教教師而言，只有讀懂教材、創(chuàng)生教材，才能更好地服務(wù)于學(xué)生的學(xué)習(xí)，給學(xué)生提供序列化的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的過(guò)程，進(jìn)而促進(jìn)教學(xué)評(píng)的一致性．

5.2.1 尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律 合理設(shè)計(jì)教材“螺旋”的內(nèi)容與幅度

通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)階的研究可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展水平的層級(jí)變化規(guī)律，這為教材螺旋式編排的廣度、深度和跨度提供直接依據(jù)．?dāng)?shù)學(xué)課程實(shí)施的起點(diǎn)顯然是權(quán)威部門所制定的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，而終點(diǎn)則是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而獲得的在數(shù)學(xué)上的發(fā)展[25]．為此，教材的編寫必須要尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階．基于學(xué)習(xí)進(jìn)階理論編寫數(shù)學(xué)教材，要以核心素養(yǎng)培育為主要任務(wù)，以落實(shí)大概念為長(zhǎng)期目標(biāo)，以子概念發(fā)展為變量，聯(lián)結(jié)不同學(xué)段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，打破不同學(xué)段內(nèi)容割裂、重復(fù)的情形，按照由簡(jiǎn)入繁、由淺入深的邏輯，對(duì)教材的內(nèi)容與幅度展開序列化的編排與設(shè)計(jì)，體現(xiàn)出學(xué)生發(fā)展的連貫性．這樣系統(tǒng)化地編排有助于學(xué)生在知識(shí)間建立起聯(lián)系，在完成對(duì)概念逐“階”建構(gòu)的同時(shí)，形成對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實(shí)．此外，盡管教材內(nèi)容的編排要與學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階規(guī)律一致，但仍有少部分內(nèi)容可高于或低于同年級(jí)的發(fā)展水平．比如針對(duì)七年級(jí)的“回落”現(xiàn)象，教材編寫時(shí)可以在不增加知識(shí)點(diǎn)的情況下，給學(xué)生提供多樣化的情境，一方面符合學(xué)生發(fā)展的差異性特征，讓學(xué)習(xí)困難的學(xué)生能夠彌補(bǔ)學(xué)習(xí)進(jìn)階過(guò)程中的缺漏，另一方面要起到承上啟下的銜接作用，進(jìn)一步拓展學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，避免年級(jí)間的知識(shí)出現(xiàn)斷層，更好地實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念“階”層的跨越．

5.2.2 讀懂教材創(chuàng)生教材 促進(jìn)教學(xué)評(píng)的一致性

立足教材文本，加強(qiáng)教材解讀，領(lǐng)會(huì)教材本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的基本前提．教師的教學(xué)既要基于教材，也要高于教材、創(chuàng)生教材．學(xué)習(xí)進(jìn)階理論關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)、終點(diǎn)、學(xué)習(xí)表現(xiàn)、進(jìn)階變量以及對(duì)學(xué)生的成就評(píng)價(jià)，強(qiáng)調(diào)課程、教學(xué)、評(píng)價(jià)要協(xié)調(diào)一致，共同服務(wù)于學(xué)生概念的發(fā)展過(guò)程．可以說(shuō)，學(xué)習(xí)進(jìn)階理論為教師讀懂教材、創(chuàng)生教材提供了理論引領(lǐng)與支持．教師應(yīng)該在理解學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)階規(guī)律的基礎(chǔ)上，依據(jù)教材特點(diǎn)、學(xué)生學(xué)情，展開教學(xué)設(shè)計(jì)、組織評(píng)價(jià)．教師要深度解讀教材，梳理教材層次，明確學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)與困難點(diǎn)；靈活選擇教材，在教學(xué)中創(chuàng)造性地使用教材，探尋學(xué)生學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)；系統(tǒng)整合學(xué)生需求與評(píng)價(jià)資源，精心開發(fā)與設(shè)計(jì)高質(zhì)量的、層級(jí)化的、高適配度的評(píng)價(jià)活動(dòng)，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的有序進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)教學(xué)評(píng)一致性．例如，研究中所呈現(xiàn)的，當(dāng)學(xué)生解決問(wèn)題所需的空間觀念水平受到知識(shí)與技能和問(wèn)題情境的共同影響時(shí)，教師應(yīng)權(quán)衡兩者之間的難度水平，從“一刀切”轉(zhuǎn)向梯度教學(xué)，讓學(xué)生在面對(duì)更復(fù)雜的問(wèn)題情境時(shí)能利用知識(shí)與技能的進(jìn)階，將復(fù)雜情境轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單情境，在變與不變中實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的進(jìn)階，從而促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展．

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A Study on the Consistency between Spiral Arrangement of Mathematics Textbooks and Learning Progression: Taking the “View” Content of People’s Education Press as an Example

YANG Xue1, ZHANG Chun-li1, WANG Yan-zhi2

(1. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. School of Teacher Education, Shandong University of Technology, Shandong Zibo 255000, China)

The “spiral” textbook arrangement is in line with students’ cognitive level and learning psychological characteristics. In order to better evaluate the appropriateness of the “spiral” arrangement of mathematics textbooks, this study takes the “view” content of People’s Education Edition as an example from the perspective of learning progression, describes the learning progression level of the concept of “view” by analyzing three progression variables: spatial concept, knowledge and skills and problem situation, and discusses the relationship between the spiral arrangement of mathematics textbooks and learning progression. The results show that the consistency between textbooks and learning progression for all grades is acceptable, and it conforms to the principle of spiral rising design except grade 7. In terms of knowledge and skills, the “view” types presented by different grades are relatively single; the lower grades focus on identifying graphics, and the higher grades focus on constructing graphics. As for the problem situation, it basically follows the change laws of physical object, single geometry, simple combined geometry and complex combined geometry. In addition, there is a significant positive correlation between spatial concept, knowledge and skills, and problem situation.

spiral arrangement; learning progression; mathematics textbooks; consistency; view

G634

A

1004–9894（2023）06–0012–06

楊雪，張春莉，王艷芝．?dāng)?shù)學(xué)教材螺旋式編排與學(xué)習(xí)進(jìn)階的一致性研究——以人教版“視圖”內(nèi)容為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（6）：12-17．

2023–08–21

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目——復(fù)雜情境下學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的認(rèn)知及腦機(jī)制研究（62277003）

楊雪（1997—），女，甘肅金昌人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．王艷芝為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：張楠、陳漢君]