求解張量絕對(duì)值方程的非精確LM方法

摘 要：通過(guò)引入互補(bǔ)函數(shù)將張量絕對(duì)值問(wèn)題重新表述為張量互補(bǔ)問(wèn)題.針對(duì)重構(gòu)的張量互補(bǔ)問(wèn)題，建立了自適應(yīng)非精確LM算法，并證明了算法的收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的算法是有效的.

關(guān)鍵詞：張量絕對(duì)值方程;非精確LM方法;收斂性分析;數(shù)值實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：O241文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

這個(gè)例子主要用于觀察算法1的迭代過(guò)程.隨機(jī)生成對(duì)稱張量B∈S［4，4］和隨機(jī)向量x*∈R4且張量B和向量x*元素取值均在［0，1］.為了確保方程只有唯一的解，計(jì)算b=Ax*m-1-|x*|［m-1］.這里取a=3，從而計(jì)算出c=4.899 8.為了檢驗(yàn)本文算法1的有效性，將其與文獻(xiàn)［9］中算法3.1進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，要達(dá)到相同的精度，本文的算法1在迭代次數(shù)上并不具有優(yōu)勢(shì)，但CPU時(shí)間是占優(yōu)勢(shì)的，參見(jiàn)表3中的數(shù)值結(jié)果.分析其原因，文獻(xiàn)［9］中算法3.1是精確LM算法，每一迭代步需要精確求解LM方程，這是比較耗費(fèi)時(shí)間的.另外從表4可以看到‖H（xk）‖隨著迭代次數(shù)k的增加會(huì)快速趨于0.此外，‖Ψ（xk）‖隨著迭代次數(shù)k的增加亦會(huì)快速趨于0.這說(shuō)明了算法具有良好的收斂性.

此外，選擇不同的b值來(lái)測(cè)試算法的收斂結(jié)果.實(shí)驗(yàn)中式（9）中的參數(shù)a取維15，數(shù)值結(jié)果見(jiàn)表5.其中xs表示方程的解，Iter表示迭代次數(shù).

3 結(jié) 論

本文提出了一個(gè)求解連續(xù)張量絕對(duì)值方程的非精確自適應(yīng)LM算法.分析了算法的全局收斂性和局部二次收斂性.并通過(guò)數(shù)值實(shí)例來(lái)驗(yàn)證所做的理論分析及有效性和可行性.數(shù)值結(jié)果表明，本文所提出的算法是有效的.

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The inexact LM method for tensor absolute value equation

Ma Changfeng， Xie Yajun

（School of Big Data; Key Laboratory of Data Science and Intelligent Computing，

Fuzhou University of International Studies and Trade， Fuzhou 350202，" China）

Abstract： In this paper，" the tensor absolute value equations is reformulated into tensor complementary" problem by introducing complementary function. For the reformulated tensor complementary problem， an adaptive inexact Levenberg-Marquardt （LM） algorithm is proposed. And convergence theorem of the algorithm is proved. Numerical experiments show that the proposed algorithm is effective.

Keywords： tensor absolute value equation; inexact LM algorithm; convergence analysis; numerical experiment

［責(zé)任編校 陳留院 趙曉華］ .