用運動的觀點揭示“冪指對”函數圖象關系的“全景”

摘要：本文中從一道涉及“冪指對”三種函數關系的問題出發，用“運動”的觀點，由兩函數圖象的一個“特殊”位置關系開始逐步演變，深刻地揭示了冪函數、指數函數、對數函數圖象關系的“全景”——真可謂“一題釋全景”.

關鍵詞：運動觀點；冪指對函數；圖象關系；全景

課程標準指出，冪函數、指數函數與對數函數是最基本的、應用最廣泛的函數，是進一步學習數學的基礎^［1］.因此，對它們及其關系的正確理解與深刻認識是重要且必要的.

對于冪函數、指數函數與對數函數，每種函數的圖象和性質都容易理解和掌握，但若有問題涉及到它們兩兩之間的關系，甚至是“三種函數”同時出現在一個問題中，需要厘清“三者”之間的關系時，就不那么簡單了，而且容易出現認知誤區或思維障礙.

下文從一道涉及“冪指對”三個函數關系的問題出發，分析容易出現的錯誤認識及原因.然后，用運動的觀點，由兩函數圖象的一個特殊位置關系開始逐步演變，生成“冪指對”函數圖象兩兩之間關系的“全景”，進而準確把握“三者”之間的圖象關系.

1 提出問題（一道題引發的全面思考）

問題 是否存在x₀，使得a^x₀lt;x^a₀lt;log_ax₀（agt;0，a≠1）？

分析：由此題的結構形式可知，它考查冪函數、指數函數、對數函數三者之間的關系.

首先看下面的解答結果或思想認識是否正確.

上文中不僅提出的問題得到了全面正確的解決，而且由問題所引發的用運動的觀點對“冪指對”函數圖象關系的“全景”探究，生動直觀、全面深刻地揭示了冪函數、指數函數、對數函數圖象關系的內涵和本質——真可謂“一題釋全景”.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍.用函數圖象和代數運算的方法研究“冪指對”函數＼.數學通報，2020（10）：1-11.

[3]戚有建.冪指對型超越方程根的個數＼.數學通報，2013（12）：39-41.