對決定系數R²計算公式的兩點補充證明

摘要：回歸模型中，比較不同回歸模型擬合效果，評價模型好壞的指標——決定系數R²（也稱相關指數）是統計學的重要內容之一.一方面，對決定系數R²表達式中總偏差平方和的研究，有助于理解響應變量y值波動的原因；另一方面，反映成對樣本數據之間線性相關程度的相關系數r與R²有密切聯系.本文中將從這兩個方面對新教材選擇性必修第三冊教師用書第151頁的內容進行補充證明.

關鍵詞：決定系數R²；相關系數r；線性回歸模型；補充證明

1 決定系數R²刻畫回歸效果

對數據的統計分析是高考概率與統計考查的重要內容之一.這部分知識要求學生從過去的單變量觀察階段轉變到多變量的數據分析推斷階段.教科書通過第115頁中的“問題”讓學生體會兩個變量的關系并不都適合用一元線性回歸模型進行刻畫，這時應選擇和數據特點吻合的回歸模型進行擬合.由比較不同回歸模型擬合效果的需要，引出評價模型好壞的指標——殘差平方和與決定系數R². 其中，決定系數R²的計算公式為

故在一元線性回歸模型中，R²=r²，也即決定系數R²等于響應變量與解釋變量的樣本相關系數r的平方.

筆者認為，給出以上兩點補充證明之后，對決定系數R²的證明和解釋顯得更加完整和嚴密，而且也從另一個角度理解了相關系數r.

參考文獻：

［1］王猛.“回歸分析”的教材結構分析及教學建議［J］.數學之友，2021（5）：35-37.

［2］李厚華.立足教材 注重相關指數R²體現數學素養——淺析線性回歸模型中相關指數R²及應用［J］.數學學習與研究，2020（6）：108.