基于正負殘差馬爾可夫灰色預測模型及應用

摘 "要：當前對于數據預測的精度要求日益增高，這是因為預測數據能夠為未來的規劃與決策提供更有效的依據。數據的變化規律可以利用灰色系統進行捕捉，但傳統的灰色GM1，1模型已經不能夠有效地預測出精度較高的數據。因而，文章通過引用馬爾可夫方法對正負殘差進行合理調整，利用馬爾可夫能夠處理數據的波動性特點，結合以上兩種方法從而提出精確度更高的正負殘差Markov灰色預測方法。以浙江省2000—2019年鐵路客運量作為原始數據序列進行模型的擬合，通過比較GM1，1和正負殘差Markov灰色GM1，1的誤差精度，發現改進后的GM1，1模型更加適用于未來數據的預測。

關鍵詞：灰色GM1，1；Markov；鐵路客運；殘差

"中圖分類號：F250 " "文獻標志碼：A

DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2023.07.002

Abstract： At present， the precision requirements for data prediction are growing increasingly. This is because forecasting data can provide more effective basis for future planning and decision-making. The changing law of the data can be captured by the gray system， but the original gray GM1，1 model can no longer effectively predict the data with higher accuracy. Therefore， this article uses the Markov method to reasonably adjust the positive and negative residuals， take advantage of the volatility characteristics of the data that Markov can handle， and combines the above two methods to propose a more accurate Markov gray prediction method for positive and negative residuals. In this paper， the railway passenger traffic volume from 2000 to 2019 in Zhejiang Province is used as the original data sequence to fit the model. As a result， the improved GM1，1 model is more suitable for forecasting future data by comparing the error accuracy of GM1，1 and positive and negative residual Markov gray GM1，1.

Key words： gray GM1，1; Markov; railway passenger transport; residual

0 "引 "言

"1982年鄧聚龍教授創立了灰色系統理論，通過對已有的實數數據作為不確定系統的研究對象，對已知準確的信息進行提取，產生對系統運行行為、演化規律的正確描述，以此來獲取有效數據監控與預測[1]。由于能夠從不確定系統中觀察數據的變化規律，因而灰色系統理論在各個領域中得到充分的使用與發展。

"精準預測相關鐵路客運量能夠提前規劃鐵路網絡以及提高鐵路資源的利用效率，基于各地區范圍內的客運量需求為基礎，合理建設決策方案為目標，這對于區域乃至全國鐵路路網合理高效地運作具有一定意義。近年來預測鐵路客運量的主要模型有GM1，1模型、Verhulst模型、SCGM模型、BP神經網絡和RBF神經網絡等。由于鐵路客運量受到諸多社會經濟等因素的影

響[2]，許多模型因其自身局限性很難適用于鐵路客運量的預測，但是灰色系統可以規避這類因素，通過小樣本已知的數據就能夠得到適用于背景的預測式，因而本文將通過灰色系統為基礎構建預測模型。

"許多專家們將灰色理論與其他方法和思路進行結合。孫延浩利用粒子群算法對原始數據不斷更新，提高了模型預測精度形成一種基于PSO優化灰色GM1，1預測模型[3]；胡中博提出了基于偶灰色模型的灰色預測進化算法，將進化算法的種群序列視為一個時間序列，并使用偶灰色模型作為再現算子來預測下一個種群[4]；盧陽在GM1，1模型的基礎上加入線性部分，通過灰色線性回歸組合模型提高了預測精度[5]；李葉通過馬爾可夫模型優化IGNGM1，1模型的殘差序列，并通過遞歸迭代法求解其時間響應函數[6]。

由此可以看出組合預測模型能夠更大程度提高預測的準確性，彌補單一模型預測精度不足的問題，Markov的“無后效性”特點能夠利用之前狀態的轉移概率來反映系統內存在的某種規律[7-8]，對于波動較大的數據可以很好的描述其未來的發展變化，因而本文借鑒灰色系統理論與Markov的相關模型共同構建了基于正負殘差Markov灰色預測模型[9]，使人們對于系統發展趨勢有準確的理論依據。通過灰色GM1，1與殘差GM1，1合理結合，利用Markov對預測模型的擬合值進行修正，使之將單一的預測結果修正為預測精度更高的正負殘差Markov灰色預測值。

1 "灰色殘差預測模型的建立

不確定性系統是人類認知能力的局限性和經濟技術等條件的制約而導致信息不完全、不準確的表現，灰色系統理論可以在部分已知信息的基礎上，通過對模糊雜亂的小樣本數據進行處理，建立線性微分方程，運用最小二乘法找出原始序列存在的規律。

1.1 "構建殘差灰色模型

" 設殘差數列為：

G=g2， g3， …， gn " " " " " " " " " " " " " " " " " "（1）

其中殘差值：

gk=xk-xk " "k=2，3，…，n

對公式（1）的殘差數列進行均值GM1，1模型預測，可得到殘差預測模型：

k= " "k=3，4，…，n " " " " " " " " " " " " " " （2）

通過將均值GM1，1預測模型與均值GM1，1殘差預測模型（2）進行合并得到殘差灰色模型：

k+1=1-ex1-e+mk+11-eg2-e " "k=2，3，…，n " " " " " " " "（3）

其中：

mk+1= " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

此時，可以看出mk僅有兩個狀態，分別為，mk的狀態E由殘差數列決定，但殘差灰色預測模型不僅是為了提高精度，更是要在提高精度的基礎上預測未來的數據，目前狀態E的取值只能由已知的殘差數列得出，但對于未來數據卻不能夠判定其E狀態，此時需要引入馬爾科夫預測模型，最終形成完整殘差馬爾可夫灰色預測模型。

1.2 "模型精度檢驗

"由于在傳統GM1，1模型的基礎上進行改進，利用Markov修正殘差預測值，最終形成正負殘差馬爾可夫灰色預測模型，為了驗證改進模型的有效性，需要對GM1，1與改進GM1，1的結果進行精度檢驗，分別為平均相對殘差檢驗，均方差比值檢驗。

由公式（1）可以得到殘差序列，其中對序列中各個殘差值進行相對誤差計算，公式如下：

Ek=， k=2，3，…，n " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（5）

1.2.1 "平均相對殘差檢驗

ε=∑Ek " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（6）

公式（6）中ε為平均相對誤差，n為樣本容量。

1.2.2 "均方差比值檢驗

S= " " " " " " " " " " " " " " " " " "（7）

S= " " " " " " " " " " " " " " " " " （8）

其中：=x， k=1，2，…，n，=g， k=2，3，…，n。

"最后由公式（7）、公式（8）的商可計算出后驗差值比：

C= " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ⑼

其中：S為原始數據序列的標準差，S為殘差序列的標準差。

1.3 "馬爾可夫E狀態預測模型

" 在指定的狀態空間中從一個狀態轉移至另一個狀態的過程稱為Markov鏈，Markov鏈在狀態空間中的取值稱為狀態，PX|X，…，X=PX|X中X被稱為Markov鏈，多個可數集被稱為狀態空間。

1.3.1 "狀態劃分

"根據殘差序列G對狀態空間進行狀態區間劃分，形成初始狀態區間E，由gk來判定狀態區間應取的數值：。

1.3.2 "建立狀態轉移矩陣

T=n/N

通過對殘差數列的k-1個數據進行觀察，發現從狀態E到狀態E發生的次數為n；N為狀態E的總樣本；則S為狀態E到狀態E發生的概率。

則狀態轉移矩陣為：

S=

由于本文對于狀態區間劃分只有1和-1兩種表示殘差數列的正負狀態，進一步將上述建立狀態轉移矩陣的方法進行簡化。

（1）根據原始數據與GM1，1預測模型的預測值殘差正負，也就是G確定E。

"（2）根據狀態區間E，計算出狀態轉移矩陣S=。

"（3）確定初始狀態ω0。由于Markov鏈是時間和狀態都離散的隨機過程，該過程具有無后效性，則可通過當前狀態來確定初始狀態ω0，而與之前的狀態都無關。

"（4）計算時間狀態轉移公式ωt=ω0·S，預測未來時間t的狀態轉移結果。

2 "算例分析

"鐵路客運是人們重要的出行方式之一，2019年鐵路客運占總客運量21%，僅次于第一的公路客運量之后，為了使鐵路客運能夠制定長期穩定的發展策略，合理規劃鐵路運營的決策，就需要更加精準地預測數據來反映出未來鐵路客運市場的中長期變化趨勢。2000—2019年浙江省鐵路客運量如表1所示，通過傳統GM1，1模型與改進后的精確性進行對比，從而能夠驗證正負殘差馬爾可夫灰色預測模型的有效性與實用性。

2.1 "基于正負殘差馬爾可夫GM1，1預測

"根據表1中20個數據作為原始數據，分別采用GM1，1模型與正負殘差馬爾可夫GM1，1進行擬合，詳細過程如下：

"由GM1，1模型可計算出，a=-0.177，μ=2 048.637，根據公式可得到k的預測公式：

k=

根據原始數據xk和預測數據k之間的殘差生成新序列：

G=g2， g3， …， gn=1 532，1 519，…，2 043

將殘差序列的絕對值Gk進行GM1，1模型計算得到a=-0.086，μ=237.035，根據公式（2）可得到k的預測公式：

k=

通過公式（3）將k和k進行合并可得到殘差灰色預測模型，最終預測公式如下：

=，k=2，3，…，n

根據以上GM1，1和殘差預測公式分別計算出浙江省2000—2019年鐵路客運量的預測值，根據公式計算出相對殘差值，其結果為2000—2019年GM1，1與組合模型的預測值及狀態分類如表1所示。

2.2 "GM1，1與殘差Markov GM1，1預測精度對比

通過相對殘差公式（5）可以計算出GM1，1與正負殘差Markov GM1，1模型各項數值的相對誤差率，如表1所示。由公式（6）計算出兩種模型的平均相對殘差，計算結果如下：

ε=Ek=0+37%+…+8%=13%

ε=Ek=0+0+25%+…+2%=7%

為了能夠更直觀地反應出預測模型與實際值的擬合情況，繪制出預測模型擬合折線圖，如圖1所示。

通過公式（5）至公式（7）的均值方差檢驗公式進行計算：

（1）GM1，1模型

C==0.151 6

（2）殘差Markov GM1，1模型

C==0.074 8

將計算出的結果進行對比，得出：εgt;ε和Cgt;C。

"通過以上兩種精度檢驗方法分別對GM1，1模型和殘差Markov GM1，1的預測精度比對，觀察計算出的數據以及圖形，都可以看出殘差Markov GM1，1的預測精度得到了較大的提升。2000—2019年的相對誤差率來說，中間有幾年的預測精度GM1，1更為準確，但是只占據數據的小部分，而殘差Markov GM1，1的預測數據更貼合最近幾年的實際數據，并且從圖1中可以看出變化趨勢較為相似，因而此方法更為適合。

2.3 "正負馬爾可夫殘差修正

"為了能夠預測未來五年江蘇省的鐵路客運量數值，需要通過馬爾可夫對未來殘差值進行合理確定。由于馬爾可夫“無后效性”原則，根據當前狀態值可以得出ω0=1 0。

通過表1的殘差狀態E可計算出狀態轉移概率矩陣如下所示：

P=

由時間狀態轉移公式可以得到第t年的狀態轉移結果：

ωt=ω0·S=1 0

t值表示2019年之后第t年的殘差修正符號，通過將t=1，2，3，4，5帶入上公式，計算出2020—2024年殘差狀態轉移向量。

"通過結合殘差灰色預測模型與馬爾可夫狀態轉移量預測出2020—2024年浙江省鐵路客運量預測數據以及狀態轉移概率，如表2所示：

通過表2可以看出未來五年的殘差狀態概率，殘差狀態E在未來五年中的概率最大，分別為91.7%，85.7%，81.4%，78.3%和76.1%，這說明未來五年的數據預測值大概率會通過狀態E進行誤差調整。

3 "結論與啟示

"灰色系統能夠通過對象、要素、環境三者之間的有機聯系發掘開發出蘊含在觀測數據中的重要信息，通過模擬出的數據變化規律能夠讓我們提前了解到未來現實變化發展規律，從而提前做出合理的計劃與決策，而單用灰色GM1，1預測精度波動較大，而具有“無后效性”特點的馬爾可夫就能夠適用于波動較大的動態過程。此模型通過結合兩種方法，改善傳統的灰色預測模型并提高其預測精度，使得改善后所預測出的數據與實際數據擬合程度更高。

"從算例分析中對浙江省鐵路客運進行計算與預測時可以看出，通過狀態轉移矩陣為基礎建立得到以時間為因變量的狀態轉移量計算公式，利用計算得到的狀態轉移量對殘差值進行修正，最后得到最終預測的結果。但Markov的“無后效性”特性雖然能夠方便改善預測結果，但其因缺少歷史數據影響的原因會導致預測未來過長時間的數據修正效果不佳，因而考慮到模型構建的難度和發展階段的局限，為了更進一步改善其科學性與準確性，未來的研究可以嘗試建立動態時間序列模型來提高馬爾可夫狀態概率的預測精度。

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