“直線的斜率”教學設計

摘要：“直線的斜率”是解析幾何的起始課.本節課通過探究平面直角坐標系中不同位置的直線，引導學生探索確定直線的幾何要素以及用代數方法刻畫直線斜率的過程，最終形成傾斜角的概念并通過幾何方法推導過兩點直線的斜率公式；在將幾何問題代數化的過程中，螺旋式培養學生數形結合等學科核心素養.

關鍵詞：傾斜角；斜率；代數運算；邏輯推理素養

1 教學內容分析

本節課是高中數學選擇性必修第一冊第二章“直線和圓的方程”的第1課“直線的斜率”，介紹了直線的傾斜角和斜率的概念，以及過兩點的直線的斜率公式.本節是學生學習解析幾何的第一課時.本節的學習讓學生回憶初中有關直線性質的知識，并在理解平面向量相關知識的基礎上，引導學生以坐標的方式來研究直線的相關性質，初步滲透解析幾何的基本思想和基本研究方法——用代數方法研究幾何問題.同時，在教學中進一步培養學生對數形結合與分類討論思想的應用意識^［1］.本課是開篇之精華，具有承上啟下的地位，并為后續教學內容——判斷兩條直線的位置關系及建立直線方程等起到關鍵性的鋪墊作用.

2 學情及目標分析

學生在初中已經學習了一次函數及其圖象，對于直線的方程有了一定的了解，因此本節課的難點是理解斜率的概念.教師應通過情境貫穿教學，讓學生經歷傾斜角與斜率概念的形成過程，初步領悟解析幾何思想.

本節課的教學目標：

（1）掌握直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式（重點）.

（2）理解直線的斜率與它的傾斜角的關系（難點）.

3 教學過程

3.1 情境導入

為了描述現實世界中的運動變化現象，如行星的運動、平拋運動等，需要對它們的運動軌

跡進行精確的代數刻畫，從而創立了坐標系，用坐標刻畫運動變化，這就是解析幾何的創始.

我們知道，平面直角坐標系中，一個“點”可以用“數”來表示，那么其他的圖形如直線、曲線、幾何體又如何用數量關系描述？今天我們從比較簡單的圖形——直線開始研究.下面，讓我們一起欣賞新世界七大奇跡之—：港珠澳大橋（如圖1）.如果將大橋兩側鐵索抽象為直線，那么這些過同一點的直線的不同點是什么？可以用哪個幾何量描述？如何描述？

設計意圖：通過回顧，明確解析幾何學的研究對象，使學生對坐標法形成初步印象，并引出本節的研究內容.學生通過觀察港珠澳大橋兩側鐵索，并分享觀察成果——相對橋面的傾斜程度不同，既能夠活躍課堂氛圍，又能為新知的導出埋下伏筆，讓學生在愉悅的環境中獲取新知.

3.2 新知探索1

（1）探究任務1：怎樣描述直線的傾斜程度？

為了便于使用代數方法研究這些直線，我們先建立平面直角坐標系，如圖2、圖3.

問題1 在平面直角坐標系中，過一點能夠作多少條直線？給定直線相對于x軸的傾斜方向，又能作多少條直線？

問題2 你認為確定一條直線需要幾個要素？

問題3 既然方向如此重要，那么我們如何準確地描述直線的傾斜度程度呢？

師生活動：

活動1：學生動手在坐標系中畫一組直線，觀察結果.

活動2：學生分享自己的觀察成果.①過一點能夠作無數條直線，即一個點不能確定直線；給定傾斜方向可作無數條直線，即只給定傾斜方向也不能確定直線.②確定直線的幾何要素——兩點，或直線上的一點和直線的方向.③通過觀察圖形，可以用一個角度來描述直線的傾斜程度，我們把描述傾斜程度的角稱為傾斜角.

（2）新知學習：直線的傾斜角.

當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.

關鍵點：①x軸正向；②直線l向上方向.

試一試：請在圖4中標出下列直線的傾斜角.

問題4 當直線l與x軸重合或平行時，傾斜角又該怎樣定義？傾斜角的范圍應該是什么？

規定： 當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°.

直線傾斜角的范圍：0°≤ α ＜180°.

師生活動：

活動3：通過探究，學生口述“直線傾斜角”的概念，教師給予點評并完善概念，同時強調概念的關鍵點.

活動4：教師通過幾何畫板演示直線從與x軸平行或重合時開始繞一個點旋轉的過程，讓學生觀察直線傾斜角的變化范圍.

教師強調：在平面直角坐標系中，任意一條直線都有一個確定的傾斜角，只要直線的傾斜程度相同，其傾斜角必定相等;我們從“形”的角度用傾斜角刻畫了平面直角坐標系內一條直線的傾斜程度.

設計意圖：除“兩點確定一條直線”外，引導學生意識到“一點”和“一個方向”也可以確定一條直線，方向是直線的一個重要幾何要素；讓學生觀察過同一點的不同位置的直線，并強調以直角坐標系為參照系探究區分不同位置直線的方法，引導學生感受在平面直角坐標系中利用傾斜角刻畫直線方向的合理性；讓學生體會數學建模過程，在這個過程中，運用幾何畫板動態展示傾斜角的變化.讓學生從“形”上感受直線傾斜程度的變化^［2］.

3.3 新知探索2

（1）探究任務2：能否將傾斜角轉化成一個代數量來描述直線的傾斜程度？

問題5 除了直線的傾斜角，是否還有別的方法來刻畫直線的傾斜程度？

你能例舉生活中與傾斜程度有關的場景嗎？我們是用什么量來刻畫它們的傾斜程度的？

問題6 初中對坡度是如何定義的？

問題7 根據“傾斜角”的定義，得到“坡度”本質是“傾斜角α的正切值”.除此以外，我們還可以用哪些量來刻畫直線的傾斜程度？

師生活動：

活動1：教師啟發學生舉出生活中的實際例子，比如樓梯、斜坡、小朋友玩的滑梯等.

坡度kgt;0表示這段道路是上坡，k=0表示是平路，klt;0表示是下坡，|k|越大說明坡越陡.

（2）新知學習：直線的斜率.

一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值k叫做這條直線的斜率，記為k=tan α.

口答：已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率k.

①α=0° ；②α=30° ；③α=45° ；④α=135°.

問題8 結合正切函數的圖象與性質，思考：①當0°≤αlt;90°時，斜率與傾斜角的關系如何？②當α=90°時，直線是否有斜率？③當90°lt;αlt;180°時，斜率與傾斜角的關系如何？

師生活動：

活動1：類比得到直線“斜率”的概念.

活動2：幾何畫板演示傾斜角與斜率的變化關系，師生共同歸納結論如下.

①當α=0°時，k=0；當0°lt;αlt;90°時，kgt;0；當α=90°時，斜率k不存在；當90°lt;αlt;180°時，klt;0.

②當0°lt;αlt;90°時，α增大，k也增大；當90°lt;αlt;180°時，α增大，k也增大.強調：傾斜角為90°的直線沒有斜率.

設計意圖：告知目標，明確思維的方向，將幾何要素代數化.

由坡度引入傾斜角的正切值反映傾斜程度，并運用幾何畫板動態展示傾斜角與斜率的變化關系，既生成了斜率的概念，又體現出選擇正切值描述直線傾斜程度是與數學的內在邏輯一致的.

3.4 新知探索3

（1）探究任務3：給定直線上兩點，能不能求出直線的斜率？

直線上的任意兩點確定這條直線，所以這兩點的坐標和直線的斜率一定有內在的聯系.下面我們利用向量來研究它們之間的聯系.

設計意圖：教學中適時回顧向量的有關知識，通過引導，促成學生獨立思考并建模，以加強邏輯推理和代數運算等素養的培養.通過對特殊問題一般化的抽象，得到斜率的計算公式，并發現它正是我們所尋求的刻畫直線方向的代數表達，且能直接參與代數運算，實現用代數方法處理幾何問題的目的，讓學生體會從特殊到一般的認知規律.

3.5 典例剖析

例題 已知點A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB，BC的斜率，并判斷它們的傾斜角是銳角還是鈍角.

變式1 已知點A（3，2），B（-4，1），D（3，1），求直線AD，BD的斜率和傾斜角.

變式2 若點A（3，2），B（-4，1），E（m，-2），且A，B，E三點共線，則m=___________.

設計意圖：鞏固所學知識，有助于保持學生自主學習的熱情和信心.利用變式題，進一步強化斜率公式的應用，同時掌握公式的使用條件.通過數形結合，讓學生熟悉傾斜角和斜率的關系.

3.6 歸納總結

本節課學習了哪些知識和思想方法？

（1）學習內容的回顧：傾斜角→斜率→傾斜角與斜率的關系，如圖6.

設計意圖：小結的目的是為了讓學生回顧概念的形成過程、公式的探究過程，并從整體上把握傾斜程度、傾斜角、斜率之間的關系；師生共同構建數學知識體系，感受和體驗數學的重要思想和方法.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］張居敏.“直線的斜率”教學設計研究［J］.中學數學月刊，2018（4）：37-38.